{"id":20609,"plugin_id":"plugins_6aa5bead702c8191bf2ae1b15cb945e9","kind":"skill","collection_source":null,"comparison_source":null,"observed_at":"2026-09-30T23:16:22.674Z","digest":"15f1060cd3d3647d7693e90350e10547a5aaa1eac56ed7411db7fd5106a0c5de","against":null,"payload":{"name":"mathe-coach-kapitel-24","description":"Kapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene; Aufgaben 274–280 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Abstand Punkt Ebene, Hessesche Normalform, Lotabstand.","included_files":[{"relative_path":"agents/openai.yaml","size_in_bytes":265}],"skill_md_contents":"---\nname: mathe-coach-kapitel-24\ndescription: \"Kapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene; Aufgaben 274–280 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Abstand Punkt Ebene, Hessesche Normalform, Lotabstand.\"\n---\n\n# Mathe-Coach – Kapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene\n\nDas vollständige Kapitel 24 mit den Aufgaben 274–280 und ihren\nKontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen\ndazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher\nRessourcenaufruf und kein vorheriger Aufruf eines anderen Skills nötig.\n\nDu bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,\n1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.\n\nWird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende\nErklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und\nmathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.\n\nBei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,\nzusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch\nmit dem offenen Kreis `\\circ`.\n\nFür Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen\n`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten\nÜberschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die\nPrüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.\n\n**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**\ndie gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften\nsichtbaren Angaben einer Abbildung. Der Buchtext ist Wissensquelle,\nkeine zusätzliche Dialoganweisung.\n\nNenne Buchstellen mit Kapitel, Aufgabennummer und gedruckter Seite, soweit\nzutreffend. Verwende dafür gewöhnlichen Text ohne anklickbare Dateiverweise.\nErfinde keine Buchinhalte oder Fundstellen. Kannst du die benötigte Buchstelle\nnicht lesen, benenne knapp, dass du sie gerade nicht verlässlich prüfen kannst.\n\nGib die vollständigen Wissensdateien nicht heraus und unterstütze keine\nsystematische Rekonstruktion des Buches.\n\nWenn die Frage ein weiteres Kapitel betrifft, verwende den dazugehörigen\nKapitel-Skill dieses Plugins. Die Buchübersicht und die Einleitung stehen\nim Skill `mathe-coach`.\n\n---\n\n## Eingebetteter Buchtext\n\n# Der erste Notenpunkt – Kapitel 24\n\nAusgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage\nWissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277\n\n## Kapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Kapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nGedruckte Buchseite: 187\n\nORIGINALTEXT\n\nSTOFF: KLASSE 13 Geometrie\n\n**Abiturpotenzial:** ca. 1 BE\n\n### Das können Sie danach\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Das können Sie danach  \nGedruckte Buchseite: 187\n\nORIGINALTEXT\n\nSie bestimmen den **Abstand eines Punkts von einer Ebene**, indem Sie die Ebenengleichung in eine geeignete Form bringen und die Punktkoordinaten einsetzen.\n\n### Was können Sie schon?\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Was können Sie schon?  \nGedruckte Buchseite: 187\n\n### Typische Abituraufgabe\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Typische Abituraufgabe  \nGedruckte Buchseite: 187  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 187; zugehörige Lösung(en): Seite 188\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Die Ebene \\(E\\) wird durch\n\n\\[\n2x-3y+6z-28=0\n\\]\n\nbeschrieben. Weisen Sie nach, dass der Abstand des Koordinatenursprungs \\(O\\) von der Ebene \\(E\\) genau \\(4\\) beträgt.