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name: mathe-coach-kapitel-10
description: "Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit; Aufgaben 127–137 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: stochastische Unabhängigkeit, Produktkriterium, Gegenereignis."
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# Mathe-Coach – Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit

Das vollständige Kapitel 10 mit den Aufgaben 127–137 und ihren
Kontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen
dazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher
Ressourcenaufruf und kein vorheriger Aufruf eines anderen Skills nötig.

Du bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,
1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.

Wird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende
Erklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und
mathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.

Bei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,
zusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch
mit dem offenen Kreis `\circ`.

Für Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen
`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten
Überschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die
Prüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.

**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**
die gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften
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## Eingebetteter Buchtext

# Der erste Notenpunkt – Kapitel 10

Ausgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage
Wissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277

## Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Gedruckte Buchseite: 77

ORIGINALTEXT

STOFF: KLASSE 12 Stochastik

**Abiturpotenzial:** ca. 1 BE

### Das können Sie danach

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Das können Sie danach  
Gedruckte Buchseite: 77

ORIGINALTEXT

Sie prüfen, ob eine **Zusatzinformation** eine **Wahrscheinlichkeit verändert**.

### Was können Sie schon?

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Was können Sie schon?  
Gedruckte Buchseite: 77

### Typische Abituraufgabe

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Typische Abituraufgabe  
Gedruckte Buchseite: 77  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 77; zugehörige Lösung(en): Seite 78

ORIGINALTEXT

Bei einer Befragung an einem Gymnasium geben \(40\,\%\) der Schülerinnen und Schüler an, eine Sport-AG zu besuchen. \(25\,\%\) spielen kein Musikinstrument. \(15\,\%\) besuchen keine Sport-AG und spielen kein Musikinstrument.

Für die folgenden Fragen wird unter allen Befragten zufällig eine Person ausgewählt. Wir schreiben \(S\) für „besucht eine Sport-AG“ und \(M\) für „spielt ein Musikinstrument“.

a) Weisen Sie nach, dass \(S\) und \(M\) stochastisch unabhängig sind.

b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die ausgewählte Person kein Musikinstrument spielt, wenn sie eine Sport-AG besucht.

Ähnliche Aufgabe: Abitur Bayern 2022, B Stochastik 2, 1a–b.

Lösung auf der nächsten Seite

### Lösung

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Lösung  
Gedruckte Buchseite: 78  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 77; zugehörige Lösung(en): Seite 78

ORIGINALTEXT

a) Die Ereignisse \(S\) und \(M\) sind stochastisch unabhängig.

Zunächst gilt

\[
P(\overline S)=0{,}60,
 \qquad P(\overline M)=0{,}25
 \qquad\text{und}\qquad
 P(\overline S\cap\overline M)=0{,}15.
\]

Insgesamt spielen \(25\,\%\) kein Musikinstrument; \(15\,\%\) besuchen außerdem keine Sport-AG. Für \(S\cap\overline M\) bleiben daher \(10\,\%\):

\[
P(S\cap\overline M)=0{,}25-0{,}15=0{,}10
\]

Von den \(40\,\%\) mit Sport-AG gehören \(10\,\%\) zu \(S\cap\overline M\). Somit verbleiben \(30\,\%\) für \(S\cap M\):

\[
P(S\cap M)=0{,}40-0{,}10=0{,}30.
\]

Außerdem ist \(P(M)=1-0{,}25=0{,}75\). Für das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten folgt daher

\[
P(S)\cdot P(M)=0{,}40\cdot0{,}75=0{,}30=P(S\cap M).
\]

Damit ist die stochastische Unabhängigkeit nachgewiesen.

b) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt \(25\,\%\).

