skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.16.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "1.16",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Schaltungsberechnung",
    "question": "In der nebenstehenden Schaltung zeigt das Voltmeter die Spannung $U = 12\\mathrm{V}$ und das\nAmperemeter den Strom $I = 1,25 \\mathrm{mA}$ an.\n\n\\mpBR{8.0cm}{\n\n- Welche Werte ergeben sich für die Spannung $U_\\mathrm{q}$ und den Widerstand $R_\\mathrm{a}$, wenn die Messinstrumente näherungsweise als ideal angenommen werden (Voltmeter $R_\\mathrm{V} \\rightarrow \\infty$, Amperemeter $R_\\mathrm{A} = 0$)?\n\n- Wie groß sind $U_\\mathrm{q}$ und $R_\\mathrm{a}$ tatsächlich für $R_\\mathrm{V} = 240 \\mathrm{k}\\Omega$ und $R_\\mathrm{A} = 80\\Omega$?\n\n}\n{\n\n\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\n\\psTdC{A}{A}\n\\psTdC{V}{V}\n\\psMdC{R_i=1kOhm}{R_\\mathrm{i}=720\\Omega}\n\\psTdL{R_a}{$R_\\mathrm{a}$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-016-schaltungsberechnung-1: Schaltungsberechnung 1](assets/et1-01-016-schaltungsberechnung-1/01-Schaltungsberechnung_1.png)\n\n}",
    "short_solution": "a) $U_\\mathrm{q}=12,9\\mathrm{V}$, $R_\\mathrm{a}=9,6\\mathrm{k}\\Omega$\n\nb) $U_\\mathrm{q}=13\\mathrm{V}$, $R_\\mathrm{a}=10\\mathrm{k}\\Omega$",
    "solution_path": "- Maschensatz:\n\n\\psMdR{U_q}{U_\\mathrm{q}}\n\\psMdC{R_i=1kOhm}{R_\\mathrm{i}=720\\Omega}\n\\psMdC{R_A}{R_\\mathrm{A}=0}\n\\psMdC{R_V}{R_\\mathrm{V} \\to \\infty}\n\\psMdL{R_a}{R_\\mathrm{a}}\n\\psMsL{U}\n\\psMsC{I}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-016-schaltungsberechnung-1: Schaltungsberechnung 1 w1](assets/et1-01-016-schaltungsberechnung-1/02-Schaltungsberechnung_1_w1.png)\n\n\\[U_\\mathrm{q} = I R_\\mathrm{i} + U, R_\\mathrm{a} = \\frac{U}{I}, \\Rightarrow U_\\mathrm{q} = 12,9\\mathrm{V}, R_\\mathrm{a} = 9,6\\mathrm{k}\\Omega\n\\]\n\n- ~\n\n\\psMdR{U_q}{U_\\mathrm{q}}\n\\psMdC{R_i=1kOhm}{R_i=720\\Omega}\n\\psMdC{R_A}{R_\\mathrm{A}}\n\\psMdL{R_V}{R_\\mathrm{V}}\n\\psMdL{R_a}{R_\\mathrm{a}}\n\\psMsL{U}\n\\psMsC{I}\n\\psMdC{Ia}{I_\\mathrm{a}}\n\\psMdC{Iv}{I_\\mathrm{V}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-016-schaltungsberechnung-1: Schaltungsberechnung 1 w2](assets/et1-01-016-schaltungsberechnung-1/03-Schaltungsberechnung_1_w2.png)\n\nKnotensatz: $$ I=I_\\mathrm{V}+I_\\mathrm{a}, R_a = \\frac{U}{I_\\mathrm{a}}=\\frac{U}{I-I_\\mathrm{V}}=\\frac{U}{I-\\frac{U}{R_\\mathrm{V}}}=10\\mathrm{k}\\Omega $$\n\nMaschensatz:\n\\[\n- U_\\mathrm{q} + I (R_\\mathrm{i} + R_\\mathrm{A}) + U = 0, U_\\mathrm{q} = I (R_\\mathrm{i} + R_\\mathrm{A}) + U = 13\\mathrm{V}\n\\]",
    "figures": [
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-016-schaltungsberechnung-1: Schaltungsberechnung 1 w1"
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      "lecture_chapter": "1.3",
      "video_title": "Kap. 1.3 Elektrische Spannung - Teil 2",
      "heading": "Allgemeine Formulierung des Maschensatzes",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=8o95G_-hbtE",
      "content": "Beim Umlauf in einer Masche ist die Summe aller Spannungen null. Der Umlaufsinn wird willkürlich festgelegt (z.B. im Uhrzeigersinn).\n\\[ \\sum_{k} U_k = 0 \\]\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=8o95G_-hbtE&t=685s}{[00:11:25]}\n\nSpannungen, deren Zählpfeile in Richtung des Umlaufsinns zeigen, gehen positiv in die Summe ein. Spannungen, deren Zählpfeile entgegen der Richtung des Umlaufsinns zeigen, gehen negativ in die Summe ein. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=8o95G_-hbtE&t=785s}{[00:13:05]}"
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    {
      "chunk_id": "get-2425-v007-c02",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Ladungserhaltung und der Knotensatz",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s",
      "content": "In stationären Systemen, wie sie in diesem Semester vorwiegend betrachtet werden, gilt die Ladungserhaltung. Das bedeutet, die Ladungsmenge Q innerhalb eines Volumens ist konstant ($Q = const.$) \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=227s}{[03:47]}. Daraus folgt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung null ist:\n\\begin{equation*}\n\t\\frac{dQ}{dt} = 0\n\\end{equation*}\nSetzt man dies in die Kontinuitätsgleichung ein, ergibt sich, dass der zufließende Strom gleich dem abfließenden Strom sein muss: $I_{zu} = I_{ab}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=269s}{[04:29]}.\n\nDiese Betrachtung lässt sich verallgemeinern. Statt nur eines Zu- und Abflusses kann man eine Hülle mit beliebig vielen Strömen $I_k$ betrachten. Für einen unendlich klein gedachten Punkt in einem Netzwerk, einen sogenannten Knoten, besagt der Knotensatz, dass die Summe aller Ströme, die in diesen Knoten hinein- oder aus ihm herausfließen, null sein muss \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=457s}{[07:37]}. Dies ist auch als das 1. Kirchhoffsche Gesetz bekannt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=589s}{[09:49]}.\n\\begin{equation*}\n\t\\sum_{k=1}^{n} I_k = 0\n\\end{equation*}\nDabei gilt die Konvention: Zufließende Ströme werden positiv und abfließende Ströme negativ gezählt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=550s}{[09:10]}. Für einen beispielhaften Knoten K mit vier Strömen, bei dem $I_1$ und $I_4$ zufließen und $I_2$ und $I_3$ abfließen, lautet die Gleichung:\n\\begin{equation*}\n\tI_1 - I_2 - I_3 + I_4 = 0\n\\end{equation*}"
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