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name: mathe-coach-kapitel-16
description: "Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen; Aufgaben 192–203 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Normalverteilungen vergleichen, Sigma-Regeln, Grenzen des Modells."
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# Mathe-Coach – Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen

Das vollständige Kapitel 16 mit den Aufgaben 192–203 und ihren
Kontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen
dazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher
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Du bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,
1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.

Wird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende
Erklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und
mathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.

Bei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,
zusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch
mit dem offenen Kreis `\circ`.

Für Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen
`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten
Überschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die
Prüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.

**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**
die gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften
sichtbaren Angaben einer Abbildung. Der Buchtext ist Wissensquelle,
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Nenne Buchstellen mit Kapitel, Aufgabennummer und gedruckter Seite, soweit
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nicht lesen, benenne knapp, dass du sie gerade nicht verlässlich prüfen kannst.

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Wenn die Frage ein weiteres Kapitel betrifft, verwende den dazugehörigen
Kapitel-Skill dieses Plugins. Die Buchübersicht und die Einleitung stehen
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## Eingebetteter Buchtext

# Der erste Notenpunkt – Kapitel 16

Ausgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage
Wissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277

## Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Gedruckte Buchseite: 129

ORIGINALTEXT

STOFF: KLASSE 13 Stochastik

**Abiturpotenzial:** ca. 2 BE

### Das können Sie danach

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Das können Sie danach  
Gedruckte Buchseite: 129

ORIGINALTEXT

Sie verwenden **Sigma-Regeln**, vergleichen **Normalverteilungen** mithilfe von \(\mu\) und \(\sigma\) und skizzieren ihre **Dichtegraphen**.

### Was können Sie schon?

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Was können Sie schon?  
Gedruckte Buchseite: 129

### Typische Abituraufgabe

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Typische Abituraufgabe  
Gedruckte Buchseite: 129  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 129; zugehörige Lösung(en): Seite 130

ORIGINALTEXT

Eine Fahrradmanufaktur vergleicht zwei Verfahren zum Lackieren von Fahrradrahmen. Die Trocknungsdauer beim ersten Verfahren wird durch die normalverteilte Zufallsgröße \(Y\) beschrieben. Es gilt

\[
\mu_Y=64\,\mathrm{min}
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma_Y=6\,\mathrm{min}.
\]

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_Y\) der zugehörigen Dichtefunktion.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Typische Abituraufgabe  
Gedruckte Buchseite: 129  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 129; zugehörige Lösung(en): Seite 130

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Glockenförmiger Graph \(G_Y\) mit \(x\)- und \(y\)-Achse. Auf der x-Achse stehen \(46,52,58,64,70,76,82\); der Gipfel liegt bei \(64\). Eine numerische y-Skala fehlt. Links ist ein Achsenbruch eingezeichnet. Der zweite Graph \(G_Z\) ist in der Aufgabenabbildung noch nicht vorhanden.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Typische Abituraufgabe  
Gedruckte Buchseite: 129  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 129; zugehörige Lösung(en): Seite 130

ORIGINALTEXT

Die Trocknungsdauer beim zweiten Verfahren wird durch die normalverteilte Zufallsgröße \(Z\) beschrieben. Für sie gilt

\[
\mu_Z=58\,\mathrm{min}
 \qquad\text{und}\qquad
 P(54\leq Z\leq62)\approx0{,}683.
\]

Beurteilen Sie anhand dieser Informationen, ob die Standardabweichung von \(Z\) größer oder kleiner als die Standardabweichung von \(Y\) ist. Skizzieren Sie den Graphen der Dichtefunktion von \(Z\) in der Abbildung und beschriften Sie ihn mit \(G_Z\).

Ähnliche Aufgabe: Abitur 2026, B3.3c.

