skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.15.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "1.15",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Knoten- und  Maschengleichungen",
    "question": "In einem Wechselspannungsverstärker werden die angegebenen, auf Masse bezogenen Spannungen gemessen.\n\n- Berechnen Sie die Ströme $I_1$ bis $I_7$ und die auf Masse bezogene Spannung $U_4$.\n\n- Überprüfen Sie zahlenmäßig den Maschensatz für die gekennzeichnete Masche $1$.\n\n\\psMsC{I=0}\\psMdC{12V}{12\\mathrm{V}}\\psMsC{1}\n\\psMsL{I_1}\\psMsL{I_2}\\psMsL{I_3}\\psMsL{I_4}\\psMsL{I_5}\n\\psMsC{I_6}\\psMsC{I_7}\n\\psMdL{32kOhm}{51\\mathrm{k}\\Omega}\\psMdL{4,65kOhm}{9,1\\mathrm{k}\\Omega}\\psMdL{5kOhm}{2\\mathrm{k}\\Omega}\n\\psMdL{0,5kOhm}{1\\mathrm{k}\\Omega}\\psMdL{2kOhm}{1,1\\mathrm{k}\\Omega}\n\\psMdL{1,7V}{1,69\\mathrm{V}}\\psMdL{1V}{0,99\\mathrm{V}}\n\\psMdR{7V}{U_4}\\psMdR{2,7V}{2,9\\mathrm{V}}\\psMdR{2,02V}{2,2\\mathrm{V}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-015-knoten_und_maschengleichungen-3: Knoten und Maschengleichungen 3](assets/et1-01-015-knoten_und_maschengleichungen-3/01-Knoten_und_Maschengleichungen_3.png)",
    "short_solution": "$I_1=10\\mathrm{\\mu A}$, $I_2=1\\mathrm{mA}$, $I_3=0,99\\mathrm{mA}$, $I_4=1,99\\mathrm{mA}$, $I_5=2\\mathrm{mA}$, $I_6=20\\mathrm{\\mu A}$, $I_7=2,99\\mathrm{mA}$, $U_4=8,02\\mathrm{V}$",
    "solution_path": "- Allgemein: Ansatz für eine Masche aus dem Widerstand $R$ und zwei bekannten Spannungen $U_1$ und $U_2$ gegen einen gemeinsamen Bezugspunkt:\n\n\\psMsR{U_1}\n\\psMsL{U_2}\n\\psMsC{R}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-015-knoten_und_maschengleichungen-3: Knoten und Maschengleichungen 3 w1](assets/et1-01-015-knoten_und_maschengleichungen-3/02-Knoten_und_Maschengleichungen_3_w1.png)\n\n\\[\n- U_1 + IR + U_2 = 0 \\Rightarrow I = \\frac{U_1 - U_2}{R}\n\\]\n\\[\n\\Rightarrow I_1 = 10\\mathrm{\\mu A}, I_2 = 1\\mathrm{mA}, I_3 = 0,99\\mathrm{mA}, I_5 = 2\\mathrm{mA}\n\\]\n\\[\nI_4=\\frac{12\\mathrm{V}-U_4}{2\\mathrm{k}\\Omega}\n\\]\n\n\\mpBR{6.0cm}{\nMit der Schnittmengengleichung gilt: \n\\[\nI_6 = I_1 + I_2 - I_3 = 20\\mathrm{\\mu A}\n\\]\nanalog gilt\n\\[\nI_4 = I_1 + I_5 - I_6 = 1,99\\mathrm{mA}\n\\]\n\n}{\n\n\\psMsC{I_1}\n\\psMsR{I_2}\n\\psMsR{I_3}\n\\psMsC{I_6}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-015-knoten_und_maschengleichungen-3: Knoten und Maschengleichungen 3 w2](assets/et1-01-015-knoten_und_maschengleichungen-3/03-Knoten_und_Maschengleichungen_3_w2.png)\n\n}\n\n\\mpBR{6.0cm}{\nMit der Knotengleichung gilt: \n\\[\nI_7 = I_2 + I_4 = 2,99\\mathrm{mA}\n\\]\n\\[\nU_4=12\\mathrm{V}-2\\mathrm{k}\\Omega \\cdot I_4 = 8,02\\mathrm{V}\n\\]\n}{\n\n\\psMsC{I_7}\n\\psMsL{I_4}\n\\psMsL{I_2}\n\\psMsL{I_1}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-015-knoten_und_maschengleichungen-3: Knoten und Maschengleichungen 3 w3](assets/et1-01-015-knoten_und_maschengleichungen-3/04-Knoten_und_Maschengleichungen_3_w3.png)\n\n}\n\n\\hinw{Zur Übung sollte die Probe mit den Kirchhoffschen Gleichungen durchgeführt werden.}\n\n- Maschensatz für Masche 1, negativer Umlaufsinn: \n\\[\n(I_4 \\cdot 2\\mathrm{k}\\Omega) + (U_4 - 2,9\\mathrm{V}) - (I_2 \\cdot 9,1\\mathrm{k}\\Omega) = 0\n\\]\n\\[\n(1,99\\mathrm{mA} \\cdot 2\\mathrm{k}\\Omega) + 5,12\\mathrm{V} - (1\\mathrm{mA} \\cdot 9,1\\mathrm{k}\\Omega) = 3,98\\mathrm{V} + 5,12\\mathrm{V} - 9,1\\mathrm{V} = 0 \n\\]",
