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name: mathe-coach-kapitel-19
description: "Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel; Aufgaben 232–248 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Skalarprodukt, Vektorlänge, Streckenlänge, Winkel, Orthogonalität."
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# Mathe-Coach – Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel

Das vollständige Kapitel 19 mit den Aufgaben 232–248 und ihren
Kontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen
dazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher
Ressourcenaufruf und kein vorheriger Aufruf eines anderen Skills nötig.

Du bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,
1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.

Wird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende
Erklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und
mathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.

Bei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,
zusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch
mit dem offenen Kreis `\circ`.

Für Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen
`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten
Überschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die
Prüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.

**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**
die gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften
sichtbaren Angaben einer Abbildung. Der Buchtext ist Wissensquelle,
keine zusätzliche Dialoganweisung.

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Wenn die Frage ein weiteres Kapitel betrifft, verwende den dazugehörigen
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im Skill `mathe-coach`.

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## Eingebetteter Buchtext

# Der erste Notenpunkt – Kapitel 19

Ausgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage
Wissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277

## Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Gedruckte Buchseite: 153

ORIGINALTEXT

STOFF: KLASSE 12 Geometrie

**Abiturpotenzial:** ca. 4 BE

### Das können Sie danach

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Das können Sie danach  
Gedruckte Buchseite: 153

ORIGINALTEXT

Sie berechnen **Streckenlängen** und bestimmen **Winkel zwischen Vektoren**. Außerdem lernen Sie ein einfaches Kriterium kennen, mit dem Sie prüfen, ob zwei Vektoren **senkrecht aufeinander stehen**.

### Was können Sie schon?

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Was können Sie schon?  
Gedruckte Buchseite: 153

### Typische Abituraufgabe

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Typische Abituraufgabe  
Gedruckte Buchseite: 153  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 153; zugehörige Lösung(en): Seite 154

ORIGINALTEXT

Gegeben sind die Punkte \(P(3\mid1\mid4)\), \(Q(2\mid-2\mid2)\) und \(R(1\mid0\mid2)\). Sie bilden das Dreieck \(PQR\).

a) Bestimmen Sie die Länge der Strecke \(\overline{PQ}\).

b) Zeigen Sie, dass das Dreieck \(PQR\) bei \(R\) rechtwinklig ist.

c) Berechnen Sie die Längen der beiden übrigen Seiten und die Größen der beiden übrigen Innenwinkel.

Ähnliche Aufgabe: Abitur Bayern 2022, B Geometrie 1a.

Lösung auf der nächsten Seite

### Lösung

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Lösung  
Gedruckte Buchseite: 154  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 153; zugehörige Lösung(en): Seite 154

ORIGINALTEXT

a) Die Strecke \(\overline{PQ}\) hat die Länge \(\sqrt{14}\).

Für die Strecke \(\overline{PQ}\) gilt

\[
\overrightarrow{PQ}
 =\begin{pmatrix}-1\\
-3\\
-2\end{pmatrix},
 \qquad
 \left\lvert\overrightarrow{PQ}\right\rvert
 =\sqrt{(-1)^2+(-3)^2+(-2)^2}
 =\sqrt{14}.
\]

b) Das Dreieck \(PQR\) ist bei \(R\) rechtwinklig.

Am Punkt \(R\) beginnen die beiden Vektoren

\[
\overrightarrow{RP}
 =\begin{pmatrix}2\\
1\\
2\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{RQ}
 =\begin{pmatrix}1\\
-2\\
0\end{pmatrix}.
\]

Ihr Skalarprodukt ist

\[
\overrightarrow{RP}\circ\overrightarrow{RQ}
 =2\cdot1+1\cdot(-2)+2\cdot0=0.
\]

Damit ist das Dreieck \(PQR\) bei \(R\) rechtwinklig.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Lösung  
Gedruckte Buchseite: 154  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 153; zugehörige Lösung(en): Seite 154

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Dreieck \(PQR\) mit \(R\) links unten, \(Q\) darüber und \(P\) rechts unten. Der Winkel bei \(R\) ist als rechter Winkel markiert. Bei \(P\) steht \(\alpha\), bei \(Q\) \(\beta\). Die Seiten verbinden die drei markierten Punkte; eine Koordinatenskala fehlt.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Lösung  
Gedruckte Buchseite: 154  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 153; zugehörige Lösung(en): Seite 154

ORIGINALTEXT

c) Die Strecken \(\overline{PR}\) und \(\overline{QR}\) haben die Längen \(3\) und \(\sqrt5\). Die Innenwinkel bei \(P\) und \(Q\) sind etwa \(36{,}7^\circ\) und \(53{,}3^\circ\) groß.

Die beiden übrigen Seitenlängen sind

\[
\begin{aligned}
 \left\lvert\overrightarrow{PR}\right\rvert
 &=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(-2)^2}=3,\\
\left\lvert\overrightarrow{QR}\right\rvert
 &=\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}=\sqrt5.
 \end{aligned}
\]

Für die Winkel bei \(P\) und \(Q\) werden wieder die jeweils dort beginnenden Vektoren verwendet:

\[
\begin{aligned}
 P:\quad \overrightarrow{PQ}\circ\overrightarrow{PR}&=9,
 &\alpha&=\cos^{-1}\!\left(\frac{9}{\sqrt{14}\cdot3}\right)
 \approx36{,}7^\circ,\\
Q:\quad \overrightarrow{QP}\circ\overrightarrow{QR}&=5,
 &\beta&=\cos^{-1}\!\left(\frac{5}{\sqrt{14}\cdot\sqrt5}\right)
 \approx53{,}3^\circ.
 \end{aligned}
\]

### Grundwissen kompakt

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Grundwissen kompakt  
Gedruckte Buchseite: 155

#### Wie lang ein Pfeil ist

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Wie lang ein Pfeil ist  
Gedruckte Buchseite: 155

ORIGINALTEXT

Schauen wir uns zuerst an, was die drei Zahlen eines Vektors eigentlich aussagen. Die erste Zahl beschreibt die Verschiebung in \(x\)-Richtung, die zweite die in \(y\)-Richtung und die dritte die in \(z\)-Richtung. Das sind die drei Koordinaten des Vektors. Zusammen legen sie den Pfeil im Raum fest. Wie lang dieser Pfeil ist, verraten sie aber noch nicht auf einen Blick. Diese Länge nennt man den **Betrag** des Vektors.