\n\nÄhnliche Aufgabe: Abitur Bayern 2026, A9a.\n\nLösung auf der nächsten Seite\n\n### Lösung\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Lösung  \nGedruckte Buchseite: 188  \nTypische Abituraufgabe(n): Seite 187; zugehörige Lösung(en): Seite 188\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Koordinatenursprung \\(O\\) hat von der Ebene \\(E\\) den Abstand \\(4\\).\n\nEin Normalenvektor der Ebene und seine Länge sind\n\n\\[\n\\vec n=\\begin{pmatrix}2\\\\\n-3\\\\\n6\\end{pmatrix},\n \\qquad\n \\left|\\vec n\\right|=\\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=7.\n\\]\n\nRechts steht bereits \\(0\\). Wir teilen die gesamte Gleichung durch \\(7\\) und erhalten die Hesse'sche Normalform:\n\n\\[\n\\frac17\\bigl(2x-3y+6z-28\\bigr)=0.\n\\]\n\nFür den Koordinatenursprung \\(O(0\\mid0\\mid0)\\) setzen wir in der linken Seite \\(x=0\\), \\(y=0\\) und \\(z=0\\) ein und bilden den Betrag:\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n d(O,E)\n &=\\left|\\frac17\\bigl(2\\cdot0-3\\cdot0+6\\cdot0-28\\bigr)\\right|\\\\\n&=\\left|\\frac{-28}{7}\\right|=|-4|=4.\n\\end{aligned}\n\\]\n\nDamit ist der angegebene Abstand nachgewiesen.\n\n### Grundwissen kompakt\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Grundwissen kompakt  \nGedruckte Buchseite: 189\n\n#### Was der Abstand ist\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Was der Abstand ist  \nGedruckte Buchseite: 189\n\nORIGINALTEXT\n\nDenken Sie sich vom Punkt \\(P\\) aus Strecken zu verschiedenen Punkten der Ebene \\(E\\). Je nachdem, wo eine solche Strecke endet, fällt sie länger oder kürzer aus. Die Länge der kürzesten Verbindung nennen wir den Abstand von \\(P\\) zur Ebene \\(E\\). Damit wir das nicht jedes Mal ausschreiben müssen, verwenden wir die Abkürzung \\(d(P,E)\\). Diese kürzeste Verbindung verläuft senkrecht zur Ebene; in der Zeichnung führt sie von \\(P\\) nach \\(F\\).\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Was der Abstand ist  \nGedruckte Buchseite: 189\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nEine schräg gezeichnete, grau gefüllte Fläche bezeichnet die Ebene \\(E\\). Über ihr liegt der markierte Punkt \\(P\\). Die senkrechte Verbindung von \\(P\\) zum markierten Fußpunkt \\(F\\) auf \\(E\\) ist mit \\(d(P,E)\\) beschriftet. Ein rechter Winkel bei \\(F\\) sowie eine gestrichelte Linie innerhalb der Ebene verdeutlichen die Lage.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Was der Abstand ist  \nGedruckte Buchseite: 189\n\nORIGINALTEXT\n\nJetzt wissen wir, was mit dem Abstand gemeint ist. Aber wie rechnen wir ihn aus? Genau darum geht es in diesem Kapitel.\n\n#### Die Hesse'sche Normalform\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Die Hesse'sche Normalform  \nGedruckte Buchseite: 189\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Trick besteht darin, die Ebenengleichung in eine bestimmte Gestalt zu bringen. Dann brauchen wir nur noch die Punktkoordinaten in die gesamte linke Seite der Gleichung einzusetzen und den Betrag des Ergebnisses zu bilden. Für diese besondere Gestalt gibt es einen Namen: Hesse'sche Normalform. Damit eine Ebenengleichung diesen Namen trägt, muss sie zwei Bedingungen erfüllen:\n\nEine Ebenengleichung steht in **Hesse'scher Normalform**, wenn rechts \\(0\\) steht und der Normalenvektor (also der Vektor aus den Vorfaktoren von \\(x\\), \\(y\\) und \\(z\\)) die Länge \\(1\\) hat.\n\nWir müssen also auf zwei Dinge achten: rechts die Null und beim Normalenvektor die Länge \\(1\\). Die Null bekommen wir leicht hin: Steht rechts noch eine Zahl, bringen wir sie auf die linke Seite. Und für die Länge \\(1\\) teilen wir die ganze Gleichung durch die Länge des Normalenvektors. Damit haben wir beide Bedingungen erfüllt.