{
  "exercise": {
    "exercise_number": "7.5",
    "chapter_number": 7,
    "chapter": "Thermisch-elektrische Analogien",
    "title": "Kühlkörperdimensionierung",
    "question": "Ein Halbleiterbauelement nimmt im Betrieb eine Verlustleistung $P_\\mathrm{V} = 5 \\mathrm{W}$ auf.\n\nEs hat einen inneren thermischen Widerstand $R_\\mathrm{thi} = 20 \\mathrm{K}/\\mathrm{W}$, die maximale Sperrschichttemperatur\nbeträgt $\\vartheta_\\mathrm{j\\max} = 150\\gC$.\n\nDas Bauelement ist auf einen Kühlkörper montiert, dessen Wärmeleitungswiderstand gegen die anderen\nthermischen Widerstände vernachlässigbar ist und dessen Kühlfläche durch Konvektion gekühlt wird\n(Wärmeübergangszahl $\\alpha = 12,5 \\mathrm{W}/\\mathrm{K}\\mathrm{m}^2$). Die Umgebungstemperatur beträgt $\\vartheta_\\mathrm{u} = 40\\gC$.\n\n- Wie groß muss die wirksame Oberfläche des Kühlkörpers mindestens sein, damit das Bauelement thermisch nicht zerstört wird?\n\n- Wie ändert sich die Sperrschichttemperatur bei Vergrößerung der wirksamen Kühlfläche?",
    "short_solution": "a) $A_\\mathrm{k}=400\\mathrm{cm}^2 $",
    "solution_path": "- ~\n\n\\rBild{scale=1.41}{_w_1}\n\nWärmeübergang von der Sperrschicht $(\\vartheta_{j\\max})$ zum Kühlkörper $(\\vartheta_{K})$:\n$$\nP_V = \\frac{\\vartheta_{j\\max} - \\vartheta_K }{R_{thi} } \\Rightarrow \\vartheta _K = \\vartheta_{j\\max} - P_V R_{thi},\n$$ \nWärmeübergang vom Kühlkörper $(\\vartheta _{K})$ zur Umgebung $(\\vartheta_{u})$ :\n\\begin{align*}\nP_V & = \\frac{\\vartheta_K - \\vartheta_u }{R_{\\text{ thü}} }\n\\text{mit} R_{\\text{ thü}} = \\frac{1}{\\alpha A _K } , \\text{ Wärmeübergangswiderstand bei Konvektion,} \n\nP_V & = \\frac{\\vartheta _K - \\vartheta _u \n}{R_{\\text{ thü}} } = \\alpha A _K (\\vartheta _K \n- \\vartheta _u ) \\Rightarrow A_K = \\frac{P_V \n}{\\alpha ((\\vartheta_{j\\max} - R_{thi} \nP_V ) - \\vartheta_u )}\n\\end{align*}\nZahlenwerte:\n$$\n\\vartheta_{K} = 50 \\gC , \\mathrm{A}_{K} = 0,\\!04 \n\\mathrm{m}^{2}= 400 \\mathrm{cm}^{2}.\n$$\n\n- Vergrößerung von $A_{K } \\Rightarrow $ Verminderung der Sperrschichttemperatur",
    "figures": []
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v051-c02",
      "lecture_chapter": "7.3",
      "video_title": "Kap. 7.3 Wärmetransportmechanismen",
      "heading": "Berechnung mit Kühlkörper",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=GGn0aIMntv4",
      "content": "Die Werte für die thermischen Widerstände werden aus den jeweiligen Datenblättern entnommen:\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=GGn0aIMntv4&t=461s}{$R_{th,jc} = 1,5 \\frac{K}{W}$} (aus dem Transistor-Datenblatt)\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=GGn0aIMntv4&t=698s}{$R_{th,ck} = 0,5 \\frac{K}{W}$} (aus dem Datenblatt der Glimmerscheibe)\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=GGn0aIMntv4&t=799s}{$R_{th,ka} = 5,0 \\frac{K}{W}$} (aus einem Kühlkörper-Katalog)\n\\end{itemize}\n\nDer gesamte thermische Widerstand in dieser Reihenschaltung beträgt:\n\\begin{equation}\n\tR_{th,ges} = R_{th,jc} + R_{th,ck} + R_{th,ka} = 1,5 + 0,5 + 5,0 = 7,0 \\frac{K}{W}\n\\end{equation}\nDie maximal zulässige Temperaturdifferenz zwischen dem PN-Übergang und der Umgebung ist:\n\\begin{equation}\n\t\\Delta\\vartheta = \\vartheta_j - \\vartheta_u = 150°C - 20°C = 130K\n\\end{equation}\nDaraus ergibt sich die \\href{https://www.youtube.com/watch?v=GGn0aIMntv4&t=847s}{maximal zulässige Verlustleistung}:\n\\begin{equation}\n\tP_{el} = P_{th} = \\frac{\\Delta\\vartheta}{R_{th,ges}} = \\frac{130K}{7,0 \\frac{K}{W}} \\approx 18,6 W\n\\end{equation}"