Lösung auf der nächsten Seite

### Lösung

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Lösung  
Gedruckte Buchseite: 130  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 129; zugehörige Lösung(en): Seite 130

ORIGINALTEXT

Es gilt

\[
\sigma_Z\approx4\,\mathrm{min}<6\,\mathrm{min}=\sigma_Y.
\]

Der Graph \(G_Z\) liegt weiter links und verläuft schmaler sowie höher als \(G_Y\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Lösung  
Gedruckte Buchseite: 130  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 129; zugehörige Lösung(en): Seite 130

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Lösungszeichnung mit zwei Dichtegraphen auf denselben \(x\)- und \(y\)-Achsen. Der durchgezogene \(G_Y\) hat seine Mitte bei \(64\), der gestrichelte \(G_Z\) bei \(58\). Gepunktete senkrechte Linien markieren beide Mitten. \(G_Z\) ist sichtbar schmaler und höher. x-Marken: \(46,52,58,64,70,76,82\); links ein Achsenbruch, keine numerische y-Skala.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Lösung  
Gedruckte Buchseite: 130  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 129; zugehörige Lösung(en): Seite 130

ORIGINALTEXT

Das für \(Z\) angegebene Intervall liegt symmetrisch um den Erwartungswert \(58\), denn \(58-54=4\) und \(62-58=4\). Nach der ersten Sigma-Regel gilt deshalb \(\sigma_Z\approx4\,\mathrm{min}\).

Wegen \(4<6\) ist die Standardabweichung von \(Z\) kleiner. Der zugehörige Dichtegraph besitzt seine Mitte bei \(x=58\) und verläuft schmaler sowie höher. Der Dichtegraph von \(Y\) besitzt seine Mitte bei \(x=64\) und ist breiter sowie niedriger.

### Grundwissen kompakt

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Grundwissen kompakt  
Gedruckte Buchseite: 131

#### Die Sigma-Regeln

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Die Sigma-Regeln  
Gedruckte Buchseite: 131

ORIGINALTEXT

Am Ende von Kapitel 15 ist uns fast nebenbei eine Zahl begegnet: Rund \(68{,}3\,\%\) der Stifte lagen zwischen \(\mu-\sigma\) und \(\mu+\sigma\). Man könnte meinen, das habe etwas mit den Stiften zu tun. Hat es aber nicht. Die \(68{,}3\,\%\) gehören zur Normalverteilung selbst: Ganz gleich, wie groß \(\mu\) und \(\sigma\) sind, zwischen \(\mu-\sigma\) und \(\mu+\sigma\) liegen immer rund \(68{,}3\,\%\) aller Werte.

Das ist kein Einzelfall. Für eine Handvoll weiterer Bereiche gibt es ebenso feste Werte, und alle diese Bereiche sind gleich gebaut: Sie liegen **symmetrisch um \(\mu\)**, die linke Grenze also genauso weit links von \(\mu\) wie die rechte rechts davon. Zusammen heißen sie die **Sigma-Regeln**.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Die Sigma-Regeln  
Gedruckte Buchseite: 131

ORIGINALTEXT

| Bereich um den Erwartungswert \(\mu\) | Wahrscheinlichkeit |
| --- | --- |
| \(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma\) | ca. \(68{,}3\,\%\) |
| \(\mu-1{,}64\sigma\leq X\leq\mu+1{,}64\sigma\) | ca. \(90{,}0\,\%\) |
| \(\mu-1{,}96\sigma\leq X\leq\mu+1{,}96\sigma\) | ca. \(95{,}0\,\%\) |
| \(\mu-2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma\) | ca. \(95{,}4\,\%\) |
| \(\mu-2{,}58\sigma\leq X\leq\mu+2{,}58\sigma\) | ca. \(99{,}0\,\%\) |
| \(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\) | ca. \(99{,}7\,\%\) |

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Die Sigma-Regeln  
Gedruckte Buchseite: 131

ORIGINALTEXT

Die Faktoren in der linken Spalte sehen zunächst ziemlich willkürlich aus: \(1{,}64\), \(1{,}96\), \(2{,}58\). Wo kommen diese Zahlen her? Willkürlich sind sie nicht. In der Tabelle stecken zwei Sorten von Zeilen. Bei den einen ist der Faktor rund, \(\sigma\), \(2\sigma\) und \(3\sigma\), und dafür wird die Wahrscheinlichkeit krumm. Bei den anderen ist es umgekehrt: Dort sollen \(90\,\%\), \(95\,\%\) und \(99\,\%\) herauskommen, und dann muss der Faktor krumm sein. Welche Sorte Sie brauchen, hängt davon ab, was die Aufgabe vorgibt.