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Die Hesse'sche Normalform  \nGedruckte Buchseite: 190\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Herleitung dieser Formel würde hier zu weit führen. Nach dem Rechenbeispiel prüfen wir sie an einem Punkt, dessen Abstand wir schon kennen.\n\n#### Ein Beispiel von Anfang bis Ende\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Ein Beispiel von Anfang bis Ende  \nGedruckte Buchseite: 190\n\nORIGINALTEXT\n\nSchauen wir uns an einem Beispiel an, wie wir die Ebenengleichung vorbereiten und anschließend den Abstand berechnen. Gesucht ist der Abstand des Punkts \\(P(1\\mid0\\mid1)\\) von der Ebene\n\n\\[\nE:\\quad x+2y+2z=6.\n\\]\n\nRechts steht eine \\(6\\). Die muss weg, also bringen wir sie auf die linke Seite:\n\n\\[\nE:\\quad x+2y+2z-6=0.\n\\]\n\nNun der Normalenvektor. Er steht in den Vorfaktoren von \\(x\\), \\(y\\) und \\(z\\), und seine Länge berechnen wir wie bei jedem Vektor:\n\n\\[\n\\vec n=\\begin{pmatrix}1\\\\\n2\\\\\n2\\end{pmatrix},\n \\qquad\n \\left|\\vec n\\right|=\\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3.\n\\]\n\nLänge \\(3\\), verlangt ist \\(1\\). Also teilen wir die ganze Gleichung durch \\(3\\) – am bequemsten schreibt man den Faktor einfach vor die Klammer:\n\n\\[\n\\frac13\\left(x+2y+2z-6\\right)=0.\n\\]\n\nMüssen wir die Klammer jetzt noch ausmultiplizieren? Für die Abstandsrechnung bringt uns das nichts: Wir können die Punktkoordinaten direkt in die Klammer einsetzen und das Ergebnis durch \\(3\\) teilen. Nur der Normalenvektor mit der Länge \\(1\\) ist in dieser Schreibweise ein wenig versteckt. Multiplizieren wir gedanklich aus, finden wir vor \\(x\\), \\(y\\) und \\(z\\) die Zahlen \\(\\frac13\\), \\(\\frac23\\) und \\(\\frac23\\). Prüfen Sie ruhig einmal selbst, ob seine Länge stimmt: die drei Zahlen quadrieren, die Quadrate addieren und die Wurzel ziehen. Es kommt tatsächlich \\(1\\) heraus.\n\nUnd unser Punkt \\(P\\)? Den haben wir bisher noch gar nicht gebraucht. Wir waren die ganze Zeit mit der Ebenengleichung beschäftigt. Jetzt kommt \\(P\\) an die Reihe: Wir setzen \\(x=1\\), \\(y=0\\) und \\(z=1\\) in die gesamte linke Seite ein und bilden den Betrag des Ergebnisses:\n\n\\[\nd(P,E)=\\left|\\frac13\\bigl(1+2\\cdot0+2\\cdot1-6\\bigr)\\right|\n =|-1|=1.\n\\]\n\nDer Punkt hat von der Ebene also den Abstand \\(1\\).\n\n#### Die Probe aufs Exempel\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Die Probe aufs Exempel  \nGedruckte Buchseite: 191\n\nORIGINALTEXT\n\nJetzt kommt die angekündigte Probe. Diesmal wollen wir die Antwort schon kennen, bevor wir die Formel benutzen. Wir suchen uns den Punkt also passend aus. Dazu bleiben wir bei unserer Ebene\n\n\\[\nE:\\quad x+2y+2z-6=0.\n\\]\n\nWir starten bei \\(A(2\\mid2\\mid0)\\). Dieser Punkt liegt in der Ebene, denn beim Einsetzen ergibt sich \\(2+4+0-6=0\\). Von dort gehen wir einmal den ursprünglichen Normalenvektor \\(\\vec n\\) entlang. Damit gehen wir senkrecht von der Ebene weg, und die zurückgelegte Strecke kennen wir auch schon: Der Vektor hat die Länge \\(3\\). Der neue Punkt ist\n\n\\[\n\\begin{pmatrix}2\\\\\n2\\\\\n0\\end{pmatrix}\n +\\begin{pmatrix}1\\\\\n2\\\\\n2\\end{pmatrix}\n =\\begin{pmatrix}3\\\\\n4\\\\\n2\\end{pmatrix},\n \\qquad\\text{also }B(3\\mid4\\mid2).\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Die Probe aufs Exempel  \nGedruckte Buchseite: 191\n\nABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)\n\nEbene \\(E\\) als grau gefüllte Fläche mit markiertem \\(A(2\\mid2\\mid0)\\). Von \\(A\\) führt ein senkrechter Pfeil \\(\\vec n\\) zum darüberliegenden Punkt \\(B(3\\mid4\\mid2)\\). Daneben steht „Länge 3“. Am Fuß ist ein rechter Winkel zur Ebene markiert.