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v049-c00",
      "lecture_chapter": "7.2",
      "video_title": "Kap. 7.2 Thermische Ersatzelemente",
      "heading": "Einführung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0",
      "content": "Das Video führt in die thermischen Ersatzelemente ein, um technische Systeme unter thermischen Aspekten zu modellieren.\n\nEin technisches System, dem elektrische Leistung zugeführt wird, wird betrachtet (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=22s}{[00:00:22]}). Es wird angenommen, dass die zugeführte elektrische Leistung vollständig in Wärmeleistung umgewandelt wird. Die Formel für diese Umwandlung lautet:\n\\begin{equation}\n\tP_{el} = P_{th} = U \\cdot I\n\\end{equation}\nDiese Wärmeleistung wird als thermischer Strom aufgefasst und das System kann als thermische Stromquelle modelliert werden (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=96s}{[00:01:36]}).\n\nDie erzeugte Wärme wird durch ein umgebendes Medium an die Umgebung abgeführt (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=145s}{[00:02:25]}). Dieser Wärmetransport wird durch die Temperaturdifferenz zwischen der Oberfläche des Systems und der Umgebung angetrieben. Die Temperaturdifferenz ist definiert als:\n\\begin{equation}\n\t\\Delta T = T_O - T_U\n\\end{equation}\nwobei $T_O$ die Oberflächentemperatur und $T_U$ die Umgebungstemperatur ist.\n\nDie Eigenschaften des Mediums, durch das die Wärme transportiert wird, werden durch den thermischen Widerstand $R_{th}$ charakterisiert (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=222s}{[00:03:42]}). Die Umgebungstemperatur wird als konstant angenommen und kann durch eine thermische Spannungsquelle modelliert werden (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=252s}{[00:04:12]}).\n\nDer thermische Widerstand stellt den Zusammenhang zwischen dem Wärmestrom und der Temperaturdifferenz her. Wenn ein linearer Zusammenhang angenommen wird, gilt analog zum Ohmschen Gesetz (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=494s}{[00:08:14]}):\n\\begin{equation}\n\tR_{th} = \\frac{\\Delta T}{P_{th}} = \\frac{\\Delta \\vartheta}{P_{th}}\n\\end{equation}\nDie Einheit des thermischen Widerstandes ist Kelvin pro Watt ($\\frac{K}{W}$).\n\nAls Anwendungsbeispiel wird eine Heizplatte betrachtet (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=pJKPIS8WFG0&t=575s}{[00:09:35]}) mit folgenden Werten:\n\\begin{itemize}\n\t\\item Leistung: $P_{el} = 2 \\, kW$\n\t\\item Oberflächentemperatur: $\\vartheta_O = 60 \\, ^\\circ C$\n\t\\item Zimmertemperatur: $\\vartheta_U = 18 \\, ^\\circ C$\n\\end{itemize}\n\nDaraus wird der thermische Widerstand berechnet:\n\\begin{equation}\n\tR_{th} = \\frac{60\\,^\\circ C - 18\\,^\\circ C}{2\\,kW} = \\frac{42\\,K}{2\\,kW} = 21\\,\\frac{K}{kW} = 0.021\\,\\frac{K}{W}\n\\end{equation}"
    }
  ]
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