Auswendig lernen müssen Sie die Tabelle übrigens nicht. Die Werte stehen im zugelassenen Formeldokument. Wenn Sie sich trotzdem eine Zeile einprägen wollen, dann die erste: \(\mu\pm\sigma\) mit rund \(68{,}3\,\%\). Sie kommt in Aufgaben am häufigsten vor.

Die Tabelle lässt sich in zwei Richtungen lesen, und die sollten Sie auseinanderhalten. Nehmen wir dafür einen Obsthof: Greifen wir zufällig einen Apfel aus der Ernte heraus und nennen wir seine Masse in Gramm \(X\). Für diesen Obsthof sei \(X\) normalverteilt mit \(\mu=100\) und \(\sigma=10\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Die Sigma-Regeln  
Gedruckte Buchseite: 132

ORIGINALTEXT

Beginnen wir mit der einen Richtung: Der Bereich ist gegeben, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit. Wie viel Prozent der Äpfel wiegen zwischen \(90\,\mathrm{g}\) und \(110\,\mathrm{g}\)? Das ist genau der Bereich von \(\mu-\sigma\) bis \(\mu+\sigma\), und damit erledigt die erste Zeile den Rest:

\[
P(90\leq X\leq110)\approx68{,}3\,\%.
\]

Gut zwei Drittel der Ernte liegen also in diesem Bereich.

Die andere Richtung geht rückwärts: Die Wahrscheinlichkeit steht da, die Grenzen sind gesucht. In welchem Bereich liegen \(99\,\%\) aller Äpfel? Dazu gehört der Faktor \(2{,}58\), also

\[
100-2{,}58\cdot10=74{,}2
 \qquad\text{und}\qquad
 100+2{,}58\cdot10=125{,}8.
\]

Nur etwa einer von hundert Äpfeln liegt demnach außerhalb des Bereichs von \(74{,}2\,\mathrm{g}\) bis \(125{,}8\,\mathrm{g}\).

#### Was \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) mit dem Graphen machen

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Was \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) mit dem Graphen machen  
Gedruckte Buchseite: 132

ORIGINALTEXT

Zwei Zahlen legen eine Normalverteilung fest, und man kann jede von beiden einzeln verändern. Fangen wir mit \(\mu\) an und halten \(\sigma\) fest.

\(\mu\) bestimmt die Lage. Der höchste Punkt des Dichtegraphen liegt über \(x=\mu\), und der Graph ist symmetrisch zu dieser Senkrechten. Vergrößern wir \(\mu\), so wandert der ganze Graph nach rechts. Sonst geschieht nichts: Er behält seine Form, er wird nur verschoben.

Nun andersherum: \(\mu\) bleibt, wo es ist, und \(\sigma\) ändert sich. Was \(\sigma\) bedeutet, hat die erste Zeile der Tabelle gerade gesagt: Zwischen \(\mu-\sigma\) und \(\mu+\sigma\) liegen rund \(68{,}3\,\%\) aller Werte. \(\sigma\) ist also der Abstand, den man von der Mitte aus nach beiden Seiten braucht, um diese \(68{,}3\,\%\) einzufangen.

Damit ist auch klar, was ein größeres \(\sigma\) bewirkt. Dieselben \(68{,}3\,\%\) verteilen sich dann auf einen breiteren Bereich: Die Fläche bleibt, die Breite wächst, also muss der Graph dort niedriger verlaufen. Mit ihm sinkt sein höchster Punkt. Bei kleinerem \(\sigma\) ist es umgekehrt: Der Graph wird schmaler und höher. Die Mitte rührt sich in beiden Fällen nicht.

Gleiches \(\sigma\)

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Was \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) mit dem Graphen machen  
Gedruckte Buchseite: 132

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Vergleich „Gleiches \(\sigma\)“. Zwei gleich breite und gleich hohe Glockenkurven sind waagrecht gegeneinander verschoben. Die durchgezogene Kurve hat ihre mit einer gepunkteten Senkrechten markierte Mitte bei „\(\mu_1=48\)“, die gestrichelte bei „\(\mu_2=54\)“. Die x-Achse zeigt \(48\) und \(54\); die y-Achse ist ohne Zahlenskala.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Was \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) mit dem Graphen machen  
Gedruckte Buchseite: 132

ORIGINALTEXT

Der Graph wird verschoben. Breite und Höhe bleiben gleich.

