{
  "exercise": {
    "exercise_number": "1.8",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Knoten- und Schnittmengengleichungen",
    "question": "\\mpBR{4.5cm}{ In der gegebenen\nTransistorschaltung wurden die Ströme $I_\\mathrm{C} = 1 \\mathrm{mA}$, $I_\\mathrm{B} = 5\n\\mathrm{\\mu A}$, $I_1 = 50\\mathrm{\\mu A}$ gemessen.\n\n- Berechnen Sie die restlichen Ströme $I_2$, $I_\\mathrm{E}$ und $I_0$.\n\n- Wie groß ist die Stromverstärkung $B = I_\\mathrm{C} / I_\\mathrm{B}$ des Transistors?\n\n}\n{\n\n\\psMsL{I_0}\\psMsL{I_1}\\psMsL{I_2}\\psTdL{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\n\\psTdL{I_C}{$I_\\mathrm{C}$}\\psTdC{I_B}{$I_\\mathrm{B}$}\\psTdL{I_E}{$I_\\mathrm{E}$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-008-knoten_und_schnittmengengleichungen-1: Knoten und Schnittmengengleichungen 1](assets/et1-01-008-knoten_und_schnittmengengleichungen-1/01-Knoten_und_Schnittmengengleichungen_1.png)\n\n}",
    "short_solution": "a) $I_2=55\\mathrm{\\mu A}$, $I_\\mathrm{E}=-1,005\\mathrm{mA}$, $I_0=1,055\\mathrm{mA}$ \\:\\: b) $B=200$",
    "solution_path": "\\psMsL{I_0}\\psMsL{I_1}\\psMsC{I_2}\n\\psMsL{I_C}\\psMsC{I_B}\\psMsL{I_E}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-008-knoten_und_schnittmengengleichungen-1: Knoten und Schnittmengengleichungen 1 w](assets/et1-01-008-knoten_und_schnittmengengleichungen-1/02-Knoten_und_Schnittmengengleichungen_1_w.png)\n\n- \\item Knotenpunktsatz: $I_2 = I_1 + I_\\mathrm{B} = 55\\mathrm{\\mu A}$\n\n- Schnittmengengleichung: $I_\\mathrm{E} = - (I_\\mathrm{B} + I_\\mathrm{C}) = -1,005\\mathrm{mA}$\n\n- Schnittmengengleichung: $I_0 = I_1 + I_\\mathrm{B} + I_\\mathrm{C} = 1,055\\mathrm{mA}$\n\n- $B = \\frac{I_\\mathrm{C}}{I_\\mathrm{B}} = 200$",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-01-008-knoten_und_schnittmengengleichungen-1-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Knoten_und_Schnittmengengleichungen_1",
        "source_asset": "1-Grundbegriffe/bilder/Knoten_und_Schnittmengengleichungen_1.eps",
        "asset": "assets/et1-01-008-knoten_und_schnittmengengleichungen-1/01-Knoten_und_Schnittmengengleichungen_1.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-008-knoten_und_schnittmengengleichungen-1: Knoten und Schnittmengengleichungen 1"
      },
      {
        "id": "et1-01-008-knoten_und_schnittmengengleichungen-1-fig-02",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Knoten_und_Schnittmengengleichungen_1_w",
        "source_asset": "1-Grundbegriffe/bilder/Knoten_und_Schnittmengengleichungen_1_w.eps",
        "asset": "assets/et1-01-008-knoten_und_schnittmengengleichungen-1/02-Knoten_und_Schnittmengengleichungen_1_w.png",
        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-008-knoten_und_schnittmengengleichungen-1: Knoten und Schnittmengengleichungen 1 w"
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v007-c03",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Anwendungsbeispiel: Transistorschaltung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s",
      "content": "Der Knotensatz wird an einer einfachen Transistorschaltung demonstriert \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=758s}{[12:38]}. Der Transistor selbst kann als eine Schnittmenge betrachtet werden. In ihn fließen der Basisstrom $I_B$ und der Kollektorstrom $I_C$ hinein, während der Emitterstrom $I_E$ herausfließt. Die Anwendung des Knotensatzes ergibt:\n\\begin{equation*}\n\tI_B + I_C - I_E = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad I_E = I_B + I_C\n\\end{equation*}\nDiese fundamentale Beziehung gilt, obwohl das genaue Verhalten des Bauelements noch nicht bekannt ist \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=968s}{[16:08]}."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v007-c02",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Ladungserhaltung und der Knotensatz",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s",
      "content": "In stationären Systemen, wie sie in diesem Semester vorwiegend betrachtet werden, gilt die Ladungserhaltung. Das bedeutet, die Ladungsmenge Q innerhalb eines Volumens ist konstant ($Q = const.$) \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=227s}{[03:47]}. Daraus folgt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung null ist:\n\\begin{equation*}\n\t\\frac{dQ}{dt} = 0\n\\end{equation*}\nSetzt man dies in die Kontinuitätsgleichung ein, ergibt sich, dass der zufließende Strom gleich dem abfließenden Strom sein muss: $I_{zu} = I_{ab}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=269s}{[04:29]}.\n\nDiese Betrachtung lässt sich verallgemeinern. Statt nur eines Zu- und Abflusses kann man eine Hülle mit beliebig vielen Strömen $I_k$ betrachten. Für einen unendlich klein gedachten Punkt in einem Netzwerk, einen sogenannten Knoten, besagt der Knotensatz, dass die Summe aller Ströme, die in diesen Knoten hinein- oder aus ihm herausfließen, null sein muss \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=457s}{[07:37]}. Dies ist auch als das 1. Kirchhoffsche Gesetz bekannt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=589s}{[09:49]}.\n\\begin{equation*}\n\t\\sum_{k=1}^{n} I_k = 0\n\\end{equation*}\nDabei gilt die Konvention: Zufließende Ströme werden positiv und abfließende Ströme negativ gezählt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=550s}{[09:10]}. Für einen beispielhaften Knoten K mit vier Strömen, bei dem $I_1$ und $I_4$ zufließen und $I_2$ und $I_3$ abfließen, lautet die Gleichung:\n\\begin{equation*}\n\tI_1 - I_2 - I_3 + I_4 = 0\n\\end{equation*}"
    }
  ]
}