Den Betrag schreiben wir mit zwei senkrechten Strichen: \(\lvert\vec v\rvert\). Die Formel im nächsten Kasten zeigt, wie er aus den drei Koordinaten berechnet wird.

\[
\left\lvert\begin{pmatrix}v_1\\
v_2\\
v_3\end{pmatrix}\right\rvert
 =\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}
\]

Sie brauchen diese Formel im Abitur nicht herzuleiten. Sie müssen nur wissen, was die Formel berechnet, und sicher mit ihr rechnen können. Sie basiert auf dem Satz des Pythagoras. Beim Rechnen gehen Sie immer gleich vor: Sie quadrieren jede Koordinate, addieren die drei Quadrate und ziehen am Ende die Quadratwurzel.

Machen wir das einmal gemeinsam:

\[
\left\lvert\begin{pmatrix}2\\
-3\\
6\end{pmatrix}\right\rvert
 =\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{49}=7.
\]

Die negative Koordinate stört dabei nicht. Die \(-3\) kommt in Klammern und wird dann genauso quadriert wie die beiden anderen Zahlen. Ein Betrag ist immer eine Länge, und eine Länge kann nie negativ sein. Falls bei Ihnen für einen Betrag doch einmal eine negative Zahl steht, wissen Sie sofort: In der Rechnung ist etwas schiefgegangen.

#### Von der Pfeillänge zur Streckenlänge

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Von der Pfeillänge zur Streckenlänge  
Gedruckte Buchseite: 155

ORIGINALTEXT

In den Aufgaben steht nur selten: „Berechnen Sie die Länge dieses Vektors.“ Viel häufiger ist nach einer Strecke oder nach dem Abstand zweier Punkte gefragt. Der Weg dorthin ist zum Glück kurz. Zuerst bilden Sie den Verbindungsvektor, genau wie im vorigen Kapitel: Endpunkt minus Anfangspunkt.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Von der Pfeillänge zur Streckenlänge  
Gedruckte Buchseite: 156

ORIGINALTEXT

Für \(A(1\mid-2\mid3)\) und \(B(5\mid1\mid3)\) ist

\[
\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\
3\\
0\end{pmatrix},
 \qquad
 \left\lvert\overrightarrow{AB}\right\rvert
 =\sqrt{4^2+3^2+0^2}=5.
\]

Dieser Pfeil beginnt in \(A\) und endet in \(B\). Seine Länge ist deshalb genau der Abstand der beiden Punkte. In unserem Beispiel ist die Strecke \(\overline{AB}\) also \(5\) Längeneinheiten lang.

Die Länge der Strecke \(\overline{AB}\) ist der Betrag des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{AB}\).

Eine neue Rechnung müssen Sie sich dafür nicht merken. Es bleiben immer dieselben beiden Schritte: Verbindungsvektor bilden und seinen Betrag berechnen. Ob die Aufgabe nach einer Kantenlänge, einem Radius oder dem Abstand zweier Punkte fragt oder danach, ob zwei Dreiecksseiten gleich lang sind, ändert an diesen Schritten nichts.

#### Das Skalarprodukt

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Das Skalarprodukt  
Gedruckte Buchseite: 156

ORIGINALTEXT

Für alles, was mit Winkeln zu tun hat, wird ein zweites Werkzeug gebraucht. Seine Rechenvorschrift ist schnell erzählt: Man multipliziert die Koordinaten, die an derselben Stelle stehen, und addiert die drei Produkte.

\[
\vec a=\begin{pmatrix}2\\
1\\
0\end{pmatrix},
 \quad
 \vec b=\begin{pmatrix}-1\\
3\\
2\end{pmatrix},
 \qquad
 \vec a\circ\vec b=2\cdot(-1)+1\cdot3+0\cdot2=1.
\]

\[
\vec a\circ\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
\]

Achten Sie darauf, was dabei herauskommt: eine einzige Zahl, kein Vektor. Daher der Name *Skalarprodukt*: *Skalar* ist das Wort für eine Zahl ohne Richtung. Stehen bei Ihnen am Ende drei Zahlen untereinander, war es nicht das Skalarprodukt.

#### Der schnelle Test auf den rechten Winkel

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Der schnelle Test auf den rechten Winkel  
Gedruckte Buchseite: 156

ORIGINALTEXT

Am wertvollsten ist diese Zahl, wenn sie null ist. Denn zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

\(\displaystyle \vec a\circ\vec b=0 \Longleftrightarrow\quad \vec a\text{ und }\vec b\text{ stehen senkrecht aufeinander}\)

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Der schnelle Test auf den rechten Winkel  
Gedruckte Buchseite: 157

ORIGINALTEXT

Die beiden Pfeile von eben stehen also nicht senkrecht aufeinander; ihr Skalarprodukt war 1 und nicht 0. Ersetzen Sie aber \(\vec b\) durch

\[
\vec c=\begin{pmatrix}-1\\
2\\
5\end{pmatrix},
 \qquad
 \vec a\circ\vec c=2\cdot(-1)+1\cdot2+0\cdot5=0,
\]

dann steht dieser Pfeil senkrecht auf \(\vec a\).