Gleiches \(\mu\)

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Was \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) mit dem Graphen machen  
Gedruckte Buchseite: 132

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Vergleich „Gleiches \(\mu\)“. Zwei Glockenkurven besitzen dieselbe, gepunktet markierte Mitte bei \(x=50\). Die durchgezogene höhere und schmalere Kurve trägt „\(\sigma_1=2\)“, die gestrichelte breitere und niedrigere „\(\sigma_2=4\)“. Achsen \(x,y\), ohne numerische y-Skala.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Was \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) mit dem Graphen machen  
Gedruckte Buchseite: 132

ORIGINALTEXT

Breite und Höhe ändern sich. Die Mitte bleibt gleich.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Was \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) mit dem Graphen machen  
Gedruckte Buchseite: 133

ORIGINALTEXT

Hier tappt man beim Zeichnen leicht in eine Falle. Man malt den breiteren Graphen einfach überall unter den schmaleren. Das kann nicht stimmen, denn unter beiden liegt dieselbe Fläche, nämlich \(1\). Weit außen muss der breitere Graph also über dem schmaleren verlaufen. Die beiden Kurven schneiden sich.

Für eine Skizze markieren Sie zuerst die Mitte bei \(x=\mu\). Dann zeichnen Sie die Glockenkurve symmetrisch dazu und passen ihre Breite an \(\sigma\) an. Nach beiden Seiten nähert sie sich der \(x\)-Achse, ohne sie je zu erreichen.

Damit haben Sie alles, was zum Vergleich zweier Normalverteilungen nötig ist. Mehr kann tatsächlich nicht passieren: Die Glocke wandert, sie wird breiter oder schmaler oder beides zugleich.

#### Wo das Modell an seine Grenzen kommt

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Wo das Modell an seine Grenzen kommt  
Gedruckte Buchseite: 133

ORIGINALTEXT

Ein Wort noch zu einer Eigenschaft, die man leicht übersieht. Der Dichtegraph setzt sich nach beiden Seiten unbegrenzt fort. Deshalb hat selbst ein noch so unsinniger Bereich eine Wahrscheinlichkeit größer als null, etwa der Bereich negativer Längen oder negativer Zeitdauern.

Das ist kein Fehler, den man beheben könnte. Diese Eigenschaft gehört zum Modell. Brauchbar bleibt die Normalverteilung trotzdem, solange diese Randwahrscheinlichkeiten so winzig sind, dass sie im Sachzusammenhang keine Rolle spielen.

#### Das erwartet Sie in den Aufgaben

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Das erwartet Sie in den Aufgaben  
Gedruckte Buchseite: 133

ORIGINALTEXT

In den Aufgaben verwenden Sie die Sigma-Regeln auch für Bereiche, die nicht symmetrisch um den Erwartungswert liegen. Sie lernen, wie sich die angegebenen Wahrscheinlichkeiten dafür aufteilen und zusammensetzen lassen.

### Übungsaufgaben

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Übungsaufgaben  
Gedruckte Buchseite: 134

ORIGINALTEXT

Lösungen ab Seite 266

#### Aufgabe 192

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 192  
Gedruckte Buchseite: 134  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 192, Kapitel 16, Seite 266 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Füllmenge \(F\) einer Saftflasche ist normalverteilt mit

\[
\mu=1000\,\mathrm{mL}
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma=5\,\mathrm{mL}.
\]

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(F\) um höchstens \(d\) vom Erwartungswert abweicht, soll etwa \(90{,}0\,\%\) betragen.

a) Beschreiben Sie mithilfe der Tabelle, wie sich \(d\) bestimmen lässt, und geben Sie \(d\) als Vielfaches von \(\sigma\) an.

b) Bestimmen Sie die untere und die obere Grenze des Bereichs.

