skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.26.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "1.26",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "KFZ-Akku",
    "question": "Beim Anlassvorgang eines PKW ist der Stromverlauf durch den Anlasser durch die in nebenstehendem Diagramm dargestellte Zeitfunktion $I(t)=I_1\\cdot \\mathrm{exp}(-t/\\tau)+I_2$ beschrieben.\nDie Spannung sei während des Anlassvorganges konstant $U = 12 \\mathrm{V}$.\n\n- Bestimmen Sie die Konstanten $I_1$, $I_2$ und $\\tau$.\n\n- Welche Energie entnimmt der Anlasser während der Anlasszeit von $t_\\mathrm{a} = 3 \\mathrm{s}$ dem Akkumulator?\n\n- Geben Sie den Zeitverlauf der aus dem Akkumulator entnommenen Leistung an.\n\n- Wieviele Anlassvorgänge sind bei einem halbvollen Akkumulator mit einer Nennkapazität von $42 \\Ah$ möglich?\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-026-kfz_akku-2: KFZ Akku 2](assets/et1-01-026-kfz_akku-2/01-KFZ_Akku_2.png)",
    "short_solution": "a) $I_1=70\\mathrm{A}$; \\: $I_2=110\\mathrm{A}$; \\: $\\tau=0,2\\mathrm{s}$ \\:\\: b) $ W(t_\\mathrm{a})=4128 \\mathrm{W\\,s} $, \\:\\: d) $ N \\approx 220 $",
    "solution_path": "- $I(t) = I_1 \\exp (\\frac{- t}{\\tau }) + I_2$, \n$I(\\infty) = I_{2} = 110 \\mathrm{A}$, \n$I(0) = I_{1} + I_{2}$ $\\Rightarrow$ $I_{1} = 70 \\mathrm{A}$,\n\n$\\left. \\dfrac{\\mathrm{d}I}{\\mathrm{d}t}\\right|_{t=0} = I_1\\cdot \\left(-\\frac{1}{\\tau} \\right)\\cdot \\mathrm{e}^0 = - \\dfrac{180\\mathrm{A}-110\\mathrm{A}}{0,2\\mathrm{s}} $, \n$\\tau=0,2\\mathrm{s}$\n\n- \\begin{align*}\nW_a &= U\\int\\limits_0^{t_a} I(t) \\,\\mathrm{d}t =U \\int\\limits_0^{t_a} \\left( I_1 e^{\\frac{-t}{\\tau }} + I_2 \\right) \\,\\mathrm{d}t, \n\nW_a &= UI_1 \\tau (1 - \\exp(\\frac{-t_a}{\\tau})) + UI_2 t_a, \n\nW_a &= 12 \\mathrm{V} \\cdot 70 \\mathrm{A} \\cdot 0,2 \\mathrm{s} (1 - \\exp(-15)) + 12 \\mathrm{V} \\cdot 110 \\mathrm{A} \\cdot 3 \\mathrm{s}, \n\n&= 168 \\mathrm{W\\,s} + 3960 \\mathrm{W\\,s} = 4128 \\mathrm{W\\,s}.\n\\end{align*}\n\n- $P(t) = U I(t)$, Zeitverlauf proportional zu $I(t)$.\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-026-kfz_akku-2: KFZ Akku 2 w1](assets/et1-01-026-kfz_akku-2/02-KFZ_Akku_2_w1.png)\n\n- $Q = 0,5 \\cdot 42 \\Ah = 21 \\Ah$, \n$W = U Q = 252 \\Wh = 0,907 \\cdot 10^6 \\mathrm{W\\,s}$\n\nZahl der Startvorgänge: $N=\\frac{W}{W_a} \\approx 220$.",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-01-026-kfz_akku-2-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "KFZ_Akku_2.eps",
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      },
      {
        "id": "et1-01-026-kfz_akku-2-fig-02",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "KFZ_Akku_2_w1.eps",
        "source_asset": "1-Grundbegriffe/bilder/KFZ_Akku_2_w1.eps",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-026-kfz_akku-2: KFZ Akku 2 w1"
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v011-c01",
      "lecture_chapter": "1.4",
      "video_title": "Kap. 1.4 Energie und Leistung - Teil 2",
      "heading": "Elektrische Leistung und Energie",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=ZjHEbkvaVtQ",
      "content": "Die elektrische Leistung P ist definiert als das Produkt aus Spannung U und Stromstärke I:\n\\begin{equation*}\n\tP = U \\cdot I\n\\end{equation*}\nDie elektrische Energie W berechnet sich aus dem Integral der Leistung über die Zeit:\n\\begin{equation*}\n\tW(t) = \\int_{t_0}^{t} P(t') dt' = \\int_{t_0}^{t} U(t') \\cdot I(t') dt'\n\\end{equation*}"
    }
  ]
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