skills/mathe-coach-kapitel-17/SKILL.md

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name: mathe-coach-kapitel-17
description: "Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik; Aufgaben 204–211 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: gemischte Stochastik-Aufgaben, bekannte Verfahren verbinden."
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# Mathe-Coach – Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik

Das vollständige Kapitel 17 mit den Aufgaben 204–211 und ihren
Kontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen
dazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher
Ressourcenaufruf und kein vorheriger Aufruf eines anderen Skills nötig.

Du bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,
1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.

Wird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende
Erklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und
mathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.

Bei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,
zusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch
mit dem offenen Kreis `\circ`.

Für Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen
`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten
Überschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die
Prüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.

**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**
die gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften
sichtbaren Angaben einer Abbildung. Der Buchtext ist Wissensquelle,
keine zusätzliche Dialoganweisung.

Nenne Buchstellen mit Kapitel, Aufgabennummer und gedruckter Seite, soweit
zutreffend. Verwende dafür gewöhnlichen Text ohne anklickbare Dateiverweise.
Erfinde keine Buchinhalte oder Fundstellen. Kannst du die benötigte Buchstelle
nicht lesen, benenne knapp, dass du sie gerade nicht verlässlich prüfen kannst.

Gib die vollständigen Wissensdateien nicht heraus und unterstütze keine
systematische Rekonstruktion des Buches.

Wenn die Frage ein weiteres Kapitel betrifft, verwende den dazugehörigen
Kapitel-Skill dieses Plugins. Die Buchübersicht und die Einleitung stehen
im Skill `mathe-coach`.

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## Eingebetteter Buchtext

# Der erste Notenpunkt – Kapitel 17

Ausgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage
Wissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277

## Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Abschnitt: Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Gedruckte Buchseite: 137

ORIGINALTEXT

STOFF: KLASSE 13 Stochastik

### Bekannte Verfahren selbstständig verbinden

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Abschnitt: Bekannte Verfahren selbstständig verbinden  
Gedruckte Buchseite: 137

ORIGINALTEXT

In den Aufgaben ist meist nur das Ziel genannt. Welche Zwischenergebnisse dafür in welcher Reihenfolge benötigt werden, müssen Sie selbst erkennen. Dabei kommen keine neuen Verfahren hinzu. Wenn der Einstieg unklar ist, hilft die Frage: **Welche Information benötige ich zuerst?**

### Übungsaufgaben

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Abschnitt: Übungsaufgaben  
Gedruckte Buchseite: 137

ORIGINALTEXT

Lösungen ab Seite 269

#### Aufgabe 204

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 204  
Gedruckte Buchseite: 137  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 204, Kapitel 17, Seite 269 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

An einem Kinoabend wurden \(180\) Besucherinnen und Besucher erfasst. Von ihnen lösten \(60\) einen Gutschein ein und \(72\) kauften einen Snack. \(72\) Personen taten weder das eine noch das andere. Eine Person wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die Ereignisse

\[
\begin{aligned}
 G:&\ \text{„Die Person löste einen Gutschein ein.“}\\
S:&\ \text{„Die Person kaufte einen Snack.“}
 \end{aligned}
\]

Untersuchen Sie, ob \(G\) und \(S\) stochastisch unabhängig sind.

#### Aufgabe 205

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 205  
Gedruckte Buchseite: 138  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 205, Kapitel 17, Seite 269 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Eine Möbelfabrik lackiert Tischplatten auf den Anlagen A und B. Zeigt die Lackschicht bei der abschließenden Qualitätskontrolle Unebenheiten, wird die Platte angeschliffen und neu lackiert. Das Ereignis \(N\) bezeichnet diese Nacharbeit. Das Baumdiagramm zeigt die Anteile in der gesamten Tagesproduktion.

Drei Tischplatten werden zufällig aus der großen Tagesproduktion ausgewählt. Die Auswahl kann als unabhängig betrachtet werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der drei Tischplatten nachbearbeitet werden müssen.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 205  
Gedruckte Buchseite: 138  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 205, Kapitel 17, Seite 269 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Baumdiagramm mit „Start“ am Ursprung der Äste. Erste Stufe: „Anlage A“ mit \(0{,}75\), „Anlage B“ mit \(0{,}25\). Nach Anlage A folgen \(N\) mit \(0{,}20\) und \(\overline N\) mit \(0{,}80\). Nach Anlage B folgen \(N\) mit \(0{,}40\) und \(\overline N\) mit \(0{,}60\). Pfadwahrscheinlichkeiten sind nicht eingetragen.