#### Aufgabe 193

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 193  
Gedruckte Buchseite: 134  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 193, Kapitel 16, Seite 266 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

OHNE TR Die Länge \(X\) maschinell zugeschnittener Leisten ist normalverteilt. Der Erwartungswert beträgt \(500\,\mathrm{mm}\). Außerdem gilt

\[
P(492\leq X\leq508)\approx90{,}0\,\%.
\]

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Leiste länger als \(508\,\mathrm{mm}\) ist.

#### Aufgabe 194

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 194  
Gedruckte Buchseite: 134  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 194, Kapitel 16, Seite 266 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Füllmasse \(X\) von Gewürzbeuteln ist normalverteilt mit

\[
\mu=250\,\mathrm{g}
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma=3\,\mathrm{g}.
\]

Bestimmen Sie mithilfe einer passenden Sigma-Regel näherungsweise die Wahrscheinlichkeit

\[
P(244\leq X\leq256).
\]

Deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

#### Aufgabe 195

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 195  
Gedruckte Buchseite: 134  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 195, Kapitel 16, Seite 266 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Für die normalverteilte Zufallsgröße \(X\) gilt \(\mu=100\) und \(\sigma=5\). Beurteilen Sie die Behauptung, die mittleren \(95{,}0\,\%\)- und \(95{,}4\,\%\)-Bereiche hätten dieselben Grenzen, und geben Sie beide Bereiche an.

#### Aufgabe 196

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 196  
Gedruckte Buchseite: 134  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 196, Kapitel 16, Seite 266 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Längen zweier Sorten von Klebestreifen werden durch die normalverteilten Zufallsgrößen \(X\) und \(Y\) beschrieben. Es gilt

\[
\mu_X=40\,\mathrm{cm},
 \qquad
 \mu_Y=44\,\mathrm{cm},
 \qquad
 \sigma_X=\sigma_Y=3\,\mathrm{cm}.
\]

Beschreiben Sie, wie der Dichtegraph von \(Y\) aus dem Dichtegraphen von \(X\) hervorgeht.

#### Aufgabe 197

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 197  
Gedruckte Buchseite: 135  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 197, Kapitel 16, Seite 267 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Füllmasse \(M\) von Gläsern ist normalverteilt mit \(\mu=120\,\mathrm{g}\). Ungefähr \(99{,}0\,\%\) der Füllmassen liegen zwischen \(107{,}1\,\mathrm{g}\) und \(132{,}9\,\mathrm{g}\). Bestimmen Sie die Standardabweichung.

#### Aufgabe 198

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 198  
Gedruckte Buchseite: 135  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 198, Kapitel 16, Seite 267 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die normalverteilten Füllmengen \(X_A\) und \(X_B\) zweier Abfüllanlagen besitzen den Erwartungswert \(750\,\mathrm{mL}\). Ihre Standardabweichungen betragen \(4\,\mathrm{mL}\) beziehungsweise \(7\,\mathrm{mL}\). Eine Füllmenge zwischen \(742\,\mathrm{mL}\) und \(758\,\mathrm{mL}\) gilt als geeignet.

Beurteilen Sie ohne Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, bei welcher Anlage der größere Anteil geeigneter Flaschen zu erwarten ist.

#### Aufgabe 199

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 199  
Gedruckte Buchseite: 135  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 199, Kapitel 16, Seite 267 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Abbildung zeigt die Dichtegraphen \(G_1\) und \(G_2\) zweier Normalverteilungen mit demselben Erwartungswert. Die beiden Standardabweichungen sind \(6\) und \(10\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 199  
Gedruckte Buchseite: 135  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 199, Kapitel 16, Seite 267 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Zwei Dichtegraphen mit derselben Mitte über \(x=60\). \(G_1\) ist durchgezogen, schmaler und höher; \(G_2\) ist gestrichelt, breiter und niedriger. Die x-Achse trägt \(40,60,80\), die y-Achse keine Zahlen. Links ist ein Achsenbruch eingezeichnet. Die Standardabweichungen sind in der Zeichnung nicht zugeordnet.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 199  
Gedruckte Buchseite: 135  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 199, Kapitel 16, Seite 267 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

a) Geben Sie den gemeinsamen Erwartungswert an.

b) Ordnen Sie den beiden Graphen die Standardabweichungen zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung.