Die Personen mit Sport-AG bilden die festgelegte Gruppe. Von allen Befragten gehören \(10\,\%\) zur Gruppe \(S\cap\overline M\) und \(40\,\%\) zur Gruppe \(S\). Somit gilt

\[
P_S(\overline M)=\frac{0{,}10}{0{,}40}=0{,}25=25\,\%.
\]

### Grundwissen kompakt

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Grundwissen kompakt  
Gedruckte Buchseite: 79

#### Was eine Zusatzinformation verändert

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Was eine Zusatzinformation verändert  
Gedruckte Buchseite: 79

ORIGINALTEXT

Bleiben wir noch einen Moment beim Mensabeispiel aus Kapitel 9. Wie im vorigen Kapitel steht \(D\) für „Dessert“ und \(V\) für „vegetarisches Hauptgericht“. Von den \(200\) Gästen haben \(50\) ein Dessert bestellt. Bevor wir etwas Weiteres über die ausgewählte Person wissen, gilt daher

\[
P(D)=\frac{50}{200}=0{,}25=25\,\%.
\]

Nun kommt eine Zusatzinformation hinzu: Jemand hat beobachtet, dass die ausgewählte Person ein vegetarisches Hauptgericht bestellt hat. Beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein Dessert unter dieser Bedingung weiterhin \(25\,\%\)?

Man könnte meinen, das sei egal. Was hat die Wahl des Hauptgerichts damit zu tun, ob jemand hinterher noch ein Dessert bestellt? Rechnen wir nach.

Die Zusatzinformation legt eine kleinere Gruppe fest. Deshalb greifen wir auf die **bedingte Wahrscheinlichkeit** aus dem vorigen Kapitel zurück. Für die Gäste mit vegetarischem Hauptgericht gilt:

\[
P_V(D)=0{,}30=30\,\%.
\]

Es ist also nicht egal. Die Kenntnis, dass \(V\) eingetreten ist, beeinflusst die Wahrscheinlichkeit von \(D\): Sie steigt von \(25\,\%\) auf \(30\,\%\). Deshalb nennt man \(V\) und \(D\) **stochastisch abhängig**. Beeinflusst eine solche Zusatzinformation die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses nicht, nennt man die Ereignisse **stochastisch unabhängig**.

#### Welche Wahrscheinlichkeiten Sie vergleichen

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Welche Wahrscheinlichkeiten Sie vergleichen  
Gedruckte Buchseite: 79

ORIGINALTEXT

Was wir gerade an \(V\) und \(D\) gesehen haben, gilt allgemein. Nennen wir die beiden Ereignisse \(A\) und \(B\). Legt \(B\) die Gruppe fest, vergleichen Sie \(P_B(A)\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) ohne Zusatzinformation. Sie können die Rollen auch vertauschen. Damit gibt es zwei gleichwertige Vergleichsrichtungen:

\(\displaystyle P_B(A)=P(A)\) oder \(\displaystyle P_A(B)=P(B)\)

Es genügt, eine der beiden Gleichungen zu prüfen. Stimmen in der betrachteten Gleichung die linke und die rechte Seite überein, sind die Ereignisse stochastisch unabhängig. Andernfalls sind sie stochastisch abhängig.

#### Ein zweiter Weg: das Produktkriterium

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Ein zweiter Weg: das Produktkriterium  
Gedruckte Buchseite: 80

ORIGINALTEXT

Manchmal sind \(P(A\cap B)\), \(P(A)\) und \(P(B)\) bereits gegeben oder lassen sich unmittelbar aus einer Wahrscheinlichkeitstafel ablesen. Dann müssen Sie keine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, sondern können das Produktkriterium verwenden. Woher dieses Kriterium kommt, lässt sich leicht nachvollziehen. Wir beginnen mit der ersten der beiden gleichwertigen Gleichungen \(P_B(A)=P(A)\) und setzen die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit aus Kapitel 9 ein:

\[
P_B(A)=P(A)
 \;\Longleftrightarrow\;
 \frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A)
 \;\Longleftrightarrow\;
 P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).
\]

Deshalb gilt: \(A\) und \(B\) sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn

\[
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)
\]

Links steht die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Ereignisse eintreten. Rechts steht das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.