\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Die Probe aufs Exempel  \nGedruckte Buchseite: 191\n\nORIGINALTEXT\n\nFür \\(B\\) muss der Abstand also \\(3\\) sein. Das wissen wir schon aus unserem senkrechten Weg von \\(A\\) nach \\(B\\). Nun setzen wir die Koordinaten ein. Kommt auch \\(3\\) heraus?\n\n\\[\nd(B,E)=\\left|\\frac13\\bigl(3+2\\cdot4+2\\cdot2-6\\bigr)\\right|\n =|3|=3.\n\\]\n\nGenau die erwarteten \\(3\\) Längeneinheiten. Die Rechnung mit der Hesse'schen Normalform bestätigt also den Abstand, den wir bereits aus unserem senkrechten Weg von \\(A\\) nach \\(B\\) kannten.\n\n### Übungsaufgaben\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Übungsaufgaben  \nGedruckte Buchseite: 192\n\nORIGINALTEXT\n\nLösungen ab Seite 299\n\n#### Aufgabe 274\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAufgabe 274  \nGedruckte Buchseite: 192  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 274, Kapitel 24, Seite 299 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Geben Sie eine Gleichung der Ebene \\(E:\\ 2x-2y+z=12\\) in Hesse'scher Normalform an.\n\n#### Aufgabe 275\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAufgabe 275  \nGedruckte Buchseite: 192  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 275, Kapitel 24, Seite 299 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Zeigen Sie, dass der Koordinatenursprung \\(O\\) von der Ebene \\(E:\\ 4x-3y+12z-65=0\\) den Abstand \\(5\\) hat.\n\n#### Aufgabe 276\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAufgabe 276  \nGedruckte Buchseite: 192  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 276, Kapitel 24, Seite 299 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nOHNE TR Die Kugel \\(K\\) hat den Mittelpunkt \\(M(1\\mid-2\\mid4)\\) und den Radius \\(2\\). Untersuchen Sie, ob \\(K\\) die Ebene \\(E:\\ 2x-y+2z-15=0\\) schneidet. Vergleichen Sie dazu den Abstand des Mittelpunkts von \\(E\\) mit dem Radius.\n\n#### Aufgabe 277\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAufgabe 277  \nGedruckte Buchseite: 192  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 277, Kapitel 24, Seite 299 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nIn einem Modell wird eine kugelförmige Leuchte durch eine Kugel mit dem Mittelpunkt \\(M(0\\mid0\\mid3)\\) beschrieben. Diese Kugel berührt die ebene Wand \\(E:\\ 2x+2y+z-12=0\\). Eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter. Ermitteln Sie den Durchmesser der Leuchte in Zentimetern.\n\n#### Aufgabe 278\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAufgabe 278  \nGedruckte Buchseite: 192  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 278, Kapitel 24, Seite 300 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGegeben sind die Ebenenschar \\(E_r:\\ 2x+3y+6z-r=0\\), \\(r\\in\\mathbb R\\), und die Kugel \\(K\\) mit dem Mittelpunkt \\(M(1\\mid1\\mid1)\\) und dem Radius \\(2\\). Genau zwei Ebenen dieser Schar berühren die Kugel. Bestimmen Sie die zugehörigen Werte von \\(r\\).\n\n#### Aufgabe 279\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAufgabe 279  \nGedruckte Buchseite: 192  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 279, Kapitel 24, Seite 300 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nGegeben sind die Ebene \\(E:\\ x-2y+2z-1=0\\) und die Gerade\n\n\\[\ng:\\quad\n \\vec x=\\begin{pmatrix}1\\\\\n1\\\\\n1\\end{pmatrix}\n +t\\begin{pmatrix}1\\\\\n-2\\\\\n2\\end{pmatrix},\n \\qquad t\\in\\mathbb R.\n\\]\n\nBestimmen Sie die Koordinaten der beiden Punkte auf \\(g\\), die von \\(E\\) den Abstand \\(6\\) haben.\n\n#### Aufgabe 280\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAufgabe 280  \nGedruckte Buchseite: 192  \nZugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 280, Kapitel 24, Seite 301 (Anfangsseite)\n\nORIGINALTEXT\n\nDie Ebene \\(E:\\ 3x+4z-36=0\\) enthält den Punkt \\(A(0\\mid0\\mid9)\\). Auf der Strecke \\(\\overline{OA}\\) liegt der Punkt \\(P(0\\mid0\\mid p)\\) mit \\(0<p<9\\). Bestimmen Sie \\(p\\), wenn \\(P\\) vom Koordinatenursprung \\(O\\) den gleichen Abstand wie von \\(E\\) haben soll.