#### Aufgabe 200

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 200  
Gedruckte Buchseite: 135  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 200, Kapitel 16, Seite 267 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Für die normalverteilten Zufallsgrößen \(X\) und \(Y\) gilt

\[
\mu_X=80,
 \qquad
 \sigma_X=5,
 \qquad
 \mu_Y=85
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma_Y=8.
\]

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_X\) der Dichtefunktion von \(X\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 200  
Gedruckte Buchseite: 135  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 200, Kapitel 16, Seite 267 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Ein einzelner Dichtegraph \(G_X\) mit Gipfel bei \(x=80\). x-Marken \(60,70,80,90,100,110\); y-Achse ohne Zahlen und linker Achsenbruch. Der zu ergänzende Graph \(G_Y\) ist noch nicht eingezeichnet.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 200  
Gedruckte Buchseite: 135  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 200, Kapitel 16, Seite 267 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der Dichtefunktion von \(Y\) und beschriften Sie ihn mit \(G_Y\).

#### Aufgabe 201

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 201  
Gedruckte Buchseite: 136  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 201, Kapitel 16, Seite 268 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Füllmasse \(X\) einer Müslipackung wird durch eine Normalverteilung mit \(\mu=500\,\mathrm{g}\) und \(\sigma=8\,\mathrm{g}\) modelliert. Beurteilen Sie die Aussage: „Das Modell ist unbrauchbar, weil eine Normalverteilung auch negative Füllmassen zulässt.“

#### Aufgabe 202

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 202  
Gedruckte Buchseite: 136  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 202, Kapitel 16, Seite 268 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Bruchlast eines zufällig ausgewählten Stahlseils wird durch die normalverteilte Zufallsgröße \(X\) mit dem Erwartungswert \(\mu=100{,}0\,\mathrm{kN}\) beschrieben. Bei etwa \(2{,}5\,\%\) der Stahlseile beträgt die Bruchlast weniger als \(80{,}4\,\mathrm{kN}\). Bestimmen Sie die Standardabweichung von \(X\).

#### Aufgabe 203

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Aufgabe 203  
Gedruckte Buchseite: 136  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 203, Kapitel 16, Seite 268 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

OHNE TR Für die normalverteilte Reaktionszeit \(T\) eines Sensors gilt

\[
\mu=50\,\mathrm{ms}
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma=4\,\mathrm{ms}.
\]

Für \(T\) gilt näherungsweise

\[
\begin{aligned}
 P(\mu-\sigma\leq T\leq\mu+\sigma)&\approx68{,}3\,\%,\\
P(\mu-2\sigma\leq T\leq\mu+2\sigma)&\approx95{,}4\,\%.
 \end{aligned}
\]

Bestimmen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass die Reaktionszeit mindestens \(46\,\mathrm{ms}\) und höchstens \(58\,\mathrm{ms}\) beträgt.


## Kontrolllösungen zu Kapitel 16

### Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Abschnitt: Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Gedruckte Buchseite: 266

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 192

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 192  
Gedruckte Buchseite: 266  
Zugehörige Übung: Aufgabe 192, Kapitel 16, Seite 134  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 266

ORIGINALTEXT

**a)** Man wählt in der Tabelle die Zeile zur Wahrscheinlichkeit \(90{,}0\,\%\). Dort ist für jede Grenze der Abstand \(1{,}64\sigma\) angegeben. Somit gilt \(d=1{,}64\sigma\).

**b)** Der Abstand jeder Grenze vom Erwartungswert beträgt

\[
1{,}64\sigma=1{,}64\cdot5\,\mathrm{mL}=8{,}2\,\mathrm{mL}.
\]

Damit ergeben sich die Grenzen

\[
1000\,\mathrm{mL}-8{,}2\,\mathrm{mL}=991{,}8\,\mathrm{mL}
 \quad\text{und}\quad
 1000\,\mathrm{mL}+8{,}2\,\mathrm{mL}=1008{,}2\,\mathrm{mL}.
\]

**Ergebnis:** Etwa \(90{,}0\,\%\) der Flaschen enthalten zwischen \(991{,}8\,\mathrm{mL}\) und \(1008{,}2\,\mathrm{mL}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 193