Bemerkenswert ist dabei, dass zwei so verschiedene Prüfungen dasselbe Ergebnis liefern müssen. Die eine vergleicht Wahrscheinlichkeiten, die andere bildet ein Produkt — und doch stehen beide für dieselbe Sache. Sie können sich also immer diejenige aussuchen, für die Sie die Angaben schon haben.

Betrachten wir nun eine Schulumfrage. Aus den Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt. \(F\) bedeutet, dass sie mit dem Fahrrad zur Schule kommt, und \(M\), dass sie die Mensa nutzt. Die Wahrscheinlichkeitstafel zeigt die zugehörigen Angaben.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Ein zweiter Weg: das Produktkriterium  
Gedruckte Buchseite: 80

ORIGINALTEXT

| | \(M\) | \(\overline M\) | \(\Sigma\) |
| --- | --- | --- | --- |
| \(F\) | \(\boxed{0{,}18}\) | \(0{,}42\) | \(\boxed{0{,}60}\) |
| \(\overline F\) | \(0{,}12\) | \(0{,}28\) | \(0{,}40\) |
| \(\Sigma\) | \(\boxed{0{,}30}\) | \(0{,}70\) | \(1\) |

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Ein zweiter Weg: das Produktkriterium  
Gedruckte Buchseite: 80

ORIGINALTEXT

Welche der beiden Prüfmethoden bietet sich hier an? Die Tafel liefert unmittelbar \(P(F\cap M)\), \(P(F)\) und \(P(M)\). Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist dagegen nicht angegeben. Deshalb bietet sich das Produktkriterium an. Die hervorgehobenen Felder liefern:

\[
P(F\cap M)=0{,}18
 \qquad\text{und}\qquad
 P(F)\cdot P(M)=0{,}60\cdot0{,}30=0{,}18.
\]

Die linke und die rechte Seite des Produktkriteriums stimmen überein. Daher sind \(F\) und \(M\) stochastisch unabhängig.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Ein zweiter Weg: das Produktkriterium  
Gedruckte Buchseite: 81

ORIGINALTEXT

Anschaulich bedeutet das: Beobachten wir, dass die ausgewählte Person mit dem Fahrrad zur Schule kommt, macht diese Zusatzinformation die Nutzung der Mensa weder wahrscheinlicher noch unwahrscheinlicher. Die Wahrscheinlichkeit bleibt nämlich bei \(P(M)=30\,\%\), genau wie bei einer zufällig ausgewählten Person, über die wir nichts Weiteres wissen.

#### Auch das Gegenereignis

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Auch das Gegenereignis  
Gedruckte Buchseite: 81

ORIGINALTEXT

Betrachten wir nun statt \(F\) das Gegenereignis \(\overline F\). Auch „kein Fahrrad“ ist eine Zusatzinformation. Ändert sich dadurch die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person die Mensa nutzt? Die Tafel liefert:

\[
P(\overline F\cap M)=0{,}12
 \qquad\text{und}\qquad
 P(\overline F)\cdot P(M)=0{,}40\cdot0{,}30=0{,}12.
\]

Wir wissen bereits, dass \(F\) und \(M\) stochastisch unabhängig sind. Auch für \(\overline F\) und \(M\) stimmen die beiden Seiten des Produktkriteriums überein. In unserem Beispiel gilt also: Mit \(F\) und \(M\) sind auch \(\overline F\) und \(M\) stochastisch unabhängig. Anschaulich heißt das: Auch wenn wir wissen, dass die ausgewählte Person nicht mit dem Fahrrad zur Schule kommt, bleibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie die Mensa nutzt, unverändert.

**Allgemein gilt:** Sind \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, dann sind auch \(\overline A\) und \(B\) stochastisch unabhängig.

In Worten bedeutet das: Auch die Information, dass \(A\) nicht eingetreten ist, beeinflusst die Wahrscheinlichkeit von \(B\) nicht. Diese Regel hilft Ihnen zum Beispiel, wenn nach \(P(\overline A\cap B)\) gefragt wird.

