{
  "exercise": {
    "exercise_number": "1.3",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Ladung, Strom",
    "question": "Das Bild zeigt die durch einen Drahtquerschnitt bis zur Zeit $t$ transportierte Ladung $Q(t)$. Für $t<0$ gilt $Q(t) = 0$. Bei $t = 0$ ist die Tangente an die Kurve $Q(t)$ waagerecht. \n\nGeben Sie die Funktionen $Q(t)$ und $I(t)$ formelmäßig an, und stellen Sie $I(t)$ für die gegebenen Größenwerte grafisch dar.\n\n\\mpBL{12cm}\n{\n\n\\psMdR{Q(t)}{Q}\n\\psMsR{Q_1}\n\\psMsR{Q=0}\n\\psMsR{-Q_1}\n\\psMsC{t_1}\n\\psMsC{t_2}\n\\psMsC{t_3}\n\\psMsL{t}\n\\psMdL{quad. Par.}{\\text{Parabel}}\n\n\\psMdL{exp(-t/tau)}{\\sim \\text{exp}\\left( -\\frac{t}{\\tau}\\right)}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-003-ladung_strom-1: Ladung Strom 1](assets/et1-01-003-ladung_strom-1/01-Ladung_Strom_1.png)\n\n}\n{\n\n\\begin{tabular}{l}\n$Q_1=1\\mathrm{A\\,s}$\n\n$t_1=1\\mathrm{s}$\n\n$t_2=2\\mathrm{s}$\n\n$t_3=3,5\\mathrm{s}$\n\n$\\tau = 0,5\\mathrm{s}$\n\\end{tabular}\n}",
    "short_solution": "$I(t)=\\begin{cases} \n0 & \\text{f\"ur} t<0 \n\n2\\frac{Q_1}{t_1^2}t & \\text{f\"ur} 0 \\leq t < t_1\n\n0 & \\text{f\"ur} t_1 \\leq t < t_2\n\n-\\frac{2Q_1}{t_3-t_2} & \\text{f\"ur} t_2 \\leq t < t_3\n\n\\frac{Q_1}{\\tau}\\cdot \\text{exp}\\left(-\\frac{t-t_3}{\\tau}\\right) & \\text{f\"ur} t_3 \\leq t \\end{cases}$",
    "solution_path": "\\begin{align*}\nt < 0: & Q(t)=0, I(t)=0\n\n0 \\le t < t_1: & \\text{wegen } \\left.\\dfrac{\\mathrm{d}Q}{\\mathrm{d}t}\\right|_{t=0}=0 \\text{ liegt der Scheitel bei } t=0 \n\n& Q(t)=a t^2, Q_1=a t_1^2 \\rightarrow a=\\dfrac{Q_1}{t_1^2}\n\n& Q(t)=\\dfrac{Q_1}{t_1^2}t^2, I(t)=\\dfrac{\\mathrm{d}Q}{\\mathrm{d}t}=2 \\dfrac{Q_1}{t_1^2}t = 2 \\dfrac{\\mathrm{A}}{\\mathrm{s}}t \n\nt_1 \\le t < t_2: & Q=Q_1, I= 0 \n\nt_2 \\le t < t_3: & Q(t)= -\\dfrac{2 Q_1}{t_3-t_2}\\left(t-t_2\\right)+Q_1 \n\n& I(t)=-\\frac{2Q_1}{t_3 - t_2 } = -\\dfrac{4}{3}\\mathrm{A}\n\nt_3 \\leq t: & Q(t)=K \\cdot \\e^{-\\frac{t}{\\tau}}, -Q_1=K \\cdot \\e^{-\\frac{t_3}{\\tau}} \\rightarrow K=-Q_1 \\e^{\\frac{t_3}{\\tau}}\n\n& Q(t)=-Q_1 \\e^{\\frac{t_3}{\\tau}}\\e^{-\\frac{t}{\\tau}} = -Q_1 \\e^{-\\frac{t-t_3}{\\tau}} \n\n& I(t)=-Q_1 \\left( -\\dfrac{1}{\\tau}\\right) \\e^{-\\frac{t-t_3}{\\tau}}=\\dfrac{Q_1}{\\tau}\\e^{-\\frac{t-t_3}{\\tau}}=2\\mathrm{A}\\cdot \\e^{-\\frac{t-3,5\\mathrm{s}}{0,5\\mathrm{s}}}\n\\end{align*}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-003-ladung_strom-1: Ladung Strom 1 w2](assets/et1-01-003-ladung_strom-1/02-Ladung_Strom_1_w2.png)\n\n\\hinw{Die Flächen ober- und unterhalb der Zeitachse haben den gleichen Flächeninhalt, da $\\Delta Q = Q(\\infty) - Q(0) = 0$ ist.}",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-01-003-ladung_strom-1-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Ladung_Strom_1",
        "source_asset": "1-Grundbegriffe/bilder/Ladung_Strom_1.eps",
        "asset": "assets/et1-01-003-ladung_strom-1/01-Ladung_Strom_1.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-003-ladung_strom-1: Ladung Strom 1"
      },
      {
        "id": "et1-01-003-ladung_strom-1-fig-02",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Ladung_Strom_1_w2.eps",
