{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.12",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Überlagerungssatz",
    "question": "\\mpBR{7.0cm}{\nBerechnen Sie den Strom $I_4$.\n\n$U_\\mathrm{q1}=10\\mathrm{V}$, $U_\\mathrm{q2}=20\\mathrm{V}$, \n\n$R_1=R_2=R_3=R_4=R=10\\Omega$\n}\n{\n\n\\psMsR{R_1}\\psMsR{R_3}\\psMsR{R_4}\\psMsL{I_4}\n\\psTdR{U_q1}{$U_\\mathrm{q1}$}\\psTdR{U_q2}{$U_\\mathrm{q2}$}\n\\psMsR{R_2}\n\n\\rBild{scale=1.41}{b}\n\n}",
    "short_solution": "$ I_4=-0,25\\mathrm{A} $",
    "solution_path": "$I_4 = I_{4q1} + I_{4q2}$\n\nmit einfachem Stromteiler: \n\n\\begin{align*}\nI_{4q1} &= \\frac{U_{q1}}{R_1 + R_2 || R_3 || R_4} \\cdot \\frac{R_2 || R_3}{R_4 + R_2 || R_3} \n\n& =\\frac{U_{q1}}{R_1 + \\frac{R_2 R_3 R_4}{R_2 R_3 + R_2 R_4 + R_3 R_4}} \\cdot \\frac{\\frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}}{R_4 + \\frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}} \n\n&= \\frac{U_{q1}}{R_1 + \\frac{R_2 R_3 R_4}{R_2 R_3 + R_2 R_4 + R_3 R_4}} \\cdot \\frac{R_2 R_3}{R_2 R_3 + R_2 R_4 + R_3 R_4} \n\nI_{4q1} &= \\frac{U_{q1} R_2 R_3}{R_1 R_2 R_3 + R_1 R_2 R_4 + R_1 R_3 R_4 + R_2 R_3 R_4} = \\frac{U_{q1}}{4 R} \n\\end{align*}\n\\begin{align*}\nI_{4q2} &= \\frac{-U_{q2}}{R_2 + R_1 || R_3 || R_4} \\cdot \\frac{R_1 || R_3}{R_4 + R_1 || R_3} \n\nI_{4q2}& = \\frac{-U_{q2} R_1 R_ 3}{R_1 R_2 R_3 + R_1 R_2 R_4 + R_1 R_3 R_4 + R_2 R_3 R_4} = -\\frac{U_{q2}}{4 R}\n\\end{align*} \n$I_{4q1} = 0,25\\mathrm{A}$, $I_{4q2} = -0,5\\mathrm{A}$, $I_4 = \\frac{U_{q1}-U_{q2}}{4 R}={ -0,25\\mathrm{A}}$\n\n\\hinw{Zur Übung Quellen transformieren: }\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-012-ueberlagerungssatz-2: Ueberlagerungssatz 2 w2](assets/et1-03-012-ueberlagerungssatz-2/01-Ueberlagerungssatz_2_w2.png)\n\n$ I_4 = \\left( \\frac{U_{q1}}{R_1} - \\frac{U_{q2}}{R_2} \\right) \n\\cdot \\frac{R_1 || R_2 || R_3}{R_4 + R_1 || R_2 || R_3} \n\n= \\frac{U_{q1} R_2 R_3 - U_{q2} R_1 R_3}{R_1 R_2 R_3 + R_1 R_2 R_4 + R_1 R_3 R_4 + R_2 R_3 R_4}$",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-03-012-ueberlagerungssatz-2-fig-01",
        "role": "loesungsweg",
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        "psfrag_substitutions": {
          "R1": "$R_1$",
          "R2": "$R_2$",
          "R3": "$R_3$",
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        }
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v027-c01",
      "lecture_chapter": "3.2",
      "video_title": "Kap. 3.2 Überlagerungssatz - Teil 1",
      "heading": "Einführungsbeispiel",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=gObUbEZ5IPo",
      "content": "Als Einführungsbeispiel wird ein Netzwerk mit zwei unabhängigen Quellen (einer Spannungsquelle und einer Stromquelle) und zwei Widerständen betrachtet (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=gObUbEZ5IPo&t=51s}{[00:00:51]}). \n\\[\n\\text{Schaltung: } U_q, R_1, R_2, I_q\n\\]\nDer gesuchte Strom ist $I_2$. Um diesen zu finden, werden die Maschen- und Knotengleichungen aufgestellt (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=gObUbEZ5IPo&t=137s}{[00:02:17]}).\n\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\textbf{Maschengleichung:} $I_2 R_2 - U_q + I_1 R_1 = 0$\n\t\\item \\textbf{Knotengleichung:} $I_1 + I_q - I_2 = 0$\n\\end{itemize}\n\nDurch Umstellen und Einsetzen der Gleichungen erhält man den Ausdruck für den gesuchten Strom $I_2$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=gObUbEZ5IPo&t=235s}{[00:03:55]}).\n\\[\nI_2 = \\frac{I_q R_1 + U_q}{R_1 + R_2}\n\\]\nDieser Ausdruck wird in zwei Terme aufgeteilt, die jeweils die Wirkung einer der beiden Quellen repräsentieren (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=gObUbEZ5IPo&t=322s}{[00:05:22]}).\n\\[\nI_2 = I_{2, U_q} + I_{2, I_q}\n\\]\nDabei ist $I_{2, U_q}$ der Anteil des Stroms, der von der Spannungsquelle $U_q$ herrührt, und $I_{2, I_q}$ der Anteil, der von der Stromquelle $I_q$ herrührt."
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  ]
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