#### Das erwartet Sie in den Aufgaben

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Das erwartet Sie in den Aufgaben  
Gedruckte Buchseite: 81

ORIGINALTEXT

In einer Aufgabe prüfen Sie außerdem, was ein statistischer Zusammenhang über eine mögliche Ursache aussagt. Dabei lernen Sie, zwischen stochastischer Abhängigkeit und einer Ursache-Wirkungs-Beziehung zu unterscheiden.

### Übungsaufgaben

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Übungsaufgaben  
Gedruckte Buchseite: 82

ORIGINALTEXT

Lösungen ab Seite 244

#### Aufgabe 127

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 127  
Gedruckte Buchseite: 82  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 127, Kapitel 10, Seite 244 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

OHNE TR Eine Gemeinde wertet Angaben zu Haushalten aus. Einer der erfassten Haushalte wird zufällig ausgewählt. \(H\) bedeutet, dass im ausgewählten Haushalt mindestens ein Haustier lebt, und \(G\), dass zu diesem Haushalt ein Garten gehört.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 127  
Gedruckte Buchseite: 82  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 127, Kapitel 10, Seite 244 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

| | \(G\) | \(\overline G\) | \(\Sigma\) |
| --- | --- | --- | --- |
| \(H\) | \(0{,}14\) | \(0{,}42\) | \(0{,}56\) |
| \(\overline H\) | \(0{,}11\) | \(0{,}33\) | \(0{,}44\) |
| \(\Sigma\) | \(0{,}25\) | \(0{,}75\) | \(1\) |

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 127  
Gedruckte Buchseite: 82  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 127, Kapitel 10, Seite 244 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Untersuchen Sie, ob \(H\) und \(G\) stochastisch unabhängig sind.

#### Aufgabe 128

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 128  
Gedruckte Buchseite: 82  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 128, Kapitel 10, Seite 244 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Ein Verkehrsverbund wertet \(300\) Zugfahrten aus. \(R\) bedeutet „Regionalzugfahrt“ und \(Z\) „pünktliche Ankunft“. Eine der Fahrten wird zufällig ausgewählt.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 128  
Gedruckte Buchseite: 82  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 128, Kapitel 10, Seite 244 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

| | \(Z\) | \(\overline Z\) | \(\Sigma\) |
| --- | --- | --- | --- |
| \(R\) | \(144\) | \(36\) | \(180\) |
| \(\overline R\) | \(72\) | \(48\) | \(120\) |
| \(\Sigma\) | \(216\) | \(84\) | \(300\) |

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 128  
Gedruckte Buchseite: 82  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 128, Kapitel 10, Seite 244 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

a) Berechnen Sie \(P(Z)\) und \(P_R(Z)\).

b) Entscheiden Sie, ob \(R\) und \(Z\) stochastisch unabhängig sind.

#### Aufgabe 129

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 129  
Gedruckte Buchseite: 82  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 129, Kapitel 10, Seite 244 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Ein Fitnessstudio wertet \(200\) Besuche aus. Bei \(80\) der \(200\) Besuche wird an einem Kurs teilgenommen. Bei der Hälfte der Besuche mit Kursteilnahme wird zusätzlich die Sauna genutzt. Bei \(45\,\%\) aller erfassten Besuche wird weder an einem Kurs teilgenommen noch die Sauna genutzt.

Einer der erfassten Besuche wird zufällig ausgewählt. \(K\) bedeutet, dass bei diesem Besuch an einem Kurs teilgenommen wird, und \(S\), dass dabei die Sauna genutzt wird.

a) Stellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten auf.

b) Überprüfen Sie, ob \(K\) und \(S\) stochastisch unabhängig sind.

#### Aufgabe 130

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 130  
Gedruckte Buchseite: 82  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 130, Kapitel 10, Seite 245 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

OHNE TR Für die stochastisch unabhängigen Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt

\[
P(A)=0{,}40
 \qquad\text{und}\qquad
 P(A\cap B)=0{,}14.
\]

Bestimmen Sie \(P(B)\).