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 193  
Gedruckte Buchseite: 266  
Zugehörige Übung: Aufgabe 193, Kapitel 16, Seite 134  
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Außerhalb des symmetrischen Intervalls liegen insgesamt

\[
100\,\%-90\,\%=10\,\%.
\]

Wegen der Symmetrie verteilt sich diese Wahrscheinlichkeit gleich auf beide Randbereiche:

\[
P(X>508)\approx\frac{10\,\%}{2}=5\,\%.
\]

**Ergebnis:** Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(5\,\%\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 194

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Kontrolllösung zu Aufgabe 194  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 194, Kapitel 16, Seite 134  
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Die beiden Grenzen liegen jeweils \(6\,\mathrm{g}\) vom Erwartungswert entfernt. Wegen

\[
250-244=6,
 \qquad
 256-250=6
 \qquad\text{und}\qquad
 6=2\cdot3=2\sigma
\]

handelt es sich um den mittleren \(2\sigma\)-Bereich. Daher gilt

\[
P(244\leq X\leq256)\approx0{,}954.
\]

**Ergebnis:** Ungefähr \(95{,}4\,\%\) der Beutel besitzen eine Füllmasse zwischen \(244\,\mathrm{g}\) und \(256\,\mathrm{g}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 195

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Kontrolllösung zu Aufgabe 195  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 195, Kapitel 16, Seite 134  
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Zum mittleren \(95{,}0\,\%\)-Bereich gehört der Abstand \(1{,}96\sigma=9{,}8\). Seine Grenzen sind daher \(90{,}2\) und \(109{,}8\). Beim mittleren \(95{,}4\,\%\)-Bereich beträgt der Abstand dagegen \(2\sigma=10\); seine Grenzen sind \(90\) und \(110\).

**Ergebnis:** Die Behauptung ist falsch: Die beiden Bereiche besitzen unterschiedliche Grenzen.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 196

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Kontrolllösung zu Aufgabe 196  
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Die Erwartungswerte unterscheiden sich um

\[
44-40=4.
\]

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Kontrolllösung zu Aufgabe 196  
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Der Dichtegraph wird daher um vier Einheiten nach rechts verschoben. Weil die Standardabweichungen gleich sind, ändern sich Breite und Höhe nicht. Die Symmetrieachse verschiebt sich von \(x=40\) auf \(x=44\).

**Ergebnis:** Der Dichtegraph von \(Y\) entsteht durch eine Verschiebung um \(4\,\mathrm{cm}\) nach rechts.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 197

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Kapitel 16: Normalverteilungen vergleichen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 197  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 197, Kapitel 16, Seite 135  
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Zum mittleren Bereich mit ungefähr \(99{,}0\,\%\) gehört der Abstand \(2{,}58\sigma\). Der Abstand der oberen Grenze vom Erwartungswert beträgt

\[
132{,}9-120=12{,}9.
\]

Daher gilt

\[
2{,}58\sigma\approx12{,}9
 \qquad\Longrightarrow\qquad
 \sigma\approx\frac{12{,}9}{2{,}58}=5.
\]

**Ergebnis:** Die Standardabweichung beträgt ungefähr \(5\,\mathrm{g}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 198

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Kontrolllösung zu Aufgabe 198  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 198, Kapitel 16, Seite 135  
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Beide Dichtegraphen besitzen die Symmetrieachse \(x=750\). Der Graph von Anlage A ist wegen der kleineren Standardabweichung schmaler. Die Grenzen liegen jeweils \(8\,\mathrm{mL}\) von der Mitte entfernt. Dieser Abstand entspricht bei Anlage A \(2\sigma_A\), bei Anlage B aber nur \(\frac87\sigma_B\). Da die Wahrscheinlichkeit eines zentralen Bereichs mit dem Abstand seiner Grenzen in \(\sigma\)-Einheiten wächst und \(2>\frac87\) gilt, ist sie bei Anlage A größer.

