skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/0.2.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "0.2",
    "chapter_number": 0,
    "chapter": "Voraussetzungen",
    "title": "Quadratische Funktion",
    "question": "Gegeben ist die Funktion $ I(t) = I_0 + \\frac{I_1}{t_1^2}t^2$.\n\n- Stellen Sie diese Funktion qualitativ grafisch dar.\n\n- Berechnen Sie allgemein: $Q(t) = Q(t_1)+ \\int_{t_1}^t I(\\tau) \\td\\tau$, wobei $Q(t_1)$ bekannt ist.\n\n- Bestimmen Sie $Q(t_2)$ für die Werte $I_0 = 1\\mathrm{A}$, $I_1 = 2\\mathrm{A}$, $t_1 = 1\\mathrm{s}$, $t_2 = 2\\mathrm{s}$ und $Q(t_1) = 4\\mathrm{A\\,s}$.",
    "short_solution": "c)\\; $Q(t_2) = \\frac{29}{3} \\mathrm{A\\,s} = 9,67 \\mathrm{A\\,s}$",
    "solution_path": "- \"`Qualitativ\"' bedeutet in diesem Zusammenhang: \"`Interessante Punkte\"' einzeichnen, allerdings \\textit{keine} Zahlenwerte oder maßstäbliche Zeichnung.\n\nMarkante Punkte sind in diesem Fall:\n\n- Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $I(0)= I_0$.\n\n- Angabe der Streckung/Stauchung der Parabel\n\\begin{gather*}\nI(t_1) = I_0 + I_1 \\frac{t^2_1}{t^2_1} = I_0 + I_1\n\\end{gather*}\n\nDamit ergibt sich die Skizze in Abbildung~fig:Integration_einer_quadratischen_Funktion.\n[h]\n\\psset{unit=2.0cm}\n\n[Direkt gezeichnete PSTricks-Abbildung; Quellcode siehe JSON-Metadaten]\n\n*Abbildung: Skizze der quadratischen Funktion*\n\n- \\begin{align*}\nQ(t) &= Q(t_1) + \\int_{t_1}^t I(\\tau) \\td \\tau \n\n&= Q(t_1) + \\left[ I_0 \\tau + \\frac{I_1}{3 t_1^2} \\tau^3 \\right]_{t_1}^t \n\n&= Q(t_1) + I_0(t - t_1) + \\frac{I_1}{3t_1^2}(t^3-t_1^3).\n\\end{align*}\n\n\\begin{hinweis} Immer darauf achten, dass sich die zu integrierende Variable\nvon der unteren und oberen Grenze des Integrals unterscheidet.\n\\end{hinweis}\n\n- \\begin{gather*}\nQ(t_2) = Q(t_1) + I_0(t_2 - t_1) + \\frac{I_1}{3t_1^2}(t_2^3-t_1^3) \n= \\frac{29}{3}\\mathrm{A\\,s} = 9,6\\bar{6}\\mathrm{A\\,s}.\n\\end{gather*}",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-00-002-quadratische_funktion-1-fig-01",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "inline-pstricks",
        "source_asset": null,
        "asset": null,
        "conversion_status": "inline_latex_preserved",
        "alt_text": "Direkt in LaTeX/PSTricks gezeichnete Abbildung zur Aufgabe et1-00-002-quadratische_funktion-1",
        "source_latex": "\\begin{pspicture*}[showgrid=false](-0.8,-0.5)(2.1,1.8)\n\\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(2,1.7)\n\\psplot[algebraic,linecolor=red,linewidth=1pt]{0}{1.7}{0.4*x^2+0.2}\n\\rput[rt](-0.1,-0.1){$0$}\n\\rput[r](-0.1,1.7){$I$}\n\\rput[t](2,-0.1){$t$}\n\\psline{-}(-0.1,0.2)(+0.1,0.2)\n\\rput[r](-0.15,0.2){$I_0$}\n\\psline{-}(-0.1,1.0)(+0.1,1.0)\n\\rput[r](-0.15,1.0){$I_0+I_1$}\n\\psline{-}(1.414,-0.1)(1.414,+0.1)\n\\rput[t](1.414,-0.2){$t_1$}\n\\psline[linestyle=dotted]{-}(0.0,1)(1.414,+1)\n\\psline[linestyle=dotted]{-}(1.414,0.0)(1.414,+1.0)\n\\rput[l](0.2,1.5){\\footnotesize Scheitelpunkt bei $t=0$}\n\\end{pspicture*}"
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v006-c01",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 3",
      "heading": "Herleitung der Grundformel",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw",
      "content": "Ausgangspunkt ist die bekannte Definition der \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=61s}{Stromstärke als zeitliche Änderung der Ladung}:\n\\[\nI(t) = \\frac{dQ}{dt}\n\\]\nUm nun die Ladung aus dem Strom zu berechnen, wird diese Gleichung umgeformt. Dies führt zu einer \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=120s}{infinitesimalen Betrachtung}, bei der die Ladungsänderung dQ in einem unendlich kurzen Zeitintervall dt betrachtet wird:\n\\[\ndQ = I(t) \\cdot dt\n\\]\nUm die gesamte transportierte Ladung in einem Zeitintervall von einem Startzeitpunkt $t_0$ bis zu einem Endzeitpunkt $t$ zu erhalten, müssen die infinitesimalen Ladungsänderungen aufsummiert werden, was durch \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=205s}{Integration} geschieht:\n\\[\n\\int_{Q(t_0)}^{Q(t)} dQ' = \\int_{t_0}^{t} I(t') dt'\n\\]\nDie Auswertung des linken Integrals ergibt $Q(t) - Q(t_0)$. Durch Umstellen erhält man die \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=294s}{zentrale Formel} zur Berechnung der Ladung:\n\\[\nQ(t) = Q(t_0) + \\int_{t_0}^{t} I(t') dt'\n\\]\nHierbei ist:\n\\begin{itemize}\n\t\\item $Q(t)$: Die gesamte Ladung, die bis zum Zeitpunkt $t$ transportiert wurde.\n\t\\item $Q(t_0)$: Die Anfangsladung, die bereits bis zum Zeitpunkt $t_0$ transportiert wurde.\n\t\\item $\\int_{t_0}^{t} I(t') dt'$: Die Ladung, die zusätzlich im Zeitintervall von $t_0$ bis $t$ transportiert wird. Grafisch entspricht dieser Term der \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=367s}{Fläche unter der Strom-Zeit-Kurve} im Intervall $[t_0, t]$.\n\\end{itemize}"
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