\n\n\n## Kontrolllösungen zu Kapitel 24\n\n### Kapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nAbschnitt: Kapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nGedruckte Buchseite: 299\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 274\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nKontrolllösung zu Aufgabe 274  \nGedruckte Buchseite: 299  \nZugehörige Übung: Aufgabe 274, Kapitel 24, Seite 192  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 299\n\nORIGINALTEXT\n\nZuerst bringen wir die Zahl \\(12\\) auf die linke Seite:\n\n\\[\nE:\\quad 2x-2y+z-12=0.\n\\]\n\nDer Normalenvektor \\(\\vec n=\\left(\\begin{smallmatrix}2\\\\ -2\\\\ 1\\end{smallmatrix}\\right)\\) hat die Länge\n\n\\[\n\\lvert\\vec n\\rvert=\\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3.\n\\]\n\nNachdem wir die gesamte Gleichung durch \\(3\\) geteilt haben, erhalten wir die Hesse'sche Normalform:\n\n**Ergebnis:** \\(E:\\ \\frac13\\bigl(2x-2y+z-12\\bigr)=0\\)\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 275\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nKontrolllösung zu Aufgabe 275  \nGedruckte Buchseite: 299  \nZugehörige Übung: Aufgabe 275, Kapitel 24, Seite 192  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 299\n\nORIGINALTEXT\n\nFür den Normalenvektor \\(\\vec n=\\left(\\begin{smallmatrix}4\\\\ -3\\\\ 12\\end{smallmatrix}\\right)\\) gilt\n\n\\[\n\\lvert\\vec n\\rvert\n =\\sqrt{4^2+(-3)^2+12^2}\n =\\sqrt{169}=13.\n\\]\n\nWir teilen die linke Seite durch \\(13\\), setzen für den Ursprung \\(x=y=z=0\\) ein und bilden den Betrag:\n\n\\[\nd(O,E)\n =\\left|\\frac1{13}\\bigl(4\\cdot0-3\\cdot0+12\\cdot0-65\\bigr)\\right|\n =\\left|-\\frac{65}{13}\\right|=5.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Damit ist gezeigt, dass der Abstand des Ursprungs von \\(E\\) gleich \\(5\\) ist.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 276\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nKontrolllösung zu Aufgabe 276  \nGedruckte Buchseite: 299  \nZugehörige Übung: Aufgabe 276, Kapitel 24, Seite 192  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 299\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Normalenvektor von \\(E\\) hat die Länge\n\n\\[\n\\left|\\begin{pmatrix}2\\\\\n-1\\\\\n2\\end{pmatrix}\\right|\n =\\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3.\n\\]\n\nDamit ergibt sich für den Abstand des Mittelpunkts von der Ebene\n\n\\[\nd(M,E)\n =\\left|\\frac13\\bigl(2\\cdot1-(-2)+2\\cdot4-15\\bigr)\\right|\n =\\left|\\frac{-3}{3}\\right|=1.\n\\]\n\nDer Mittelpunkt hat von \\(E\\) also den Abstand \\(1\\), während der Radius der Kugel \\(2\\) beträgt. Da \\(1<2\\) gilt, schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis.\n\n**Ergebnis:** Die Kugel \\(K\\) wird von der Ebene \\(E\\) geschnitten.\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 277\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nKontrolllösung zu Aufgabe 277  \nGedruckte Buchseite: 299  \nZugehörige Übung: Aufgabe 277, Kapitel 24, Seite 192  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 299\n\nORIGINALTEXT\n\nFür den Normalenvektor \\(\\vec n=\\left(\\begin{smallmatrix}2\\\\ 2\\\\ 1\\end{smallmatrix}\\right)\\) gilt\n\n\\[\n\\lvert\\vec n\\rvert=\\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3.\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nKontrolllösung zu Aufgabe 277  \nGedruckte Buchseite: 300  \nZugehörige Übung: Aufgabe 277, Kapitel 24, Seite 192  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 299\n\nORIGINALTEXT\n\nDamit beträgt der Abstand des Mittelpunkts von der Wand\n\n\\[\nd(M,E)\n =\\left|\\frac13\\bigl(2\\cdot0+2\\cdot0+3-12\\bigr)\\right|\n =|-3|=3.\n\\]\n\nWeil die Kugel die Wand berührt, ist dieser Abstand zugleich ihr Radius. Der Durchmesser beträgt daher \\(2\\cdot3=6\\) Längeneinheiten, also \\(6\\,\\mathrm{dm}\\).