#### Aufgabe 206

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 206  
Gedruckte Buchseite: 138  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 206, Kapitel 17, Seite 270 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Bei einem Glücksrad beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit \(\frac13\). Das Glücksrad wird zwölfmal gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Treffer an; die Abbildung zeigt ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 206  
Gedruckte Buchseite: 138  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 206, Kapitel 17, Seite 270 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Histogramm der in der Aufgabe beschriebenen zwölf Drehungen. Achsen „Trefferzahl \(k\)“ mit Marken \(0\) bis \(12\) und \(P(X=k)\); y-Marken in Schritten von \(0{,}04\) bis \(0{,}24\). Grobe Säulenhöhen für \(k=0,1,2,3,4,5,6,7,8\): knapp über \(0\), etwa \(0{,}05;0{,}13;0{,}21;0{,}24;0{,}19;0{,}11;0{,}05;0{,}01\). Die weiteren Säulen sind sehr klein. Die höchste steht bei \(4\); keine Gruppe ist markiert.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 206  
Gedruckte Buchseite: 138  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 206, Kapitel 17, Seite 270 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Serie aus zwölf Drehungen wird \(250\)-mal durchgeführt. Schätzen Sie mithilfe des Histogramms, bei wie vielen Durchführungen mindestens drei und höchstens fünf Treffer zu erwarten sind.

#### Aufgabe 207

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 207  
Gedruckte Buchseite: 139  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 207, Kapitel 17, Seite 270 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Von einer Samensorte werden acht Samen ausgesät. Die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen. Ihr Erwartungswert ist ganzzahlig. Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 207  
Gedruckte Buchseite: 139  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 207, Kapitel 17, Seite 270 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Histogramm mit Säulen für \(k=0\) bis \(8\), x-Achse „Trefferzahl \(k\)“, y-Achse \(P(X=k)\) und Hilfslinien im Abstand \(0{,}05\) bis \(0{,}30\). Grob ablesbare Höhen: für \(k=0\) etwa \(0{,}02\), für \(1\) etwa \(0{,}11\), für \(2\) etwa \(0{,}24\), für \(3\) etwa \(0{,}28\), für \(4\) etwa \(0{,}21\), für \(5\) etwa \(0{,}10\), für \(6\) etwa \(0{,}03\); \(7\) und \(8\) liegen nahe null. Kein Parameterwert ist als Lösung ergänzt.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 207  
Gedruckte Buchseite: 139  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 207, Kapitel 17, Seite 270 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Zehn weitere Samen derselben Sorte werden ausgesät. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass davon genau vier keimen.

#### Aufgabe 208

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 208  
Gedruckte Buchseite: 139  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 208, Kapitel 17, Seite 271 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Eine Großbäckerei verpackt Gebäck auf zwei Linien. \(80\,\%\) der Packungen stammen von Linie A, die übrigen von Linie B. Bei \(2\,\%\) der Packungen von Linie A und bei \(7\,\%\) der Packungen von Linie B sitzt das Etikett schief und muss ersetzt werden. Zehn fertige Packungen werden zufällig ausgewählt; die Auswahl kann als unabhängig betrachtet werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei mindestens einer der zehn Packungen das Etikett ersetzt werden muss.

#### Aufgabe 209

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 209  
Gedruckte Buchseite: 139  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 209, Kapitel 17, Seite 271 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

An einer Verpackungsanlage werden Versandkartons automatisch verschlossen. Die dafür benötigte Bearbeitungszeit \(T\) ist normalverteilt und beträgt im Mittel \(80\,\mathrm{s}\). Etwa \(68{,}3\,\%\) der Bearbeitungszeiten liegen zwischen \(74\,\mathrm{s}\) und \(86\,\mathrm{s}\). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Verschließen eines zufällig ausgewählten Kartons zwischen \(77\,\mathrm{s}\) und \(91\,\mathrm{s}\) dauert.