    "figures": [
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v007-c02",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Ladungserhaltung und der Knotensatz",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s",
      "content": "In stationären Systemen, wie sie in diesem Semester vorwiegend betrachtet werden, gilt die Ladungserhaltung. Das bedeutet, die Ladungsmenge Q innerhalb eines Volumens ist konstant ($Q = const.$) \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=227s}{[03:47]}. Daraus folgt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung null ist:\n\\begin{equation*}\n\t\\frac{dQ}{dt} = 0\n\\end{equation*}\nSetzt man dies in die Kontinuitätsgleichung ein, ergibt sich, dass der zufließende Strom gleich dem abfließenden Strom sein muss: $I_{zu} = I_{ab}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=269s}{[04:29]}.\n\nDiese Betrachtung lässt sich verallgemeinern. Statt nur eines Zu- und Abflusses kann man eine Hülle mit beliebig vielen Strömen $I_k$ betrachten. Für einen unendlich klein gedachten Punkt in einem Netzwerk, einen sogenannten Knoten, besagt der Knotensatz, dass die Summe aller Ströme, die in diesen Knoten hinein- oder aus ihm herausfließen, null sein muss \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=457s}{[07:37]}. Dies ist auch als das 1. Kirchhoffsche Gesetz bekannt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=589s}{[09:49]}.\n\\begin{equation*}\n\t\\sum_{k=1}^{n} I_k = 0\n\\end{equation*}\nDabei gilt die Konvention: Zufließende Ströme werden positiv und abfließende Ströme negativ gezählt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=550s}{[09:10]}. Für einen beispielhaften Knoten K mit vier Strömen, bei dem $I_1$ und $I_4$ zufließen und $I_2$ und $I_3$ abfließen, lautet die Gleichung:\n\\begin{equation*}\n\tI_1 - I_2 - I_3 + I_4 = 0\n\\end{equation*}"
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v009-c03",
      "lecture_chapter": "1.3",
      "video_title": "Kap. 1.3 Elektrische Spannung - Teil 2",
      "heading": "Allgemeine Formulierung des Maschensatzes",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=8o95G_-hbtE",
      "content": "Beim Umlauf in einer Masche ist die Summe aller Spannungen null. Der Umlaufsinn wird willkürlich festgelegt (z.B. im Uhrzeigersinn).\n\\[ \\sum_{k} U_k = 0 \\]\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=8o95G_-hbtE&t=685s}{[00:11:25]}\n\nSpannungen, deren Zählpfeile in Richtung des Umlaufsinns zeigen, gehen positiv in die Summe ein. Spannungen, deren Zählpfeile entgegen der Richtung des Umlaufsinns zeigen, gehen negativ in die Summe ein. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=8o95G_-hbtE&t=785s}{[00:13:05]}"
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