{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.31",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Stückweise lineare Netzwerke",
    "question": "Gegeben sind die Diodenschaltungen 1) und 2). Die Dioden haben\nbeide die angegebene Kennlinie.\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1: Stueckweise lineare Netzwerke 1](assets/et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1/01-Stueckweise_lineare_Netzwerke_1.png)\n\n{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1: Diodenkennlinie linear](assets/et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1/02-Diodenkennlinie_linear.png)\n}\n\n{}\n\n$R_1=50\\Omega$, $R_2=500\\Omega$\n\n- Ermitteln Sie grafisch die resultierenden $I$-$U$-Kennlinien der\nbeiden Zweipole AB. \\item Ermitteln Sie für beide Zweipole AB die\nBeziehung $I=f(U_\\mathrm{AB})$ rechnerisch.",
    "short_solution": "b)\n\n\\begin{tabular}{p{7em}p{10em}p{15em}}\n\nSchaltung 1: & für $ U_\\mathrm{AB}\\geq 0,65\\mathrm{V} $ & $ I/\\dmiA=20,2(U_\\mathrm{AB}/\\dV)-11,8 $\n\nSchaltung 2: & für $ U_\\mathrm{AB}\\geq 0,715\\mathrm{V} $ & $ I/\\dmiA=18,2((U_\\mathrm{AB}/\\dV)-11,7 $\n\n\\end{tabular}",
    "solution_path": "\\pagebreak\n\n- ~\n\n\\rBild[Diodenkennlinien Schaltung 1)]{scale=1.1}{_w_1}\n\n\\rBild[Diodenkennlinien Schaltung 1)]{scale=0.71}{_w_1}\n\n\\rBild[Diodenkennlinien Schaltung 2)]{scale=1.1}{_w_2}\n\n\\rBild[Diodenkennlinien Schaltung 2)]{scale=0.71}{_w_2}\n\n- ~\n\n{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1: Diodenkennlinie linear 2](assets/et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1/03-Diodenkennlinie_linear_2.png)\n}\n\n{}\n\n\\[\nr=\\dfrac{\\Delta U}{\\Delta I}=\\dfrac{0,7\\mathrm{V}-0,65\\mathrm{V}}{10\\mathrm{mA}-0}=5\\Omega\n\\]\n\\[\nI_D=\\begin{cases} \n0 & \\text{f\"ur} U_D<U_F\n\n\\dfrac{U_D-U_F}{r} & \\text{f\"ur} U_D \\geq U_F \\end{cases}\n\\]\n\n\\subsubsection*{Ersatzschaltung für die Diode:}\n\\begin{minipage}[t]{0.45\\textwidth}\n$ \\underline{U_D < U_F}$\t\n\n\\rBild{scale=1.41}{_w_7}\n\n\\end{minipage}\n\\begin{minipage}[t]{0.45\\textwidth}\n$ \\underline{U_D \\geq U_F}$\t\n\n\\rBild{scale=1.41}{_w_6}\n\n\\end{minipage}\n\n\\subsubsection*{Schaltung 1:}\n\\begin{minipage}[t]{0.45\\textwidth}\n\n\\rBild{scale=1.41}{_w_3a}\n\n\\[\n\\underline{I=\\dfrac{U}{R_2}}\n\\]\nfür $\\underline{U=U_D < U_F}$\n\\end{minipage}\n\\begin{minipage}[t]{0.45\\textwidth}\n\n\\rBild{scale=1.41}{_w_3}\n\n\\[\nI=\\dfrac{U}{R_2}+\\dfrac{U-U_F}{r+R_1}\n\\]\n\\[\n\\underline{I=\\left(\\dfrac{1}{R_2}+\\dfrac{1}{r+R_1}\\right) U -\\dfrac{U_F}{r+R_1}}\n\\]\nfür\n\\[\nU_D=U_F+r\\cdot\\dfrac{U-U_F}{r+R_1} \\geq U_F\n\\]\n\\[\n\\underline{U \\geq U_F}\n\\]\n\\end{minipage}\n\n\\subsubsection*{Schaltung 2:}\n\\begin{minipage}[t]{0.45\\textwidth}\n\n\\rBild{scale=1.41}{_w_4a}\n\n\\[\n\\underline{I=\\dfrac{U}{R_1+R_2}}\n\\]\nfür \n\\[\nU_D = \\dfrac{R_2}{R_1+R_2} U < U_F\n\\]\n\\[\n\\underline{U < \\left(1+\\dfrac{R_1}{R_2}\\right) U_F = 0,715\\mathrm{V}}\n\\]\n\\end{minipage}\n\\begin{minipage}[t]{0.45\\textwidth}\n\n\\rBild{scale=1.41}{_w_4}\n\n\\begin{align*}\n(1) & &\tI&=\\dfrac{U_D}{R_2}+\\dfrac{U_D-U_F}{r} \n\n(2) & &\tU&=U_D+R_1 I \\Rightarrow U_D= U-R_1 I\n\\end{align*}\n\\[\nI=\\dfrac{U}{R_2}-\\dfrac{R_1}{R_2} I + \\dfrac{U-U_F}{r} - \\dfrac{R_1}{r} I\n\\]\n\\[\nI=\\dfrac{\\frac{U}{R_2}+\\frac{U-U_F}{r}}{1+\\frac{R_1}{R_2}+\\frac{R_1}{r}}\n\\]\n\\[\n\\underline{I=\\dfrac{\\left(R_2+r \\right)U - R_2 U_F}{\\left(R_2+r \\right)R_1 + R_2 r}}\n\\]\nfür\n\\[\nU\\overset{(1), (2)}{\\ = \\ }U_D+\\dfrac{R_1}{R_2} U_D+\\dfrac{R_1}{r} (U_D-U_F)\n\\]\n\\[\nU=U_D\\left(1+\\dfrac{R_1}{R_2}+\\dfrac{R_1}{r}\\right)-\\dfrac{R_1}{r} U_F\n\\]\n\\[\nU_D \\geq U_F\n\\]\n\\[\n\\Rightarrow U \\geq U_F \\left(1+\\dfrac{R_1}{R_2}+\\dfrac{R_1}{r}\\right)-\\dfrac{R_1}{r} U_F\n\\]\n\\[\n\\underline{U \\geq \\left(1+\\dfrac{R_1}{R_2}\\right) U_F}\n\\]\n\\end{minipage}",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Stueckweise_lineare_Netzwerke_1",