Der Nachweis eines rechten Winkels ist damit eine der kürzesten Rechnungen der ganzen Geometrie: drei Produkte, eine Summe, fertig. Kommt null heraus, ist der Winkel ein rechter; kommt etwas anderes heraus, ist er es nicht. Ein Taschenrechner wird dafür nicht gebraucht. Im hilfsmittelfreien Teil A ist genau das der übliche Weg, Rechtwinkligkeit zu begründen.

#### Alle übrigen Winkel

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Alle übrigen Winkel  
Gedruckte Buchseite: 157

ORIGINALTEXT

Was versteht man eigentlich unter dem Winkel zwischen zwei Vektoren? Ganz so eindeutig ist das zunächst nicht. Sehen Sie sich die Zeichnung an.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Alle übrigen Winkel  
Gedruckte Buchseite: 157

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Zwei Pfeile beginnen im gemeinsamen Punkt \(S\): \(\vec a\) zeigt waagrecht nach rechts, \(\vec b\) schräg nach rechts oben. Ein kleiner durchgezogener Winkelbogen zwischen ihnen ist mit \(\alpha\) bezeichnet. Der größere umlaufende Winkel ist gestrichelt dargestellt. Keine Gradzahl ist eingetragen.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Alle übrigen Winkel  
Gedruckte Buchseite: 157

ORIGINALTEXT

Im Punkt \(S\) haben wir die Pfeile zu \(\vec a\) und \(\vec b\) eingetragen. Zwischen ihnen entstehen zwei Winkel: der kleinere Winkel \(\alpha\) und der größere, gestrichelt gezeichnete Winkel. Welcher der beiden ist nun gemeint?

Man hat sich einfach festgelegt: Als Winkel zwischen zwei Vektoren bezeichnet man immer den kleineren der beiden Winkel. Wenn künftig vom Winkel zwischen \(\vec a\) und \(\vec b\) die Rede ist, ist damit immer dieser kleinere Winkel gemeint. Er entsteht, wenn beide Pfeile im selben Punkt beginnen, und liegt zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\).

Diesen so festgelegten Winkel \(\alpha\) können Sie mit dem Skalarprodukt und den beiden Vektorlängen berechnen:

\(\displaystyle \cos\alpha =\dfrac{\vec a\circ\vec b}{\lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert} \qquad\Longrightarrow\qquad \alpha=\cos^{-1}\!\left( \dfrac{\vec a\circ\vec b} {\lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert} \right)\)

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Alle übrigen Winkel  
Gedruckte Buchseite: 157–158

ORIGINALTEXT

Im Zähler steht das Skalarprodukt der beiden Vektoren, im Nenner das Produkt ihrer beiden Beträge. Das Zeichen \(\cos^{-1}\) bezeichnet die Umkehrung des Kosinus. Es bedeutet hier nicht den Kehrwert \(1/\cos\). Stellen Sie am Taschenrechner das Gradmaß ein. Die Anzeige \(\cos^{-1}\) erreichen Sie mit SHIFT und COS.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Alle übrigen Winkel  
Gedruckte Buchseite: 158

ORIGINALTEXT

Und jetzt sehen Sie an der Formel auch, warum der schnelle Test auf einen rechten Winkel funktioniert. Ist \(\vec a\circ\vec b=0\), dann wird der Bruch auf der rechten Seite null. Es gilt also \(\cos\alpha=0\), und das ist zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) nur für \(\alpha=90^\circ\) der Fall.

#### Wo die Pfeile beginnen müssen

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Wo die Pfeile beginnen müssen  
Gedruckte Buchseite: 158

ORIGINALTEXT

Jetzt kommt eine Stelle, an der eine Rechnung völlig richtig aussehen und trotzdem den falschen Winkel liefern kann.

Gesucht sei der Innenwinkel \(\beta\) des Dreiecks \(ABC\) an der Ecke \(B\). Die Vektoren, die man dafür benötigt, sind \(\overrightarrow{BA}\) und \(\overrightarrow{BC}\). Trägt man die beiden Pfeile am Punkt \(B\) an, ist der Winkel zwischen ihnen genau der gesuchte Innenwinkel \(\beta\). Die Zeichnung zeigt es.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Wo die Pfeile beginnen müssen  
Gedruckte Buchseite: 158

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Dreieck \(ABC\) mit \(A\) links unten, \(B\) rechts unten und \(C\) links oben. Beide hervorgehobenen Pfeile beginnen in \(B\): \(\overrightarrow{BA}\) zeigt nach links zu \(A\), \(\overrightarrow{BC}\) schräg nach links oben zu \(C\). Dazwischen ist der Innenwinkel \(\beta\) markiert. Unter der Zeichnung steht „passende Vektorwahl“.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Wo die Pfeile beginnen müssen  
Gedruckte Buchseite: 158

ORIGINALTEXT

Verwendet man hingegen die Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{BC}\), berechnet man einen anderen Winkel. Um zu erkennen, welcher Winkel mit der Formel berechnet wird, tragen wir beide Pfeile wieder an einem gemeinsamen Punkt an. Nehmen wir dafür wieder \(B\). \(\overrightarrow{BC}\) bleibt dabei unverändert. \(\overrightarrow{AB}\) ist der Gegenvektor von \(\overrightarrow{BA}\) und zeigt deshalb in die entgegengesetzte Richtung.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Wo die Pfeile beginnen müssen  
Gedruckte Buchseite: 158