#### Aufgabe 131

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 131  
Gedruckte Buchseite: 83  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 131, Kapitel 10, Seite 245 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

OHNE TR Die folgende Wahrscheinlichkeitstafel enthält einen Wert \(x\) mit \(0\leq x\leq0{,}50\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 131  
Gedruckte Buchseite: 83  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 131, Kapitel 10, Seite 245 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

| | \(B\) | \(\overline B\) | \(\Sigma\) |
| --- | --- | --- | --- |
| \(A\) | \(x\) | \(0{,}50-x\) | \(0{,}50\) |
| \(\overline A\) | \(0{,}20\) | \(0{,}30\) | \(0{,}50\) |
| \(\Sigma\) | \(x+0{,}20\) | \(0{,}80-x\) | \(1\) |

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 131  
Gedruckte Buchseite: 83  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 131, Kapitel 10, Seite 245 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Bestimmen Sie \(x\) so, dass \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

#### Aufgabe 132

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 132  
Gedruckte Buchseite: 83  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 132, Kapitel 10, Seite 246 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Eine faire Münze wird zweimal geworfen. \(K\) steht für „Kopf“ und \(Z\) für „Zahl“. Die vier geordneten Ergebnisse \((K,K)\), \((K,Z)\), \((Z,K)\) und \((Z,Z)\) sind gleich wahrscheinlich.

Betrachtet werden die Ereignisse

\[
\begin{aligned}
 C&:\ \text{„Es fällt genau einmal Kopf.“},\\
D&:\ \text{„Beim ersten Wurf fällt Kopf.“}
 \end{aligned}
\]

Untersuchen Sie, ob \(C\) und \(D\) stochastisch unabhängig sind.

#### Aufgabe 133

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 133  
Gedruckte Buchseite: 83  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 133, Kapitel 10, Seite 246 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt \(P(A\cap B)=0{,}18\), \(P(A\cap\overline B)=0{,}22\) und \(P(\overline A\cap B)=0{,}27\). Untersuchen Sie, ob \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

#### Aufgabe 134

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 134  
Gedruckte Buchseite: 83  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 134, Kapitel 10, Seite 246 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Für die stochastisch unabhängigen Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt \(P(A)=0{,}60\) und \(P(B)=0{,}25\). Bestimmen Sie \(P(\overline A\cap B)\).

#### Aufgabe 135

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 135  
Gedruckte Buchseite: 83  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 135, Kapitel 10, Seite 246 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Ein Freizeitbad wertet seine Besuche aus. Bei \(25\,\%\) der Besuche wurde die Eintrittskarte online gekauft. Bei \(40\,\%\) wurde die Sauna nicht genutzt. Bei \(30\,\%\) wurde die Eintrittskarte nicht online gekauft und zugleich die Sauna nicht genutzt.

Einer der erfassten Besuche wird zufällig ausgewählt. \(O\) bedeutet, dass die Eintrittskarte für diesen Besuch online gekauft wurde, und \(S\), dass dabei die Sauna genutzt wurde.

a) Weisen Sie nach, dass \(O\) und \(S\) stochastisch unabhängig sind.

b) Geben Sie für einen Besuch mit online gekaufter Eintrittskarte die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Sauna nicht genutzt wurde.

#### Aufgabe 136

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 136  
Gedruckte Buchseite: 83  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 136, Kapitel 10, Seite 247 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt \(P(B)=0{,}30\) und \(P_A(B)=0{,}30\). Eine Schülerin behauptet, ohne \(P_B(A)\) lasse sich nicht über die stochastische Unabhängigkeit entscheiden. Beurteilen Sie die Behauptung.

