{
  "exercise": {
    "exercise_number": "4.3",
    "chapter_number": 4,
    "chapter": "Grundstromkreis",
    "title": "Leistung, Wirkungsgrad",
    "question": "Gegeben ist eine reale Spannungsquelle ($R_\\mathrm{i} = 0,5\\Omega$, $U_\\mathrm{q} = 50 \\mathrm{V}$), die wechselweise drei Verbraucher mit den Widerständen\n$R_\\mathrm{{a1}} = R_\\mathrm{{i}} / 10 $, $ R_\\mathrm{{a2}} = R_\\mathrm{{i}}$ und $R_\\mathrm{{a3}} = 10 R_\\mathrm{i}$ betreiben soll.\n\n- Berechnen Sie allgemein und für die gegebenen Zahlenwerte\ndie in $R_\\mathrm{a}$ umgesetzte Leistung und den Wirkungsgrad.\n\n- Stellen Sie den Verlauf der Leistung $P_\\mathrm{{a}}$, bezogen auf die Leistung\n$P_\\mathrm{{q0}}={U_\\mathrm{q}}^2/R_\\mathrm{i}$ und den Wirkungsgrad als Funktion von $R_\\mathrm{a}/R_\\mathrm{i}$\nin einem gemeinsamen Diagramm dar.",
    "short_solution": "a) $P_\\mathrm{{a1}}=413\\mathrm{W}$ \\: $P_\\mathrm{{a2}}=1250\\mathrm{W}$ \\: $P_\\mathrm{{a3}}=413\\mathrm{W}$ \\:\n$\\eta_1=0,091$; \\:\\: $\\eta_2=0,5$; \\:\\: $\\eta_3=0,91$",
    "solution_path": "\\noindent\n\n- $U_a = U_q \\dfrac{R_a}{R_a + R_i}$, \n$P_a = \\dfrac{{U_a}^2}{R_a} = {U_q}^2 \\dfrac{R_a}{(R_a + R_i)^2} = \\dfrac{{U_q}^2}{R_i} \\cdot\n\\dfrac{R_a/R_i}{(1+R_a/R_i)^2}$,\n\n$\\eta = \\dfrac{P_a}{P_a + P_i} = \\dfrac{I^2R_a}{I^2(R_a +R_i)} = \\dfrac{R_a}{R_a + R_i} = \\dfrac{R_a/R_i}{1+R_a/R_i}$,\n\n\\begin{align*}\nR_{a1} &= R_{i}/10 = 0,05 \\Omega, & P_{a1} &= 413,2 \\mathrm{W}, & \\eta_1 &= 0,091,\n\nR_{a2} &= R_i = 0,5 \\Omega, & P_{a2} &= 1250 \\mathrm{W}, & \\eta_2 &= 0,5,\n\nR_{a3} &= 10 R_i = 5 \\Omega, & P_{a3} &= 413,2 \\mathrm{W}, & \\eta_3 &= 0,91.\n\\end{align*}\n\n- ~\n\nLeistung:\n\n$P_{q0} = \\dfrac{{U_q}^2}{R_i}$, \n$\\dfrac{P_a}{P_{q0}} = \\dfrac{R_a/R_i}{(1+R_a/R_i)^2}$,\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-04-003-leistung_wirkungsgrad-2: Leistung Wirkungsgrad 2 w1](assets/et1-04-003-leistung_wirkungsgrad-2/01-Leistung_Wirkungsgrad_2_w1.png)",
    "figures": [
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        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Leistung_Wirkungsgrad_2_w1",
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      "chunk_id": "get-2425-v034-c01",
      "lecture_chapter": "4.2",
      "video_title": "Kap. 4.2 Leistungsumsatz im Grundstromkreis - Teil 1",
      "heading": "Leistungen im Stromkreis",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A",
      "content": "Die von der Quelle gelieferte Leistung wird mit \\(P_q\\) bezeichnet. Diese teilt sich auf in die am Verbraucher umgesetzte Leistung \\(P_a\\) und die im Innenwiderstand als Verlustleistung umgesetzte Leistung \\(P_i\\). \\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=56s}{[00:00:56]}\n\nDie von der Quelle gelieferte Leistung \\(P_q\\) lässt sich wie folgt berechnen:\n\\begin{equation}\n\tP_q = U_L \\cdot I = \\frac{U_L^2}{R_a + R_i} = I^2 \\cdot (R_i + R_a)\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=130s}{[00:02:10]}\n\nFür den Spezialfall des Kurzschlusses (\\(R_a = 0\\)) wird die angebotene Leistung \\(P_{q0}\\) betrachtet:\n\\begin{equation}\n\tP_{q0} = U_L \\cdot I_K = \\frac{U_L^2}{R_i}\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=210s}{[00:03:30]}\n\nDie am Verbraucher umgesetzte Leistung \\(P_a\\) wird beschrieben durch:\n\\begin{equation}\n\tP_a = U \\cdot I = \\frac{U^2}{R_a} = I^2 \\cdot R_a\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=337s}{[00:05:37]}\n\nDer Wirkungsgrad \\(\\eta\\) ist das Verhältnis der am Verbraucher umgesetzten Leistung zur von der Quelle gelieferten Leistung:\n\\begin{equation}\n\t\\eta = \\frac{P_a}{P_q} = \\frac{I^2 \\cdot R_a}{I^2 \\cdot (R_a + R_i)} = \\frac{R_a}{R_a + R_i}\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=527s}{[00:08:47]}"
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