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Dasselbe Dreieck \(ABC\); am Punkt \(B\) beginnt nun zusätzlich ein waagrechter Pfeil nach rechts mit der Bezeichnung \(\overrightarrow{AB}\). \(\overrightarrow{BC}\) zeigt von \(B\) nach \(C\). Der Winkel zwischen diesen beiden Pfeilen außerhalb des Dreiecks trägt „\(180^{\circ}-\beta\)“. Darunter steht „nicht passende Vektorwahl“.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Wo die Pfeile beginnen müssen  
Gedruckte Buchseite: 159

ORIGINALTEXT

Die Zeichnung zeigt: Der Winkel, den die Formel hier berechnet, ist nicht der gesuchte Winkel \(\beta\), sondern \(180^\circ-\beta\). Die Winkelformel macht also keinen Fehler. Sie berechnet genau den Winkel zwischen den beiden Vektoren, die wir eingesetzt haben. Wir haben nur nicht die beiden verwendet, die den gesuchten Innenwinkel einschließen.

Um einen Innenwinkel zu berechnen, verwenden Sie die beiden Verbindungsvektoren, die an der betreffenden Ecke beginnen.

#### Mehr wird nicht gebraucht

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Mehr wird nicht gebraucht  
Gedruckte Buchseite: 159

ORIGINALTEXT

Wenn Sie bis hierhin mitgegangen sind, haben Sie das Werkzeug für dieses Kapitel beisammen. Bevor Sie bei einer Aufgabe losrechnen, halten Sie kurz inne und fragen sich: Was ist eigentlich gesucht?

Geht es um eine Länge, bilden Sie den Verbindungsvektor und berechnen seinen Betrag. Geht es um einen rechten Winkel, prüfen Sie das Skalarprodukt. Geht es um einen anderen Winkel, verwenden Sie die Kosinusformel. Und bei einem Innenwinkel kommt noch der kurze Blick auf die Ecke hinzu: Die beiden Verbindungsvektoren müssen dort beginnen. Mehr brauchen wir in diesem Kapitel nicht. Die Aufgaben sehen verschieden aus, aber im Kern laufen sie immer auf einen dieser drei Wege hinaus.

### Übungsaufgaben

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Übungsaufgaben  
Gedruckte Buchseite: 160

ORIGINALTEXT

Lösungen ab Seite 283

#### Aufgabe 232

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 232  
Gedruckte Buchseite: 160  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 232, Kapitel 19, Seite 283 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

OHNE TR

a) Berechnen Sie die Länge des Vektors \(\vec a=\left(\begin{smallmatrix}3\\ -4\\ 0\end{smallmatrix}\right)\).

b) Gegeben sind die Punkte \(A(-2\mid1\mid4)\) und \(B(2\mid3\mid1)\). Berechnen Sie die Länge der Strecke \(\overline{AB}\).

#### Aufgabe 233

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 233  
Gedruckte Buchseite: 160  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 233, Kapitel 19, Seite 283 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Punkte \(A(-2\mid1\mid4)\) und \(E(0\mid3\mid5)\) sind Endpunkte einer Kante eines Würfels. Weisen Sie rechnerisch nach, dass seine Kantenlänge \(3\) beträgt.

#### Aufgabe 234

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 234  
Gedruckte Buchseite: 160  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 234, Kapitel 19, Seite 283 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

OHNE TR Gegeben sind die Punkte \(A(0\mid0\mid0)\), \(B(4\mid3\mid0)\) und \(C(0\mid0\mid6)\). Begründen Sie rechnerisch, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(A\) rechtwinklig ist.

#### Aufgabe 235

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 235  
Gedruckte Buchseite: 160  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 235, Kapitel 19, Seite 284 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Das Rechteck \(ABCD\) besitzt die Eckpunkte

\[
A(5\mid0\mid8),\qquad B(0\mid5\mid8),\qquad C(-1\mid4\mid15).
\]

Eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter. Zeigen Sie rechnerisch, dass ein Kreis mit einem Durchmesser von \(70\,\mathrm{cm}\) vollständig auf das Rechteck passt.

#### Aufgabe 236

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 236  
Gedruckte Buchseite: 160  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 236, Kapitel 19, Seite 284 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

OHNE TR Gegeben sind die Punkte \(P(4\mid2\mid3)\), \(Q(2\mid-2\mid1)\) und \(R(1\mid1\mid1)\).

a) Bestimmen Sie die Länge der Strecke \(\overline{PQ}\).

b) Begründen Sie rechnerisch, dass der Winkel bei \(R\) ein rechter Winkel ist.

#### Aufgabe 237

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 237  
Gedruckte Buchseite: 160  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 237, Kapitel 19, Seite 285 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Gegeben sind die Punkte \(A(4\mid0\mid3)\), \(B(0\mid4\mid3)\) und \(S(0\mid0\mid0)\).

a) Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABS\) gleichschenklig ist.

b) Berechnen Sie die Größe des Winkels bei \(S\).

#### Aufgabe 238

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 238  
Gedruckte Buchseite: 160  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 238, Kapitel 19, Seite 285 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Ein Halteseil verläuft von \(A(1\mid2\mid0)\) nach \(B(4\mid6\mid12)\). Die positive \(z\)-Richtung beschreibt die Vertikale.

a) Geben Sie einen Vektor an, der in vertikale Richtung zeigt.

b) Berechnen Sie den kleineren Winkel zwischen dem Halteseil und der Vertikalen.