#### Aufgabe 137

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Aufgabe 137  
Gedruckte Buchseite: 84  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 137, Kapitel 10, Seite 247 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Ein Anbieter einer Vokabel-App wertet eine Erhebung unter \(200\) Schülerinnen und Schülern aus. Zwischen zwei Vokabeltests verwendeten \(80\) von ihnen die App. Von diesen verbesserten \(56\) ihr Ergebnis. Von den übrigen \(120\) Schülerinnen und Schülern verbesserten \(48\) ihr Ergebnis. Ob die App verwendet wurde, entschieden die Schülerinnen und Schüler selbst.

a) Untersuchen Sie, ob der Anteil der Schülerinnen und Schüler mit verbessertem Ergebnis unter denjenigen, die die App verwendet haben, größer ist als unter den übrigen Schülerinnen und Schülern.

b) Der Anbieter schließt daraus: „Die Nutzung der App hat die Verbesserung verursacht.“ Beurteilen Sie diesen Schluss.


## Kontrolllösungen zu Kapitel 10

### Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Abschnitt: Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Gedruckte Buchseite: 244

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 127

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 127  
Gedruckte Buchseite: 244  
Zugehörige Übung: Aufgabe 127, Kapitel 10, Seite 82  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 244

ORIGINALTEXT

Aus der Wahrscheinlichkeitstafel lesen wir

\[
P(H\cap G)=0{,}14,
 \qquad P(H)=0{,}56
 \qquad\text{und}\qquad P(G)=0{,}25
\]

ab. Für das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten gilt

\[
P(H)\cdot P(G)=0{,}56\cdot0{,}25=0{,}14.
\]

Die linke und die rechte Seite des Produktkriteriums stimmen überein.

**Ergebnis:** Die Ereignisse \(H\) und \(G\) sind stochastisch unabhängig.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 128

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 128  
Gedruckte Buchseite: 244  
Zugehörige Übung: Aufgabe 128, Kapitel 10, Seite 82  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 244

ORIGINALTEXT

**a)** Bei \(216\) der \(300\) Zugfahrten war die Ankunft pünktlich. Daher gilt

\[
P(Z)=\frac{216}{300}=0{,}72.
\]

Für \(P_R(Z)\) bilden dagegen die \(180\) Regionalzugfahrten die festgelegte Gruppe. Von ihnen waren \(144\) pünktlich, sodass folgt:

\[
P_R(Z)=\frac{144}{180}=0{,}80.
\]

**b)** Die Zusatzinformation, dass die ausgewählte Fahrt eine Regionalzugfahrt ist, erhöht die Wahrscheinlichkeit einer pünktlichen Ankunft von \(72\,\%\) auf \(80\,\%\).

**Ergebnis:** Die Ereignisse \(R\) und \(Z\) sind stochastisch abhängig.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 129

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 129  
Gedruckte Buchseite: 244  
Zugehörige Übung: Aufgabe 129, Kapitel 10, Seite 82  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 244

ORIGINALTEXT

**a)** Bei der Hälfte der \(80\) Besuche mit Kursteilnahme wird auch die Sauna genutzt. Für die Zahl der Besuche im Feld \(K\cap S\) gilt daher

\[
\frac12\cdot80=40.
\]

Weitere \(80-40=40\) Besuche gehören zu \(K\cap\overline S\).

Bei \(0{,}45\cdot200=90\) Besuchen wird weder an einem Kurs teilgenommen noch die Sauna genutzt. Damit fehlen in der Zeile \(\overline K\) noch

\[
200-80-90=30
\]

Besuche mit Saunanutzung.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 129  
Gedruckte Buchseite: 245  
Zugehörige Übung: Aufgabe 129, Kapitel 10, Seite 82  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 244

ORIGINALTEXT

| | \(S\) | \(\overline S\) | \(\Sigma\) |
| --- | --- | --- | --- |
| \(K\) | \(40\) | \(40\) | \(80\) |
| \(\overline K\) | \(30\) | \(90\) | \(120\) |
| \(\Sigma\) | \(70\) | \(130\) | \(200\) |

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 129  
Gedruckte Buchseite: 245  
Zugehörige Übung: Aufgabe 129, Kapitel 10, Seite 82  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 244

ORIGINALTEXT

**b)** Aus der Vierfeldertafel erhalten wir

\[
P(K\cap S)=\frac{40}{200}=0{,}20.
\]

Für das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten gilt dagegen

\[
P(K)\cdot P(S)
 =\frac{80}{200}\cdot\frac{70}{200}
 =0{,}40\cdot0{,}35
 =0{,}14.
\]

Die beiden Seiten des Produktkriteriums stimmen nicht überein.

