skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/0.8.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "0.8",
    "chapter_number": 0,
    "chapter": "Voraussetzungen",
    "title": "Größengleichungen",
    "question": "Bei einer physikalischen Gleichung müssen Dimension und Maßeinheit der rechten und linken Seite übereinstimmen.\n\n- Gegeben ist die Gleichung $s=\\dfrac{1}{2}gt^2$. Bestimmen Sie die Dimension und Maßeinheit von $g$.\n\n- Überprüfen Sie die Gleichung $\\dfrac{1}{2}mv^2=mgh$ hinsichtlich Dimension und Maßeinheit.\n\n- Drücken Sie die Einheit Volt durch SI-Basiseinheiten aus. Verwenden Sie dazu die Gleichung $U\\cdot I\\cdot t=m\\cdot g\\cdot h$.",
    "short_solution": "",
    "solution_path": "- $s=\\dfrac{1}{2}gt^2 \\rightarrow g=\\dfrac{2s}{t^2} \\rightarrow \\mathrm{dim}(g)=\\dfrac{\\mathrm{dim}(s)}{\\mathrm{dim}(t^2)}=\\dfrac{\\mathrm{L}}{\\mathrm{T}^2}$, $\\left[g\\right]=\\dfrac{\\left[s\\right]}{\\left[t^2\\right]}=\\dfrac{m}{s^2}$\n\n- Überprüfung der Dimension:\n\\begin{align*}\n\\dfrac{1}{2}mv^2 &= mgh\n\n\\mathrm{dim}(m)\\cdot \\mathrm{dim}(v^2) &= \\mathrm{dim}(m) \\cdot \\mathrm{dim}(g) \\cdot \\mathrm{dim}(h) \n\n\\mathrm{M}\\cdot \\left(\\dfrac{\\mathrm{L}}{\\mathrm{T}}\\right)^2 &= \\mathrm{M}\\cdot \\dfrac{\\mathrm{L}}{\\mathrm{T}^2}\\cdot \\mathrm{L}\n\n\\dfrac{\\mathrm{M}\\mathrm{L}^2}{\\mathrm{T}^2} &= \\dfrac{\\mathrm{M}\\mathrm{L}^2}{\\mathrm{T}^2}\n\\end{align*}\n\nÜberprüfung der Maßeinheit:\n\\begin{align*}\n\\dfrac{1}{2}mv^2 &= mgh\n\n\\left[m\\right]\\cdot \\left[v^2\\right] &=\\left[m\\right] \\cdot\\left[g\\right] \\cdot \\left[h\\right] \n\n\\mathrm{kg}\\cdot \\left(\\dfrac{\\mathrm{m}}{\\mathrm{s}}\\right)^2 &= \\mathrm{kg}\\cdot \\dfrac{\\mathrm{m}}{\\mathrm{s}^2}\\cdot \\mathrm{m}\n\n\\dfrac{\\mathrm{kg}\\mathrm{m}^2}{\\mathrm{s}^2} &= \\dfrac{\\mathrm{kg}\\mathrm{m}^2}{\\mathrm{s}^2}\n\\end{align*}\n\n- $U\\cdot I\\cdot t=m\\cdot g\\cdot h \\rightarrow U=\\dfrac{m \\cdot g \\cdot h}{I \\cdot t} \\rightarrow \\mathrm{V=\\dfrac{kg \\cdot \\frac{m}{s^2}\\cdot m}{A \\cdot s}}= \\mathrm{\\dfrac{kg m^2}{A s^3}}$",
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v002-c01",
      "lecture_chapter": "0.2",
      "video_title": "Kap 0.2 Rechnen mit physikalischen Größen",
      "heading": "Größengleichungen",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=OfQSOwpVU0Y",
      "content": "Größengleichungen sind die bekannte Form von Formeln, die physikalische Größen in Beziehung setzen \\href{https://www.youtube.com/watch?v=OfQSOwpVU0Y&t=52s}{[00:00:52]}. Sie verbinden die Größen an sich, unabhängig von spezifischen Einheiten.\n\nAls Beispiel wird die Berechnung eines Weges \\( s \\) aus Geschwindigkeit \\( v \\) und Zeit \\( t \\) verwendet \\href{https://www.youtube.com/watch?v=OfQSOwpVU0Y&t=71s}{[00:01:11]}:\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\textbf{Gegeben:} Geschwindigkeit \\( v = 5 \\, \\frac{\\text{km}}{\\text{h}} \\) und Zeit \\( t = 4 \\, \\text{s} \\).\n\t\\item \\textbf{Gesucht:} Der Weg \\( s \\) in der Einheit Meter (\\text{m}).\n\t\\item \\textbf{Lösungsweg:} Die verwendete Größengleichung lautet \\( s = v \\cdot t \\) \\href{https://www.youtube.com/watch?v=OfQSOwpVU0Y&t=122s}{[00:02:02]}.\n\\end{itemize}\nEin Problem bei der direkten Anwendung ist, dass die Einheiten nicht zusammenpassen (\\(\\text{km/h}\\) und \\(\\text{s}\\)). Daher müssen die Einheiten vor der Berechnung umgerechnet werden, was als Nachteil dieser Methode dargestellt wird \\href{https://www.youtube.com/watch?v=OfQSOwpVU0Y&t=169s}{[00:02:49]}.\n\nDie Umrechnung wird schrittweise gezeigt:\n\\[ s = 5 \\, \\frac{\\text{km}}{\\text{h}} \\cdot 4 \\, \\text{s} = 5 \\cdot \\frac{10^3 \\, \\text{m}}{3600 \\, \\text{s}} \\cdot 4 \\, \\text{s} \\approx 5,56 \\, \\text{m} \\]\nDas Ergebnis ist, dass der zurückgelegte Weg 5,56 Meter beträgt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=OfQSOwpVU0Y&t=212s}{[00:03:32]}."
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