#### Aufgabe 239

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 239  
Gedruckte Buchseite: 160  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 239, Kapitel 19, Seite 286 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Eine Kugel besitzt den Mittelpunkt \(M(1\mid2\mid3)\) und den Radius \(5\). Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(R(4\mid6\mid3)\) zur Kugel gehört.

#### Aufgabe 240

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 240  
Gedruckte Buchseite: 161  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 240, Kapitel 19, Seite 286 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Gegeben sind die Punkte

\[
A(1\mid2\mid3),\quad B(5\mid5\mid3),\quad
 C(5\mid5\mid5),\quad D(1\mid2\mid5).
\]

Begründen Sie rechnerisch, dass das Viereck \(ABCD\) ein Rechteck ist.

#### Aufgabe 241

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 241  
Gedruckte Buchseite: 161  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 241, Kapitel 19, Seite 286 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Gegeben sind die Punkte \(P(0\mid2\mid0)\), \(R(4\mid-2\mid2)\) und \(Q(q\mid0\mid3)\). Der Punkt \(Q\) ist von \(P\) und \(R\) gleich weit entfernt. Bestimmen Sie \(q\).

#### Aufgabe 242

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 242  
Gedruckte Buchseite: 161  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 242, Kapitel 19, Seite 287 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Auf der Strecke \(\overline{AB}\) mit \(A(0\mid0\mid0)\) und \(B(6\mid0\mid0)\) liegt der Punkt \(Q(q\mid0\mid0)\). Außerdem sind die Punkte \(F(2\mid3\mid1)\) und \(R(4\mid-1\mid0)\) gegeben.

Bestimmen Sie alle Punkte \(Q\), für die das Dreieck \(FQR\) bei \(Q\) rechtwinklig ist. Fertigen Sie dazu zunächst eine schematische Skizze der Situation an.

#### Aufgabe 243

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 243  
Gedruckte Buchseite: 161  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 243, Kapitel 19, Seite 287 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Für \(q>0\) sei \(R(1\mid q\mid0)\). Gegeben sind außerdem \(P(0\mid0\mid0)\) und \(Q(2\mid0\mid0)\). Bestimmen Sie \(q\) so, dass das Dreieck \(PQR\) bei \(R\) rechtwinklig ist.

#### Aufgabe 244

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 244  
Gedruckte Buchseite: 161  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 244, Kapitel 19, Seite 287 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Eine Kugel besitzt den Mittelpunkt \(M(1\mid0\mid2)\) und den Radius \(3\). Für \(t\in\mathbb R\) ist \(P_t(t\mid2\mid4)\) gegeben. Bestimmen Sie alle Werte von \(t\), für die \(P_t\) auf der Kugel liegt.

#### Aufgabe 245

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 245  
Gedruckte Buchseite: 161  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 245, Kapitel 19, Seite 288 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Gegeben sind die Punkte

\[
\begin{aligned}
 A(1\mid-1\mid2),\qquad
 &B_s(1+s\mid-1+2s\mid2),\\
&C_t(1\mid-1\mid2+t)
 \end{aligned}
\]

mit \(s,t>0\).

a) Begründen Sie, dass jedes Dreieck \(AB_sC_t\) bei \(A\) rechtwinklig ist.

b) Bestimmen Sie \(t\) in Abhängigkeit von \(s\) so, dass das Dreieck gleichschenklig ist.

c) Begründen Sie mit dem Ergebnis aus b), dass die zugehörigen Wertepaare \((s\mid t)\) auf einer Geraden liegen. Zeichnen Sie die Gerade für \(s>0\) in das Koordinatensystem ein.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 245  
Gedruckte Buchseite: 161  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 245, Kapitel 19, Seite 288 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Leeres Koordinatensystem mit waagrechter \(s\)-Achse und senkrechter \(t\)-Achse. Die s-Achse ist von \(0\) bis \(6\) in Einerschritten beschriftet, die t-Achse mit \(2,6,8\). Das Gitternetz hat Einerschritte in beiden Richtungen. Die zu zeichnende Gerade ist noch nicht eingetragen.

#### Aufgabe 246

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Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 246  
Gedruckte Buchseite: 161  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 246, Kapitel 19, Seite 288 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Auf der x-Achse liegt \(Q(q\mid0\mid0)\). Bestimmen Sie \(q\) so, dass \(Q\) von \(P(-1\mid2\mid0)\) und \(R(5\mid0\mid2)\) gleich weit entfernt ist.

#### Aufgabe 247

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 247  
Gedruckte Buchseite: 162  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 247, Kapitel 19, Seite 289 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Ein Halteseil verläuft von \(A(0\mid0\mid0)\) nach \(B(2\mid2\mid6)\). Sein Winkel zur positiven z-Richtung darf höchstens \(30^\circ\) betragen. Untersuchen Sie, ob die Vorgabe erfüllt ist.