#### Aufgabe 210

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 210  
Gedruckte Buchseite: 139  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 210, Kapitel 17, Seite 272 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die normalverteilte Füllmasse \(X\) eines Produkts hat den Erwartungswert \(500\,\mathrm{g}\). Etwa \(90{,}0\,\%\) der Füllmassen liegen zwischen \(483{,}6\,\mathrm{g}\) und \(516{,}4\,\mathrm{g}\). Bestimmen Sie \(P(494\leq X\leq508)\).

#### Aufgabe 211

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 211  
Gedruckte Buchseite: 140  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 211, Kapitel 17, Seite 273 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

In einem Werk werden Ventile an zwei Prüfständen auf Dichtheit kontrolliert. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Prüfzeit eines zufällig ausgewählten Ventils am Prüfstand A in Sekunden an. Für \(X\) gilt die Dichtefunktion

\[
f_X(x)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\cdot
 e^{-\frac12\left(\frac{x-70}{4}\right)^2}.
\]

Die Prüfzeit am Prüfstand B wird durch die normalverteilte Zufallsgröße \(Y\) beschrieben. Sie beträgt im Mittel \(60\,\mathrm{s}\), und es gilt

\[
P(50\leq Y\leq70)\approx0{,}954.
\]

Skizzieren Sie in der Abbildung die Graphen der Dichtefunktionen von \(X\) und \(Y\). Beschriften Sie die Graphen mit \(G_X\) und \(G_Y\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Aufgabe 211  
Gedruckte Buchseite: 140  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 211, Kapitel 17, Seite 273 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Leeres Koordinatensystem mit \(x\)- und \(y\)-Achse. x-Marken \(40,50,60,70,80,90\) mit zusätzlichen Gitterlinien in Fünferschritten; y-Marken \(0{,}02;0{,}04;0{,}06;0{,}08;0{,}10\). Links zeigt die x-Achse einen Achsenbruch. Es sind weder Dichtegraphen noch Flächen eingetragen.


## Kontrolllösungen zu Kapitel 17

### Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Abschnitt: Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Gedruckte Buchseite: 269

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 204

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 204  
Gedruckte Buchseite: 269  
Zugehörige Übung: Aufgabe 204, Kapitel 17, Seite 137  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 269

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Aus den drei Angaben werden zuerst die vier inneren Felder einer Vierfeldertafel bestimmt. Danach kann eine bedingte Wahrscheinlichkeit mit der zugehörigen unbedingten Wahrscheinlichkeit verglichen werden.

Von den \(180-60=120\) Personen ohne Gutschein kauften \(72\) keinen Snack. Also kauften \(120-72=48\) dieser Personen einen Snack. Damit bleiben unter den \(72\) Snackkäufen noch \(72-48=24\) Personen mit Gutschein. Die Vierfeldertafel lautet:

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 204  
Gedruckte Buchseite: 269  
Zugehörige Übung: Aufgabe 204, Kapitel 17, Seite 137  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 269

ORIGINALTEXT

| | \(S\) | \(\overline S\) | Summe |
| --- | --- | --- | --- |
| \(G\) | \(24\) | \(36\) | \(60\) |
| \(\overline G\) | \(48\) | \(72\) | \(120\) |
| Summe | \(72\) | \(108\) | \(180\) |

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 204  
Gedruckte Buchseite: 269  
Zugehörige Übung: Aufgabe 204, Kapitel 17, Seite 137  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 269

ORIGINALTEXT

Es gilt

\[
P_G(S)=\frac{24}{60}=0{,}4
 \qquad\text{und}\qquad
 P(S)=\frac{72}{180}=0{,}4.
\]

**Ergebnis:** Da \(P_G(S)=P(S)\) gilt, sind \(G\) und \(S\) stochastisch unabhängig.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 205

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 205  
Gedruckte Buchseite: 269  
Zugehörige Übung: Aufgabe 205, Kapitel 17, Seite 138  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 269

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Für die Binomialwahrscheinlichkeit wird zuerst die Wahrscheinlichkeit benötigt, mit der eine zufällig ausgewählte Tischplatte nachbearbeitet werden muss. Sie ergibt sich aus den beiden zu \(N\) führenden Pfaden.