        "source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Stueckweise_lineare_Netzwerke_1.eps",
        "asset": "assets/et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1/01-Stueckweise_lineare_Netzwerke_1.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1: Stueckweise lineare Netzwerke 1",
        "psfrag_substitutions": {
          "Diode": "Diode",
          "Gesamt": "Gesamt",
          "R1": "$R_1$",
          "R2": "$R_2$",
          "10": "10",
          "5": "5",
          "0.2": "0.2",
          "0.4": "0.4",
          "0.6": "0.6",
          "0.8": "0.8",
          "1.0": "1.0",
          "1.2": "1.2",
          "I/mA": "$I/\\miA$",
          "U/V": "$U/\\V$",
          "0.715 V": "$0,715\\V$"
        }
      },
      {
        "id": "et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1-fig-02",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Diodenkennlinie_linear",
        "source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Diodenkennlinie_linear.eps",
        "asset": "assets/et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1/02-Diodenkennlinie_linear.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1: Diodenkennlinie linear",
        "psfrag_substitutions": {
          "Diode": "Diode",
          "Gesamt": "Gesamt",
          "R1": "$R_1$",
          "R2": "$R_2$",
          "10": "10",
          "5": "5",
          "0.2": "0.2",
          "0.4": "0.4",
          "0.6": "0.6",
          "0.8": "0.8",
          "1.0": "1.0",
          "1.2": "1.2",
          "I/mA": "$I/\\miA$",
          "U/V": "$U/\\V$",
          "0.715 V": "$0,715\\V$"
        }
      },
      {
        "id": "et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1-fig-03",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Diodenkennlinie_linear_2",
        "source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Diodenkennlinie_linear_2.eps",
        "asset": "assets/et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1/03-Diodenkennlinie_linear_2.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-031-stueckweise_lineare_netzwerke-1: Diodenkennlinie linear 2",
        "psfrag_substitutions": {
          "Diode": "Diode",
          "Gesamt": "Gesamt",
          "R1": "$R_1$",
          "R2": "$R_2$",
          "10": "10",
          "5": "5",
          "0.2": "0.2",
          "0.4": "0.4",
          "0.6": "0.6",
          "0.8": "0.8",
          "1.0": "1.0",
          "1.2": "1.2",
          "I/mA": "$I/\\miA$",
          "U/V": "$U/\\V$",
          "0.715 V": "$0,715\\V$"
        }
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v032-c01",
      "lecture_chapter": "3.5",
      "video_title": "Kap. 3.5 Stückweise lineare Approximation",
      "heading": "Lösungsalgorithmus",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=F1hYqLWQV-E",
      "content": "Der Lösungsalgorithmus besteht aus drei Schritten:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=F1hYqLWQV-E&t=134s}{Näherung der nichtlinearen Kennlinien durch stückweise lineare Kennlinien}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=F1hYqLWQV-E&t=541s}{Lösung der linearen Netzwerke in den verschiedenen Gültigkeitsbereichen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=F1hYqLWQV-E&t=872s}{Festlegung der Gültigkeitsbereiche der jeweiligen Lösungen}.\n\\end{enumerate}"
    }
  ]
}