#### Aufgabe 248

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Aufgabe 248  
Gedruckte Buchseite: 162  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 248, Kapitel 19, Seite 289 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Gegeben sind \(A(0\mid0\mid0)\), \(B(3\mid0\mid4)\) und \(C(0\mid4\mid3)\). Beurteilen Sie die Aussage: „Das Dreieck \(ABC\) ist bei \(A\) rechtwinklig und gleichschenklig.“


## Kontrolllösungen zu Kapitel 19

### Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel

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Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Abschnitt: Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Gedruckte Buchseite: 283

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 232

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Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 232  
Gedruckte Buchseite: 283  
Zugehörige Übung: Aufgabe 232, Kapitel 19, Seite 160  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 283

ORIGINALTEXT

**a) Vektorlänge**

\[
\lvert\vec a\rvert
 =\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}
 =\sqrt{25}=5.
\]

**b) Streckenlänge**

Zuerst wird der Verbindungsvektor gebildet:

\[
\overrightarrow{AB}
 =\begin{pmatrix}2-(-2)\\
3-1\\
1-4\end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix}4\\
2\\
-3\end{pmatrix}.
\]

Damit ist die Strecke \(\overline{AB}\) genau

\[
\sqrt{4^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{29}
\]

Längeneinheiten lang.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 233

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Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 233  
Gedruckte Buchseite: 283  
Zugehörige Übung: Aufgabe 233, Kapitel 19, Seite 160  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 283

ORIGINALTEXT

Der Kantenvektor von \(A\) nach \(E\) ist

\[
\overrightarrow{AE}
 =\begin{pmatrix}0-(-2)\\
3-1\\
5-4\end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix}2\\
2\\
1\end{pmatrix}.
\]

Seine Länge beträgt

\[
\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt9=3.
\]

**Ergebnis:** Der Würfel besitzt die Kantenlänge \(3\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 234

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Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 234  
Gedruckte Buchseite: 283  
Zugehörige Übung: Aufgabe 234, Kapitel 19, Seite 160  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 283

ORIGINALTEXT

Am Punkt \(A\) beginnen die beiden Vektoren

\[
\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\
3\\
0\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\
0\\
6\end{pmatrix}.
\]

Für ihr Skalarprodukt gilt

\[
\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}
 =4\cdot0+3\cdot0+0\cdot6=0.
\]

**Ergebnis:** Die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{AC}\) stehen senkrecht aufeinander. Das Dreieck ist bei \(A\) rechtwinklig.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 235

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Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 235  
Gedruckte Buchseite: 284  
Zugehörige Übung: Aufgabe 235, Kapitel 19, Seite 160  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 284

ORIGINALTEXT

Da \(A\), \(B\) und \(C\) aufeinanderfolgende Eckpunkte des Rechtecks sind, werden die beiden Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{BC}\) betrachtet:

\[
\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-5\\
5\\
0\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-1\\
-1\\
7\end{pmatrix}.
\]

Damit sind die Seiten

\[
\sqrt{(-5)^2+5^2}=\sqrt{50}\approx7{,}07\,\mathrm{dm}
\]

und

\[
\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+7^2}=\sqrt{51}
 \approx7{,}14\,\mathrm{dm}
\]

lang. Der Kreisdurchmesser von \(70\,\mathrm{cm}\) entspricht \(7\,\mathrm{dm}\) und ist damit kleiner als beide Seitenlängen.

**Ergebnis:** Der Kreis passt vollständig auf das Rechteck.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 236

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Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 236  
Gedruckte Buchseite: 284  
Zugehörige Übung: Aufgabe 236, Kapitel 19, Seite 160  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 284

ORIGINALTEXT

**a) Länge der Strecke \(\overline{PQ}\)**

\[
\overrightarrow{PQ}
 =\begin{pmatrix}2-4\\
-2-2\\
1-3\end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix}-2\\
-4\\
-2\end{pmatrix}.
\]

Somit ist die Strecke

\[
\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+(-2)^2}
 =\sqrt{24}=2\sqrt6
\]

Längeneinheiten lang.

**b) Rechter Winkel bei \(R\)**

Für den Winkel bei \(R\) müssen beide Vektoren dort beginnen:

\[
\overrightarrow{RP}=\begin{pmatrix}3\\
1\\
2\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{RQ}=\begin{pmatrix}1\\
-3\\
0\end{pmatrix}.
\]

Es gilt

\[
\overrightarrow{RP}\circ\overrightarrow{RQ}
 =3\cdot1+1\cdot(-3)+2\cdot0=0.
\]

**Ergebnis:** Das Dreieck \(PQR\) ist bei \(R\) rechtwinklig.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 237

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Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 237  
Gedruckte Buchseite: 285  
Zugehörige Übung: Aufgabe 237, Kapitel 19, Seite 160  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 285

ORIGINALTEXT

**a) Gleich lange Seiten**

Vom Punkt \(S\) aus gilt

\[
\overrightarrow{SA}=\begin{pmatrix}4\\
0\\
3\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{SB}=\begin{pmatrix}0\\
4\\
3\end{pmatrix}.
\]

Beide Vektoren haben die Länge

\[
\sqrt{4^2+3^2}=5.
\]

Damit sind \(\overline{SA}\) und \(\overline{SB}\) gleich lang und das Dreieck \(ABS\) ist gleichschenklig.

**b) Winkel bei \(S\)**

\[
\overrightarrow{SA}\circ\overrightarrow{SB}
 =4\cdot0+0\cdot4+3\cdot3=9.
\]

Daher folgt

\[
\alpha
 =\cos^{-1}\!\left(\frac{9}{5\cdot5}\right)
 \approx68{,}9^\circ.
\]

**Ergebnis:** Der Winkel bei \(S\) ist etwa \(68{,}9^\circ\) groß.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 238

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 238  
Gedruckte Buchseite: 285  
Zugehörige Übung: Aufgabe 238, Kapitel 19, Seite 160  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 285

ORIGINALTEXT

**a) Vektor in vertikale Richtung**

Die positive \(z\)-Richtung wird zum Beispiel durch den Vektor \(\vec v=\left(\begin{smallmatrix}0\\ 0\\ 1\end{smallmatrix}\right)\) beschrieben.