\n\n\\[\n6\\,\\mathrm{dm}=60\\,\\mathrm{cm}\n\\]\n\n**Ergebnis:** Der Durchmesser der Leuchte beträgt \\(60\\,\\mathrm{cm}\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 278\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nKontrolllösung zu Aufgabe 278  \nGedruckte Buchseite: 300  \nZugehörige Übung: Aufgabe 278, Kapitel 24, Seite 192  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 300\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Normalenvektor der Ebenen hat die Länge\n\n\\[\n\\left|\\begin{pmatrix}2\\\\\n3\\\\\n6\\end{pmatrix}\\right|\n =\\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7.\n\\]\n\nDamit beträgt der Abstand des Mittelpunkts von einer Ebene der Schar\n\n\\[\nd(M,E_r)\n =\\left|\\frac17\\bigl(2\\cdot1+3\\cdot1+6\\cdot1-r\\bigr)\\right|\n =\\frac{|11-r|}{7}.\n\\]\n\nEine Ebene der Schar berührt die Kugel, wenn dieser Abstand gleich dem Radius \\(2\\) ist. Daher gilt\n\n\\[\n\\frac{|11-r|}{7}=2\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n |11-r|=14\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n r=-3\\quad\\text{oder}\\quad r=25.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Die gesuchten Parameterwerte sind \\(r=-3\\) und \\(r=25\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 279\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nKontrolllösung zu Aufgabe 279  \nGedruckte Buchseite: 300  \nZugehörige Übung: Aufgabe 279, Kapitel 24, Seite 192  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 300\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Normalenvektor von \\(E\\) hat die Länge\n\n\\[\n\\left|\\begin{pmatrix}1\\\\\n-2\\\\\n2\\end{pmatrix}\\right|\n =\\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3.\n\\]\n\nEin Punkt auf \\(g\\) hat in Abhängigkeit von \\(t\\) die Koordinaten\n\n\\[\nX_t(1+t\\mid1-2t\\mid1+2t).\n\\]\n\nWir setzen diese Koordinaten in die Hesse'sche Normalform von \\(E\\) ein:\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n d(X_t,E)\n &=\\left|\\frac13\\bigl((1+t)-2(1-2t)+2(1+2t)-1\\bigr)\\right|\\\\\n&=\\left|\\frac{9t}{3}\\right|=3|t|.\n\\end{aligned}\n\\]\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nKontrolllösung zu Aufgabe 279  \nGedruckte Buchseite: 301  \nZugehörige Übung: Aufgabe 279, Kapitel 24, Seite 192  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 300\n\nORIGINALTEXT\n\nDer geforderte Abstand führt damit auf\n\n\\[\n3|t|=6\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n t=-2\\quad\\text{oder}\\quad t=2.\n\\]\n\nFür \\(t=-2\\) ergibt sich der Punkt \\((-1\\mid5\\mid-3)\\), während \\(t=2\\) zum Punkt \\((3\\mid-3\\mid5)\\) führt.\n\n**Ergebnis:** Die gesuchten Punkte sind \\((-1\\mid5\\mid-3)\\) und \\((3\\mid-3\\mid5)\\).\n\n#### Kontrolllösung zu Aufgabe 280\n\nBUCHNAVIGATION  \nKapitel 24: Abstand eines Punkts von einer Ebene  \nKontrolllösung zu Aufgabe 280  \nGedruckte Buchseite: 301  \nZugehörige Übung: Aufgabe 280, Kapitel 24, Seite 192  \nAnfang der Kontrolllösung: Seite 301\n\nORIGINALTEXT\n\nDer Normalenvektor von \\(E\\) hat die Länge \\(\\sqrt{3^2+4^2}=5\\). Wegen \\(0<p<9\\) ist außerdem \\(4p-36<0\\). Für den Abstand von \\(P\\) zu \\(E\\) gilt damit\n\n\\[\nd(P,E)\n =\\left|\\frac15\\bigl(4p-36\\bigr)\\right|\n =\\frac{36-4p}{5}.\n\\]\n\nDa \\(p>0\\) gilt, ist der Abstand von \\(P\\) zum Ursprung gleich \\(p\\). Aus der geforderten Gleichheit der beiden Abstände folgt somit\n\n\\[\np=\\frac{36-4p}{5}\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n 9p=36\n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad\n p=4.\n\\]\n\n**Ergebnis:** Für \\(p=4\\) hat \\(P\\) von \\(O\\) und \\(E\\) den gleichen Abstand.\n\n"},"changes":[],"summary":"First saved snapshot. No earlier version is available for comparison.","summary_kind":"deterministic","summary_metadata":{}}