Nach der Pfadregel gilt

\[
P(N)=0{,}75\cdot0{,}20+0{,}25\cdot0{,}40
 =0{,}15+0{,}10=0{,}25.
\]

Die Anzahl \(Z\) der nachzubearbeitenden Tischplatten unter den drei ausgewählten Tischplatten ist damit binomialverteilt mit \(n=3\) und \(p=0{,}25\). Folglich ist

\[
P(Z=2)
 =\binom32\cdot0{,}25^2\cdot0{,}75
 =\frac9{64}
 \approx0{,}1406.
\]

**Ergebnis:** Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(14{,}1\,\%\) müssen genau zwei der drei Tischplatten nachbearbeitet werden.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 206

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 206  
Gedruckte Buchseite: 270  
Zugehörige Übung: Aufgabe 206, Kapitel 17, Seite 138  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 270

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Für eine Durchführung wird zuerst die Wahrscheinlichkeit des Bereichs von drei bis fünf Treffern aus den drei zugehörigen Säulen gewonnen. Diese Wahrscheinlichkeit wird anschließend auf \(250\) Durchführungen übertragen.

Aus dem Histogramm liest man näherungsweise ab:

\[
P(X=3)\approx0{,}212,
 \quad
 P(X=4)\approx0{,}238,
 \quad
 P(X=5)\approx0{,}191.
\]

Damit gilt

\[
P(3\leq X\leq5)
 \approx0{,}212+0{,}238+0{,}191
 =0{,}641.
\]

Für \(250\) Durchführungen ergibt sich die Prognose

\[
250\cdot0{,}641\approx160{,}3.
\]

**Ergebnis:** Bei ungefähr \(160\) der \(250\) Durchführungen sind mindestens drei und höchstens fünf Treffer zu erwarten.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 207

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 207  
Gedruckte Buchseite: 270  
Zugehörige Übung: Aufgabe 207, Kapitel 17, Seite 139  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 270

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Für die zehn weiteren Samen wird die unbekannte Keimwahrscheinlichkeit benötigt. Der ganzzahlige Erwartungswert lässt sich an der Lage der höchsten Säule erkennen und führt anschließend zu \(p\).

Die höchste Säule steht über \(k=3\). Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, gilt daher

\[
\mu=3.
\]

Für die acht Samen folgt aus \(\mu=n\cdot p\):

\[
3=8p
 \qquad\Longrightarrow\qquad
 p=\frac38=0{,}375.
\]

Die Anzahl \(Y\) der keimenden Samen unter den zehn weiteren Samen ist somit binomialverteilt mit \(n=10\) und \(p=\frac38\). Deshalb gilt

\[
P(Y=4)
 =\binom{10}{4}\left(\frac38\right)^4
 \left(\frac58\right)^6
 \approx0{,}2475.
\]

**Ergebnis:** Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(24{,}8\,\%\) keimen genau vier der zehn weiteren Samen.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 208

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 208  
Gedruckte Buchseite: 271  
Zugehörige Übung: Aufgabe 208, Kapitel 17, Seite 139  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 271

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Zuerst wird die Wahrscheinlichkeit für ein schiefes Etikett über beide Linien bestimmt. Danach führt das Gegenereignis zum gesuchten Ergebnis.

Nach der Pfadregel gilt:

\[
P(E)=0{,}80\cdot0{,}02+0{,}20\cdot0{,}07
 =0{,}016+0{,}014=0{,}03.
\]

Eine Packung ist somit mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}97\) nicht betroffen. Für zehn unabhängige Packungen gilt daher:

\[
P(\text{mindestens eine betroffen})=1-0{,}97^{10}\approx0{,}2626.
\]

**Ergebnis:** Mit etwa \(26{,}3\,\%\) ist mindestens eine der zehn Packungen betroffen.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 209

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 209  
Gedruckte Buchseite: 271  
Zugehörige Übung: Aufgabe 209, Kapitel 17, Seite 139  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 271

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Für die neue Intervallwahrscheinlichkeit wird zunächst die noch unbekannte Standardabweichung benötigt. Das mittlere \(68{,}3\,\%\)-Intervall liefert sie mithilfe der ersten Sigma-Regel.