**b) Winkel zur Vertikalen**

Für das Halteseil gilt

\[
\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\
4\\
12\end{pmatrix},
 \qquad
 \lvert\overrightarrow{AB}\rvert=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13.
\]

\[
\overrightarrow{AB}\circ\vec v=12,
 \qquad
 \alpha=\cos^{-1}\!\left(\frac{12}{13\cdot1}\right)
 \approx22{,}6^\circ.
\]

**Ergebnis:** Das Halteseil schließt mit der Vertikalen einen Winkel von etwa \(22{,}6^\circ\) ein.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 239

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Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 239  
Gedruckte Buchseite: 286  
Zugehörige Übung: Aufgabe 239, Kapitel 19, Seite 160  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 286

ORIGINALTEXT

Vom Mittelpunkt \(M\) zum Punkt \(R\) gilt

\[
\overrightarrow{MR}
 =\begin{pmatrix}4-1\\
6-2\\
3-3\end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix}3\\
4\\
0\end{pmatrix},
 \qquad
 \lvert\overrightarrow{MR}\rvert
 =\sqrt{3^2+4^2+0^2}=5.
\]

Der Abstand von \(R\) zum Mittelpunkt stimmt mit dem Radius überein. Daher liegt \(R\) auf der Kugel.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 240

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 240  
Gedruckte Buchseite: 286  
Zugehörige Übung: Aufgabe 240, Kapitel 19, Seite 161  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 286

ORIGINALTEXT

Für einen möglichst kurzen Nachweis genügt zunächst ein Paar gegenüberliegender Seiten. Es gilt

\[
\overrightarrow{AB}
 =\begin{pmatrix}5-1\\
5-2\\
3-3\end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix}4\\
3\\
0\end{pmatrix}
 \quad\text{und}\quad
 \overrightarrow{DC}
 =\begin{pmatrix}5-1\\
5-2\\
5-5\end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix}4\\
3\\
0\end{pmatrix}.
\]

Damit sind die gegenüberliegenden Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{DC}\) parallel und gleich lang. Das Viereck \(ABCD\) ist also ein Parallelogramm.

Nun muss nur noch ein rechter Winkel nachgewiesen werden. Mit

\[
\overrightarrow{AD}
 =\begin{pmatrix}1-1\\
2-2\\
5-3\end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix}0\\
0\\
2\end{pmatrix}
\]

folgt

\[
\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}
 =4\cdot0+3\cdot0+0\cdot2=0.
\]

Die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{AD}\) stehen daher senkrecht aufeinander. Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck. Es ist nicht nötig, die übrigen drei Winkel einzeln zu untersuchen.

**Ergebnis:** Das Viereck \(ABCD\) ist ein Rechteck.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 241

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 241  
Gedruckte Buchseite: 286  
Zugehörige Übung: Aufgabe 241, Kapitel 19, Seite 161  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 286

ORIGINALTEXT

Die beiden quadrierten Abstände werden gleichgesetzt. Dabei kann auf die Wurzeln verzichtet werden:

\[
\begin{aligned}
 \overline{QP}:&\quad (-q)^2+2^2+(-3)^2=q^2+13,\\
\overline{QR}:&\quad (4-q)^2+(-2)^2+(-1)^2=(4-q)^2+5.
\end{aligned}
\]

Somit gilt

\[
q^2+13=(4-q)^2+5
 \quad\Longleftrightarrow\quad
 q^2+13=q^2-8q+21
 \quad\Longleftrightarrow\quad q=1.
\]

**Ergebnis:** Der gesuchte Punkt ist \(Q(1\mid0\mid3)\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 242

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 242  
Gedruckte Buchseite: 287  
Zugehörige Übung: Aufgabe 242, Kapitel 19, Seite 161  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 287

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Schematische Zeichnung mit A und B als Endpunkten einer waagerechten Strecke und Q dazwischen. Von Q verlaufen zwei Strecken nach F links oben und R rechts oben. Der Winkel zwischen QF und QR ist bei Q mit einem Bogen und \(\alpha\) markiert. Koordinaten und Längen sind nicht eingezeichnet.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 242  
Gedruckte Buchseite: 287  
Zugehörige Übung: Aufgabe 242, Kapitel 19, Seite 161  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 287

ORIGINALTEXT

Für den rechten Winkel bei \(Q\) müssen die beiden Vektoren dort beginnen:

\[
\overrightarrow{QF}=\begin{pmatrix}2-q\\
3\\
1\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{QR}=\begin{pmatrix}4-q\\
-1\\
0\end{pmatrix}.
\]

Ihr Skalarprodukt muss null sein:

\[
(2-q)(4-q)-3=0
 \quad\Longleftrightarrow\quad q^2-6q+5=0.
\]

Mit der abc-Formel folgt

\[
q_{1,2}
 =\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}
 =\frac{6\pm4}{2}.
\]

Damit erhält man \(q=1\) und \(q=5\). Beide Lösungen liegen zwischen \(0\) und \(6\) und beschreiben damit Punkte auf der Strecke \(\overline{AB}\).

**Ergebnis:** Gesucht sind \(Q_1(1\mid0\mid0)\) und \(Q_2(5\mid0\mid0)\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 243

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 243  
Gedruckte Buchseite: 287  
Zugehörige Übung: Aufgabe 243, Kapitel 19, Seite 161  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 287

ORIGINALTEXT

Für einen rechten Winkel bei \(R\) müssen die beiden dort beginnenden Vektoren orthogonal sein:

\[
\overrightarrow{RP}=\begin{pmatrix}-1\\
-q\\
0\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{RQ}=\begin{pmatrix}1\\
-q\\
0\end{pmatrix}.
\]

Daher gilt

\[
\overrightarrow{RP}\circ\overrightarrow{RQ}
 =-1+q^2=0
 \quad\Longleftrightarrow\quad q=\pm1.
\]

Wegen \(q>0\) bleibt nur der positive Wert.

