{
  "exercise": {
    "exercise_number": "2.20",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Temperaturabhängigkeit, Temperaturkoeffizient",
    "question": "Die folgende Tabelle gibt für drei Bauelemente das Temperaturverhalten des elektrischen Widerstandes\nmit typischen Werten an ($T$ absolute Temperatur).\n\n\\begin{tabularx}{\\columnwidth}{|p{2.5cm}|X|X|X|}\n\\hline\nBauelement & Metall\\-widerstand & \nHeißleiter \nNTC-Widerstand & \nKaltleiter \nPTC-Widerstand \n\\hline\n$R(T)$ & \n$R(T)=R_\\mathrm{M} \\left(\\frac{T}{\\Theta}-a\\right)$ &\n$R(T)=R_\\mathrm{H} \\cdot \\e^{\\frac{b}{T}}$ & \n$R(T)=R_\\mathrm{K} \\cdot \\e^{c\\cdot T}$ \n\\hline\ntypische \nEigenschaften\n& \\raggedright\\arraybackslash $a=0,15$, \n$\\Theta=333\\mathrm{K}$, \nDebye-Temperatur für Cu & $b=3000\\mathrm{K}$\n& \\raggedright\\arraybackslash $R$ erhöht sich bei einer\nTem\\-pe\\-ra\\-tur\\-er\\-hö\\-hung um\n$100\\mathrm{K}$ um zwei Grö\\-ßen\\-ord\\-nungen $(10^2)$ \n\\hline\n\\end{tabularx}\n\n- Alle drei Bauelemente haben bei der Bezugstemperatur $T_0$ den Widerstand $R_0$.\n\nBestimmen Sie die in $R(T)$ vorkommenden Konstanten $R_\\mathrm{M}$,\n$R_\\mathrm{H}$, $R_\\mathrm{K}$ und $ c $ allgemein und für die Größenwerte\n$T_0=293\\mathrm{K}$ und $R_0=100\\Omega$.\n\n- Stellen Sie $\\dfrac{R}{R_0}$ über der Temperatur $\\vartheta$\nfür $0\\leq \\vartheta \\leq 50 \\gC $ grafisch dar.\n\n- Bestimmen Sie für die verschiedenen Bauelemente die\nTem\\-pe\\-ra\\-tur\\-ko\\-ef\\-fi\\-zi\\-enten $\\alpha$ in Abhängigkeit von der\nBezugstemperatur $T_0$ und stellen Sie diese für \\linebreak $273\\mathrm{K} \\leq T_0\n\\leq 473\\mathrm{K} $ grafisch dar.\n\n- Zeichnen Sie die linearen Näherungen $R=R_0(1+\\alpha \\Delta \\vartheta)$ normiert auf $R_0$ für \\mbox{$T_0=293\\mathrm{K}$} mit in das Diagramm von b) ein. Diskutieren Sie die Gültigkeitsbereiche der Näherungen.",
    "short_solution": "a) $R_\\mathrm{M}=R_0\\frac{\\Theta}{T_0-a\\Theta}=137\\Omega$,\\:\\: $R_\\mathrm{H}=R_0\\e^{-\\frac{b}{T_0}}=3,58\\miOhm$,\\:\\: $R_\\mathrm{K}=R_0\\e^{-cT_0}=138\\muOhm$,\\:\\:\n$c= \\frac{100}{{\\Delta}T}= 0,046/\\dK$\n\nc) $\\alpha_\\mathrm{M}=1/(T_0-a\\Theta)$,\\:\\: $\\alpha_\\mathrm{H}=-b/{T_0}^2$,\\:\\:\n$\\alpha_\\mathrm{K}=c$",
    "solution_path": "- **Metallwiderstand**\n\\begin{equation}\nR(T)=R_M\\left(\\frac{T}{\\Theta}-a\\right),\\ R(T_0)=R_0=R_M\\left(\\frac{T_0}{\\Theta}-a\\right),\\ R_M=R_0\\frac{\\Theta}{T_0-a\\Theta}\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR_M=100\\Omega\\frac{333\\mathrm{K}}{293\\mathrm{K}-0,15\\cdot 333\\mathrm{K}}=137\\Omega\n\n\\end{equation}\n**Hei\"sleiter**\n\\begin{equation}\nR(T)=R_H\\e^{\\frac{b}{T}},\\ R(T_0)=R_0=R_H\\e^{\\frac{b}{T_0}},\\ R_H=R_0\\e^{-\\frac{b}{T_0}}\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR_H=100\\Omega\\cdot \\e^{-\\frac{3000\\mathrm{K}}{293\\mathrm{K}}}=3,58\\miOhm\n\n\\end{equation}\n**Kaltleiter**\n\\begin{equation}\nR(T)=R_K\\e^{cT},\\ R(T_0)=R_0=R_K\\e^{cT_0},\\ R_K=R_0\\e^{-cT_0}\n\n\\end{equation}\nBestimmung von c: $R(T+{\\Delta}T)=f\\cdot R(T), {\\Delta}T=100\\mathrm{K},\\ f=10^2 $\n\\begin{align*}\nR_K\\e^{c(T+{\\Delta}T)} &= f\\ R_K\\e^{cT}\n\n\\e^{c({\\Delta}T)} &=f \n\nc &= \\frac{\\ln f}{{\\Delta}T} =4,605\\cdot 10^{-2}\\mathrm{K}^{-1}\n\\end{align*}\nMit $T_0=293\\mathrm{K}$ folgt:\n\\[ R_K=100\\Omega \\e^{-4,605\\cdot 10^{-2}\\cdot 293}=138\\muOhm\n\\]\n\n- **Metallwiderstand**\n\\begin{equation}\nR(T)=R_0\\frac{T- a \\Theta}{T_0- a \\Theta}\n\n\\end{equation}\n\n**Hei\"sleiter**\n\\begin{equation}\nR(T)=R_0\\e^{b ({\\frac {1}{T}}-{\\frac {1}{T_0}})}\n\n\\end{equation}\n\n**Kaltleiter**\n\\begin{equation}\nR(T)=R_0\\e^{c (T-T_0)}\n\n\\end{equation}\n**Grafische Darstellung**\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-020-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-1: Temperaturabhaengigkeit Temperaturkoeffizient 1 w1](assets/et1-02-020-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-1/01-Temperaturabhaengigkeit_Temperaturkoeffizient_1_w1.png)\n\n- Definition für $\\alpha$: $\\alpha(T_0)=\\left.\\frac{1}{R_0}\\cdot\\frac{\\mathrm{d}R}{\\mathrm{d}T}\\right|_{T=T_0}$\n\n**Metallwiderstand**\n\\begin{equation}\n\\alpha(T_0)=\\frac{1}{R_0}\\frac{R_M}{\\Theta}=\\frac{1}{R_M \\left(\\frac{T_0}{\\Theta}-a \\right) }\\cdot\\frac{R_M}{\\Theta}=\\frac{1}{T_0-a\\Theta}=\\frac{1}{T_0-50\\mathrm{K}}, \\text{ siehe oben}\n\n\\end{equation}\noder\n\\begin{eqnarray*}\n\\alpha(T_0)\n&=&\\frac{1}{R_0}\\left.\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}T}\\left(R_0\\frac{T- a \\Theta}{T_0- a \\Theta}\\right)\\right|_{T=T_0}\n=\\left.\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}T}\\left(\\frac{T}{T_0- a \\Theta}\\right)\\right|_{T=T_0}\n\n&=&\\frac{1}{T_0-a\\Theta}\n=\\frac{1}{T_0-50\\mathrm{K}}\n\\end{eqnarray*}\n**Hei\"sleiter**\n\\begin{equation}\n\\alpha(T_0)=\\frac{1}{R_0}R_H\\left.\\frac{\\mathrm{d}\\e^\\frac{b}{T}}{\\mathrm{d}T}\\right|_{T=T_0}=\n-\\frac{R_H}{R_0}\\frac{b}{{T_0}^2}\\e^\\frac{b}{T_0}=-\\frac{R_H}{R_H \\e^\\frac{b}{T_0}}\\cdot \\frac{b}{{T_0}^2} \\e^\\frac{b}{T_0}=-\\frac{b}{{T_0}^2}=-\\frac{3000\\mathrm{K}}{{T_0}^2}\n\n\\end{equation}\noder\n\\begin{eqnarray*}\n\\alpha(T_0)\n&=&\\frac{1}{R_0}\\left.\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}T}\\left(R_0\\e^{b\\left({\\frac {1}{T}}-{\\frac {1}{T_0}}\\right)}\\right)\\right|_{T=T_0}\n=\\left.\\e^{-\\frac{b}{T_0}}\\frac {\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}T}\\left(\\e^{\\frac {b}{T}}\\right)\\right|_{T=T_0}\n\n&=&\\left.\\e^{-\\frac{b}{T_0}}\\left(-\\frac {b}{{T}^2}\\e^{\\frac{b}{T}}\\right)\\right|_{T=T_0}\n=-\\frac{b}{{T_0}^2}\n=-\\frac{3000\\mathrm{K}}{{T_0}^2}\n\\end{eqnarray*}\n**Kaltleiter**\n\\begin{equation}\n\\alpha(T_0)=\\frac{1}{R_0}R_K\\left.\\frac{\\mathrm{d}\\e^{cT}}{\\mathrm{d}T}\\right|_{T=T_0}\\ =\\frac{R_K}{R_0}c\\e^{cT_0}=\\frac{R_K}{R_K \\e^{cT_0} }\\cdot c \\cdot \\e^{cT_0}=c=4,605\\cdot 10^{-2}\\mathrm{K}^{-1}\n\n\\end{equation}\noder\n\\begin{eqnarray*}\n\\alpha(T_0)\n&=&\\frac{1}{R_0}\\left.\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}T}\\left(R_0\\e^{c (T-T_0)}\\right)\\right|_{T=T_0}\n=\\e^{-cT_0}\\left.\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}T}\\left(\\e^{cT}\\right)\\right|_{T=T_0}\n\n&=&\\e^{-cT_0}\\left.