skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.13.json

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    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Knoten- und  Maschengleichungen",
    "question": "\\mpBR{8.5cm}{\nWie groß sind der Strom $I$ und die Spannungen $U_0$ und $U_1$ in der nebenstehenden Schaltung?\n\n}\n{\n\n\\psMdC{0,7V}{0,7\\mathrm{V}}\n\\psMdC{10mA}{10\\mathrm{mA}}\n\\psMdL{15V}{15\\mathrm{V}}\n\\psMsR{U_0}\\psMsC{I}\\psMsR{U_1}\n\\psTdC{Uq}{$U_\\mathrm{q}$}\n\\psTdC{Zweipol}{ Schaltung}\n\\psTdC{1}{ 1}\n\\psTdC{2}{ 2}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-013-knoten_und_maschengleichungen-1: Knoten und Maschengleichungen 1](assets/et1-01-013-knoten_und_maschengleichungen-1/01-Knoten_und_Maschengleichungen_1.png)\n\n}\n\n\\psMdC{0,7V}{0,7\\mathrm{V}}\n\\psMdC{10mA}{10\\mathrm{mA}}\n\\psMdL{15V}{15\\mathrm{V}}\n\\psMsR{U_0}\\psMsR{U_1}\n\\psTsC{Zweipol}",
    "short_solution": "",
    "solution_path": "Allgemein: $ \\sum\\limits_\\mu I_\\mu = 0 \\sum\\limits_\\nu U_\\nu = 0$\n\nAus der Schnittmengengleichung folgt: \n\\[\nI = 10\\mathrm{mA}\n\\]\nAus dem Maschensatz folgt:\n\\[\nU_{0} = U_{1} = 15\\mathrm{V} - 1,4\\mathrm{V} = 13,6\\mathrm{V}\n\\]",
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      "video_title": "Kap. 1.3 Elektrische Spannung - Teil 2",
      "heading": "Allgemeine Formulierung des Maschensatzes",
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      "content": "Beim Umlauf in einer Masche ist die Summe aller Spannungen null. Der Umlaufsinn wird willkürlich festgelegt (z.B. im Uhrzeigersinn).\n\\[ \\sum_{k} U_k = 0 \\]\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=8o95G_-hbtE&t=685s}{[00:11:25]}\n\nSpannungen, deren Zählpfeile in Richtung des Umlaufsinns zeigen, gehen positiv in die Summe ein. Spannungen, deren Zählpfeile entgegen der Richtung des Umlaufsinns zeigen, gehen negativ in die Summe ein. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=8o95G_-hbtE&t=785s}{[00:13:05]}"
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      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Ladungserhaltung und der Knotensatz",
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      "content": "In stationären Systemen, wie sie in diesem Semester vorwiegend betrachtet werden, gilt die Ladungserhaltung. Das bedeutet, die Ladungsmenge Q innerhalb eines Volumens ist konstant ($Q = const.$) \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=227s}{[03:47]}. Daraus folgt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung null ist:\n\\begin{equation*}\n\t\\frac{dQ}{dt} = 0\n\\end{equation*}\nSetzt man dies in die Kontinuitätsgleichung ein, ergibt sich, dass der zufließende Strom gleich dem abfließenden Strom sein muss: $I_{zu} = I_{ab}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=269s}{[04:29]}.\n\nDiese Betrachtung lässt sich verallgemeinern. Statt nur eines Zu- und Abflusses kann man eine Hülle mit beliebig vielen Strömen $I_k$ betrachten. Für einen unendlich klein gedachten Punkt in einem Netzwerk, einen sogenannten Knoten, besagt der Knotensatz, dass die Summe aller Ströme, die in diesen Knoten hinein- oder aus ihm herausfließen, null sein muss \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=457s}{[07:37]}. Dies ist auch als das 1. Kirchhoffsche Gesetz bekannt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=589s}{[09:49]}.\n\\begin{equation*}\n\t\\sum_{k=1}^{n} I_k = 0\n\\end{equation*}\nDabei gilt die Konvention: Zufließende Ströme werden positiv und abfließende Ströme negativ gezählt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=550s}{[09:10]}. Für einen beispielhaften Knoten K mit vier Strömen, bei dem $I_1$ und $I_4$ zufließen und $I_2$ und $I_3$ abfließen, lautet die Gleichung:\n\\begin{equation*}\n\tI_1 - I_2 - I_3 + I_4 = 0\n\\end{equation*}"
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