**Ergebnis:** Es gilt \(q=1\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 244

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 244  
Gedruckte Buchseite: 287  
Zugehörige Übung: Aufgabe 244, Kapitel 19, Seite 161  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 287

ORIGINALTEXT

Ein Punkt liegt genau dann auf der Kugel, wenn sein Abstand vom Mittelpunkt gleich dem Radius ist. Daher gilt

\[
\begin{aligned}
 \left|\overrightarrow{MP_t}\right|^2&=3^2,\\
(t-1)^2+(2-0)^2+(4-2)^2&=9,\\
(t-1)^2&=1.
 \end{aligned}
\]

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 244  
Gedruckte Buchseite: 288  
Zugehörige Übung: Aufgabe 244, Kapitel 19, Seite 161  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 287

ORIGINALTEXT

Aus \(t-1=\pm1\) folgen die beiden Werte.

**Ergebnis:** Die Punkte \(P_0(0\mid2\mid4)\) und \(P_2(2\mid2\mid4)\) liegen auf der Kugel; somit gilt \(t=0\) oder \(t=2\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 245

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 245  
Gedruckte Buchseite: 288  
Zugehörige Übung: Aufgabe 245, Kapitel 19, Seite 161  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 288

ORIGINALTEXT

**a) Rechter Winkel bei \(A\)**

Am Punkt \(A\) beginnen die Vektoren

\[
\overrightarrow{AB_s}=\begin{pmatrix}s\\
2s\\
0\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{AC_t}=\begin{pmatrix}0\\
0\\
t\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{AB_s}\circ\overrightarrow{AC_t}
 =s\cdot0+2s\cdot0+0\cdot t=0.
\]

Damit ist jedes Dreieck bei \(A\) rechtwinklig.

**b) Gleichschenkliges Dreieck**

In einem rechtwinkligen Dreieck können nur die beiden Katheten gleich lang sein. Ihre Längen sind

\[
\lvert\overrightarrow{AB_s}\rvert
 =\sqrt{s^2+(2s)^2}=\sqrt5\,s,
 \qquad
 \lvert\overrightarrow{AC_t}\rvert=t.
\]

**Ergebnis:** Für \(t=\sqrt5\,s\) ist das Dreieck gleichschenklig.

**c) Gerade der Wertepaare**

Nach b) gilt für jedes Wertepaar \(t=\sqrt5\,s\). Dies ist die Gleichung einer Geraden durch den Ursprung. Da \(s>0\) gilt, wird nur ihr Teil im ersten Quadranten eingezeichnet.

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Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 245  
Gedruckte Buchseite: 288  
Zugehörige Übung: Aufgabe 245, Kapitel 19, Seite 161  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 288

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Koordinatensystem mit waagerechter s-Achse und senkrechter t-Achse. Sichtbar sind \(s=0\) bis 6 und \(t=0\) bis 8; das Gitternetz hat Einerschritte. Der eingezeichnete, vom Ursprung nach rechts oben laufende Strahl trägt die Beschriftung \(t=\sqrt5\,s\). Er verlässt den sichtbaren Ausschnitt an der oberen Kante zwischen \(s=3\) und \(s=4\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 246

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 246  
Gedruckte Buchseite: 288  
Zugehörige Übung: Aufgabe 246, Kapitel 19, Seite 161  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 288

ORIGINALTEXT

Die quadrierten Abstände können ohne Wurzeln gleichgesetzt werden:

\[
(q+1)^2+4=(5-q)^2+4
 \quad\Longleftrightarrow\quad
 q^2+2q+1=q^2-10q+25.
\]

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 246  
Gedruckte Buchseite: 289  
Zugehörige Übung: Aufgabe 246, Kapitel 19, Seite 161  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 288

ORIGINALTEXT

Damit folgt \(12q=24\).

**Ergebnis:** Es gilt \(q=2\), also \(Q(2\mid0\mid0)\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 247

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 247  
Gedruckte Buchseite: 289  
Zugehörige Übung: Aufgabe 247, Kapitel 19, Seite 162  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 289

ORIGINALTEXT

Für das Halteseil und die positive \(z\)-Richtung verwenden wir

\[
\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\
2\\
6\end{pmatrix},
 \qquad
 \vec v=\begin{pmatrix}0\\
0\\
1\end{pmatrix}.
\]

Somit gilt

\[
\alpha
 =\cos^{-1}\!\left(\frac{6}{\sqrt{44}\cdot1}\right)
 =\cos^{-1}\!\left(\frac{3}{\sqrt{11}}\right)
 \approx25{,}2^\circ.
\]

**Ergebnis:** Da \(25{,}2^\circ<30^\circ\) gilt, ist die Vorgabe erfüllt.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 248

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 19: Streckenlängen und Winkel  
Kontrolllösung zu Aufgabe 248  
Gedruckte Buchseite: 289  
Zugehörige Übung: Aufgabe 248, Kapitel 19, Seite 162  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 289

ORIGINALTEXT

Vom Punkt \(A\) aus gilt

\[
\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\
0\\
4\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\
4\\
3\end{pmatrix}.
\]

Beide Vektoren haben die Länge \(5\), aber ihr Skalarprodukt ist

\[
\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}=12\ne0.
\]

Das Dreieck ist daher gleichschenklig, aber bei \(A\) nicht rechtwinklig.

**Ergebnis:** Die Aussage ist falsch.