        "source_asset": "1-Grundbegriffe/bilder/Ladung_Strom_1_w2.eps",
        "asset": "assets/et1-01-003-ladung_strom-1/02-Ladung_Strom_1_w2.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-003-ladung_strom-1: Ladung Strom 1 w2"
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v005-c02",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 2",
      "heading": "Beispielrechnung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ",
      "content": "Das Video führt eine Beispielrechnung durch, bei der der Stromverlauf I(t) aus einem gegebenen Ladungsverlauf Q(t) berechnet wird \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=30s}{[00:00:30]}.\n\n\\subsubsection*{Gegebener Ladungsverlauf Q(t)}\n\nDer Ladungsverlauf Q(t) ist grafisch und als abschnittsweise definierte Funktion gegeben \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=100s}{[00:01:40]}:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Von t=0 bis t=T steigt die Ladung linear von 0 auf \\(Q_0\\).\n\t\\item Von t=T bis t=3T fällt die Ladung linear von \\(Q_0\\) auf 0 zurück.\n\t\\item Außerhalb dieses Intervalls ist die Ladung 0.\n\\end{itemize}\nDaraus ergibt sich die folgende Funktionsdarstellung \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=154s}{[00:02:34]}:\n\\begin{equation*}\n\tQ(t) =\n\t\\begin{cases}\n\t\t0 & \\text{für } t \\le 0 \\text{ und } t > 3T \\\\\n\t\t\\frac{Q_0}{T} \\cdot t & \\text{für } 0 < t \\le T \\\\\n\t\t\\frac{3}{2}Q_0 - \\frac{Q_0}{2T} \\cdot t & \\text{für } T < t \\le 3T\n\t\\end{cases}\n\\end{equation*}\n\n\\subsubsection*{Berechnung des Stromverlaufs I(t)}\n\nDer Stromverlauf I(t) wird durch die Ableitung von Q(t) nach der Zeit berechnet \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=282s}{[00:04:42]}. Da Q(t) abschnittsweise definiert ist, wird jeder Abschnitt einzeln abgeleitet:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Für \\(0 < t \\le T\\): \\( I(t) = \\frac{d}{dt} \\left( \\frac{Q_0}{T} \\cdot t \\right) = \\frac{Q_0}{T} \\)\n\t\\item Für \\(T < t \\le 3T\\): \\( I(t) = \\frac{d}{dt} \\left( \\frac{3}{2}Q_0 - \\frac{Q_0}{2T} \\cdot t \\right) = -\\frac{Q_0}{2T} \\)\n\t\\item Sonst: \\( I(t) = 0 \\)\n\\end{itemize}\nDas Ergebnis ist ein konstanter positiver Strom im ersten Intervall und ein konstanter negativer Strom im zweiten Intervall \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=395s}{[00:06:35]}.\n\n\\subsubsection*{Grafische Darstellung und Interpretation}\n\nDer resultierende Stromverlauf I(t) wird grafisch dargestellt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=447s}{[00:07:27]}. Die Fläche unter der I(t)-Kurve repräsentiert die transportierte Ladung.\n\\begin{itemize}\n\t\\item Die positive Fläche im Intervall [0, T] entspricht einer Ladungszunahme von \\(Q_0\\).\n\t\\item Die negative Fläche im Intervall [T, 3T] entspricht einer Ladungsabnahme von \\(Q_0\\).\n\\end{itemize}\nDie Netto-Ladung über den gesamten Zeitraum ist somit null, was mit dem Verlauf von Q(t) übereinstimmt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gN-KwZ1-KJQ&t=535s}{[00:08:55]}."
    }
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