**Ergebnis:** Die Ereignisse \(K\) und \(S\) sind stochastisch abhängig.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 130

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 130  
Gedruckte Buchseite: 245  
Zugehörige Übung: Aufgabe 130, Kapitel 10, Seite 82  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 245

ORIGINALTEXT

Da \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind, gilt das Produktkriterium:

\[
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).
\]

Wir setzen die gegebenen Werte ein und lösen nach \(P(B)\) auf:

\[
0{,}14=0{,}40\cdot P(B)
 \qquad\Longrightarrow\qquad
 P(B)=\frac{0{,}14}{0{,}40}=0{,}35.
\]

**Ergebnis:** Es gilt \(P(B)=0{,}35\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 131

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 131  
Gedruckte Buchseite: 245  
Zugehörige Übung: Aufgabe 131, Kapitel 10, Seite 83  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 245

ORIGINALTEXT

Der Tafel entnehmen wir:

\[
P(A\cap B)=x,
 \qquad P(A)=0{,}50
 \qquad\text{und}\qquad P(B)=x+0{,}20.
\]

Nach dem Produktkriterium sind \(A\) und \(B\) genau dann stochastisch unabhängig, wenn

\[
x=0{,}50\cdot(x+0{,}20).
\]

Wir lösen die Gleichung:

\[
x=0{,}50x+0{,}10
 \qquad\Longrightarrow\qquad
 0{,}50x=0{,}10
 \qquad\Longrightarrow\qquad
 x=0{,}20.
\]

Dieser Wert liegt im angegebenen Bereich.

**Ergebnis:** Für \(x=0{,}20\) sind \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 132

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 132  
Gedruckte Buchseite: 246  
Zugehörige Übung: Aufgabe 132, Kapitel 10, Seite 83  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 246

ORIGINALTEXT

Das Ereignis \(C\) enthält die beiden Ergebnisse \((K,Z)\) und \((Z,K)\). Das Ereignis \(D\) enthält \((K,K)\) und \((K,Z)\). Daher gilt

\[
P(C)=\frac24=0{,}50
 \qquad\text{und}\qquad
 P(D)=\frac24=0{,}50.
\]

Nur das Ergebnis \((K,Z)\) gehört zu beiden Ereignissen. Somit ist

\[
P(C\cap D)=\frac14=0{,}25.
\]

Außerdem gilt

\[
P(C)\cdot P(D)=0{,}50\cdot0{,}50=0{,}25.
\]

Die linke und die rechte Seite des Produktkriteriums stimmen überein.

**Ergebnis:** Die Ereignisse \(C\) und \(D\) sind stochastisch unabhängig.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 133

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 133  
Gedruckte Buchseite: 246  
Zugehörige Übung: Aufgabe 133, Kapitel 10, Seite 83  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 246

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Aus den drei gegebenen Wahrscheinlichkeiten erhalten wir \(P(A)=0{,}18+0{,}22=0{,}40\) und \(P(B)=0{,}18+0{,}27=0{,}45\). Damit gilt

\[
P(A)\cdot P(B)=0{,}40\cdot0{,}45=0{,}18=P(A\cap B).
\]

**Ergebnis:** Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 134

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 134  
Gedruckte Buchseite: 246  
Zugehörige Übung: Aufgabe 134, Kapitel 10, Seite 83  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 246

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Mit \(A\) und \(B\) sind auch \(\overline A\) und \(B\) stochastisch unabhängig. Wegen \(P(\overline A)=1-0{,}60=0{,}40\) gilt daher

\[
P(\overline A\cap B)=P(\overline A)\cdot P(B)
 =0{,}40\cdot0{,}25=0{,}10.
\]