\\left(c\\e^{cT}\\right)\\right|_{T=T_0}\n=c=4,605\\cdot 10^{-2}\\mathrm{K}^{-1}\n\\end{eqnarray*}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-020-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-1: Temperaturabhaengigkeit Temperaturkoeffizient 1 w2](assets/et1-02-020-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-1/02-Temperaturabhaengigkeit_Temperaturkoeffizient_1_w2.png)\n\n- Zur Konstruktion der Geraden, Wahl des ohnehin vorhandenen Punktes bei $\\vartheta_0$ und eines zweiten Punktes, z.~B. bei $\\vartheta=50\\gC$.\n\nNäherung:\n\n\\begin{equation}\n\\dfrac{R(\\vartheta)}{R_0} = 1+ \\alpha (\\vartheta - \\vartheta_0), \\vartheta_0=20\\gC \n\\end{equation}\n\n**Metallwiderstand:**\n\\begin{equation}\n\\dfrac{R(50\\gC)}{R_0} = 1+ \\dfrac{1}{293\\mathrm{K} - 50\\mathrm{K}} \\cdot 30\\mathrm{K} = 1,12 \n\n\\end{equation}\n\n**Heißleiter:**\n\\begin{equation}\n\\dfrac{R(50\\gC)}{R_0} = 1- \\dfrac{3.000\\mathrm{K}}{(293\\mathrm{K})^2} \\cdot 30\\mathrm{K} = -0,05 \n\n\\end{equation}\n\n**Kaltleiter:**\n\\begin{equation}\n\\dfrac{R(50\\gC)}{R_0} = 1+ 4,605\\cdot 10^{-2}\\mathrm{K}^{-1} \\cdot 30\\mathrm{K} = 2,38 \n\n\\end{equation}\n\n\\emph{Die Näherung darf i. Allg. nur f\"ur solche Temperaturintervalle verwendet werden, f\"ur die $\\alpha\\Delta T\\ll 1$ gilt.}\n\nUneingeschr\"ankt gilt sie nur f\"ur Metallwiderst\"ande.\n\n\\mpBR{5.0cm}{\nDeutung des TK $\\alpha$:\n\\begin{equation}\nR(T_1)\\approx R(T_0)+\\left.\\frac{\\mathrm{d}R}{\\mathrm{d}T}\\right|_{T=T_0}\\cdot (T_1-T_0)\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR(T_1)\\approx R(T_0)\\left(1+\\frac{1}{R_0}\\left.\\frac{\\mathrm{d}R}{\\mathrm{d}T}\\right|_{T=T_0}\\cdot (T_1-T_0)\\right)\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR(T_1)\\approx R(T_0)(1+\\alpha(T_0)\\cdot (T_1-T_0))\n\n\\end{equation}\n}{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-020-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-1: Temperaturabhaengigkeit Temperaturkoeffizient 2 w3](assets/et1-02-020-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-1/03-Temperaturabhaengigkeit_Temperaturkoeffizient_2_w3.png)\n\n}",
    "figures": [
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-02-020-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-1: Temperaturabhaengigkeit Temperaturkoeffizient 2 w3"
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      "lecture_chapter": "2.4",
      "video_title": "Kap. 2.4 Temperaturabhängigkeit von Widerständen - Teil 2",
      "heading": "Temperaturkoeffizient",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs",
      "content": "Der Temperaturkoeffizient $\\alpha_{T_0}$ ist eine Materialkonstante und beschreibt die relative Widerstandsänderung pro Kelvin \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs&t=905s}{[00:15:05]}. Er ist definiert als:\n\\begin{equation}\n\t\\alpha_{T_0} = \\frac{1}{R_0} \\cdot \\frac{dR}{dT}\\bigg|_{T_0} = \\frac{1}{\\rho_0} \\cdot \\frac{d\\rho}{dT}\\bigg|_{T_0}\n\\end{equation}\nDie Einheit des Temperaturkoeffizienten ist $\\frac{1}{K}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs&t=968s}{[00:16:08]}."
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