**Ergebnis:** Anlage A liefert wahrscheinlich den größeren Anteil geeigneter Flaschen.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 199

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Kontrolllösung zu Aufgabe 199  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 199, Kapitel 16, Seite 135  
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**a)** Beide Graphen besitzen ihr Maximum bei \(x=60\). Daher ist ihr gemeinsamer Erwartungswert

\[
\mu=60.
\]

**b)** Eine größere Standardabweichung bedeutet eine stärkere Streuung. Sie gehört deshalb zum breiteren und niedrigeren Graphen. Somit gilt

\[
\sigma_{G_1}=6
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma_{G_2}=10.
\]

**Ergebnis:** Zu \(G_1\) gehört \(\sigma=6\), zu \(G_2\) gehört \(\sigma=10\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 200

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Kontrolllösung zu Aufgabe 200  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 200, Kapitel 16, Seite 135  
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Der Dichtegraph von \(X\) besitzt seine Mitte bei \(x=80\), der Dichtegraph von \(Y\) bei \(x=85\). Damit liegt \(G_Y\) gegenüber \(G_X\) weiter rechts. Wegen \(\sigma_Y=8>5=\sigma_X\) verläuft \(G_Y\) außerdem breiter und sein Maximum liegt niedriger.

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Kontrolllösung zu Aufgabe 200  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 200, Kapitel 16, Seite 135  
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ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Zwei glockenförmige Dichtegraphen in einem Koordinatensystem mit Achsen \(x\) und \(y\). Auf der x-Achse sind 60, 70, 80, 90, 100 und 110 beschriftet; vor 60 ist eine Achsenunterbrechung eingezeichnet. Der durchgezogene Graph \(G_X\) ist schmaler und höher; eine senkrechte gepunktete Linie verbindet sein Maximum bei \(x=80\) mit der x-Achse. Der gestrichelte Graph \(G_Y\) ist breiter und niedriger; seine entsprechende Linie liegt bei \(x=85\). Zahlenwerte auf der y-Achse fehlen.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 201

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Kontrolllösung zu Aufgabe 201  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 201, Kapitel 16, Seite 136  
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Negative Füllmassen sind sachlich unmöglich. Das zeigt eine Grenze des Modells. Allerdings gilt \(\mu-3\sigma=500-3\cdot8=476\,\mathrm{g}\). Bereits links von \(476\,\mathrm{g}\) liegen nur ungefähr \(0{,}15\,\%\) der modellierten Füllmassen. Die Wahrscheinlichkeit einer negativen Füllmasse ist noch deutlich kleiner und kann vernachlässigt werden.

**Ergebnis:** Der Einwand beschreibt eine Modellgrenze, macht das Modell aber nicht unbrauchbar.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 202

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Kontrolllösung zu Aufgabe 202  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 202, Kapitel 16, Seite 136  
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Wegen der Symmetrie liegen auch etwa \(2{,}5\,\%\) der Bruchlasten im rechten Randbereich. Zwischen den beiden gleich großen Randbereichen liegen somit etwa \(100\,\%-2{,}5\,\%-2{,}5\,\%=95{,}0\,\%\). Der Abstand der gegebenen Grenze vom Erwartungswert beträgt \(100{,}0-80{,}4=19{,}6\,\mathrm{kN}\). Zum mittleren Bereich mit etwa \(95{,}0\,\%\) gehört der Abstand \(1{,}96\sigma\). Daher gilt

\[
1{,}96\sigma\approx19{,}6\,\mathrm{kN}
 \qquad\Longrightarrow\qquad
 \sigma\approx\frac{19{,}6}{1{,}96}\,\mathrm{kN}
 =10{,}0\,\mathrm{kN}.
\]

**Ergebnis:** Die Standardabweichung beträgt ungefähr \(10{,}0\,\mathrm{kN}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 203

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Kontrolllösung zu Aufgabe 203  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 203, Kapitel 16, Seite 136  
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Es gilt \(46=50-4=\mu-\sigma\) und \(58=50+2\cdot4=\mu+2\sigma\). Teilt man den Bereich am Erwartungswert, liefert die Symmetrie jeweils die Hälfte der zugehörigen Wahrscheinlichkeit:

\[
P(46\leq T\leq58)
 \approx\frac{68{,}3\,\%}{2}+\frac{95{,}4\,\%}{2}
 =81{,}85\,\%.
\]

**Ergebnis:** Die Reaktionszeit liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr \(81{,}9\,\%\) zwischen \(46\,\mathrm{ms}\) und \(58\,\mathrm{ms}\).