**Ergebnis:** Es gilt \(P(\overline A\cap B)=0{,}10\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 135

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 135  
Gedruckte Buchseite: 246  
Zugehörige Übung: Aufgabe 135, Kapitel 10, Seite 83  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 246

ORIGINALTEXT

**a)** Aus \(P(\overline S)=0{,}40\) und \(P(\overline O\cap\overline S)=0{,}30\) folgt

\[
P(O\cap\overline S)=0{,}40-0{,}30=0{,}10.
\]

Da \(P(O)=0{,}25\) gilt, erhalten wir anschließend

\[
P(O\cap S)=0{,}25-0{,}10=0{,}15.
\]

Außerdem ist \(P(S)=1-0{,}40=0{,}60\). Damit gilt

\[
P(O)\cdot P(S)=0{,}25\cdot0{,}60=0{,}15
 =P(O\cap S).
\]

Somit sind \(O\) und \(S\) stochastisch unabhängig.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 135  
Gedruckte Buchseite: 247  
Zugehörige Übung: Aufgabe 135, Kapitel 10, Seite 83  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 246

ORIGINALTEXT

**b)** Wegen der Unabhängigkeit beeinflusst die Zusatzinformation \(O\) die Wahrscheinlichkeit von \(S\) nicht. Daher gilt

\[
P_O(\overline S)=1-P_O(S)=1-P(S)=1-0{,}60=0{,}40.
\]

**Ergebnis:** Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt \(40\,\%\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 136

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 136  
Gedruckte Buchseite: 247  
Zugehörige Übung: Aufgabe 136, Kapitel 10, Seite 83  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 247

ORIGINALTEXT

Für den Nachweis der stochastischen Unabhängigkeit genügt eine der beiden Vergleichsrichtungen. Hier gilt bereits

\[
P_A(B)=0{,}30=P(B).
\]

**Ergebnis:** Die Behauptung ist falsch. Die gegebene Gleichheit zeigt, dass \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 137

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 10: Stochastische Unabhängigkeit  
Kontrolllösung zu Aufgabe 137  
Gedruckte Buchseite: 247  
Zugehörige Übung: Aufgabe 137, Kapitel 10, Seite 84  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 247

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**a)** Unter den Schülerinnen und Schülern, die die App verwendet haben, verbesserten \(56\) von \(80\) ihr Ergebnis. Der entsprechende Anteil beträgt

\[
\frac{56}{80}=0{,}70=70\,\%.
\]

Von den übrigen \(120\) Schülerinnen und Schülern verbesserten \(48\) ihr Ergebnis. Hier beträgt der Anteil

\[
\frac{48}{120}=0{,}40=40\,\%.
\]

Der Anteil ist in der ersten Gruppe somit um \(30\) Prozentpunkte größer.

**b)** Der Schluss des Anbieters ist nicht gerechtfertigt. Zwar ist der Anteil mit verbessertem Ergebnis in der Gruppe mit App-Nutzung größer. Daraus folgt aber noch nicht, dass die App die Verbesserung verursacht hat.

Die Schülerinnen und Schüler entschieden selbst, ob sie die App verwendeten. Deshalb können sich die beiden Gruppen schon vor der App-Nutzung unterschieden haben. Beispielsweise könnten besonders motivierte Schülerinnen und Schüler häufiger die App gewählt und zugleich zusätzlich mit dem Schulbuch oder mit Karteikarten gelernt haben. Dann könnte die stärkere Motivation oder das zusätzliche Lernen den höheren Anteil erklären.

Die Erhebung zeigt also einen statistischen Zusammenhang, belegt aber keine Ursache-Wirkungs-Beziehung. Sie beweist umgekehrt auch nicht, dass die App wirkungslos ist. Für eine verlässlichere Untersuchung müssten möglichst vergleichbare Gruppen gebildet werden; beispielsweise könnten die Schülerinnen und Schüler zufällig einer Gruppe mit oder ohne App zugeteilt werden.

**Ergebnis:** Aus der Erhebung allein folgt nicht, dass die App die Verbesserung verursacht hat.