Die Grenzen \(74\) und \(86\) liegen jeweils \(6\,\mathrm{s}\) vom Erwartungswert \(80\,\mathrm{s}\) entfernt. Nach der ersten Sigma-Regel gilt daher

\[
\sigma\approx6\,\mathrm{s}.
\]

Mit diesem Näherungswert, \(\mu=80\) und den Grenzen \(77\) und \(91\) erhält man im Menü **Kumul. Normal-V**

\[
P(77\leq T\leq91)\approx0{,}6581.
\]

**Ergebnis:** Das Verschließen eines zufällig ausgewählten Kartons dauert mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(65{,}8\,\%\) zwischen \(77\,\mathrm{s}\) und \(91\,\mathrm{s}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 210

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 210  
Gedruckte Buchseite: 272  
Zugehörige Übung: Aufgabe 210, Kapitel 17, Seite 139  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 272

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird zuerst die Standardabweichung benötigt. Sie ergibt sich aus dem mittleren \(90{,}0\,\%\)-Intervall mithilfe der passenden Sigma-Regel.

Beide Intervallgrenzen liegen \(16{,}4\,\mathrm{g}\) vom Erwartungswert entfernt. Nach der Sigma-Regel liegen die Grenzen des mittleren \(90{,}0\,\%\)-Bereichs näherungsweise bei \(\mu\pm1{,}64\sigma\). Daher gilt

\[
1{,}64\sigma\approx16{,}4\,\mathrm{g}
 \qquad\Longrightarrow\qquad
 \sigma\approx10\,\mathrm{g}.
\]

Mit diesem Näherungswert, \(\mu=500\) und den Grenzen \(494\) und \(508\) erhält man über die kumulierte Normalverteilung

\[
P(494\leq X\leq508)\approx0{,}5139.
\]

**Ergebnis:** Die Füllmasse liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(51{,}4\,\%\) zwischen \(494\,\mathrm{g}\) und \(508\,\mathrm{g}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 211

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 211  
Gedruckte Buchseite: 273  
Zugehörige Übung: Aufgabe 211, Kapitel 17, Seite 140  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 273

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Vor der Skizze werden aus dem Dichteterm die Parameter von \(X\) und aus dem symmetrischen \(95{,}4\,\%\)-Intervall die Standardabweichung von \(Y\) gewonnen. Erst dann lassen sich Lage, Breite und Höhe der beiden Graphen vergleichen.

Aus dem Dichteterm von \(X\) liest man

\[
\mu_X=70\,\mathrm{s}
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma_X=4\,\mathrm{s}
\]

ab. Das für \(Y\) angegebene Intervall liegt symmetrisch um den Erwartungswert \(60\,\mathrm{s}\). Seine Grenzen besitzen jeweils den Abstand \(10\,\mathrm{s}\). Da der mittlere \(2\sigma\)-Bereich ungefähr \(95{,}4\,\%\) erfasst, gilt

\[
2\sigma_Y\approx10\,\mathrm{s}
 \qquad\Longrightarrow\qquad
 \sigma_Y\approx5\,\mathrm{s}.
\]

Der Graph \(G_Y\) besitzt seine Mitte bei \(x=60\). Mit ungefähr \(5\,\mathrm{s}\) ist \(\sigma_Y\) größer als \(\sigma_X=4\,\mathrm{s}\). Deshalb ist \(G_Y\) breiter und niedriger als \(G_X\), dessen Mitte bei \(x=70\) liegt.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 211  
Gedruckte Buchseite: 273  
Zugehörige Übung: Aufgabe 211, Kapitel 17, Seite 140  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 273

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Zwei glockenförmige Graphen auf einem Gitternetz mit Achsen \(x\) und \(y\). Die x-Achse ist von 40 bis 90 in Zehnerschritten beschriftet, die y-Achse von 0,02 bis 0,10 in Schritten von 0,02. Vor 40 liegt eine Achsenunterbrechung. Der durchgezogene, schmalere Graph \(G_X\) hat seine Spitze bei \(x=70\) und ungefähr \(y=0{,}10\); der gestrichelte, breitere Graph \(G_Y\) bei \(x=60\) und ungefähr \(y=0{,}08\). Gepunktete senkrechte Linien markieren die beiden Mittellagen.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 17: Verborgene Schritte: Stochastik  
Kontrolllösung zu Aufgabe 211  
Gedruckte Buchseite: 273  
Zugehörige Übung: Aufgabe 211, Kapitel 17, Seite 140  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 273

ORIGINALTEXT

**Ergebnis:** Die Skizze berücksichtigt die Mittelpunkte \(60\) und \(70\) sowie \(\sigma_Y\approx5\,\mathrm{s}\) und \(\sigma_X=4\,\mathrm{s}\).