skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.33.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "1.33",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Effektivwert",
    "question": "Berechnen Sie für die in den Bildern a) bis c) dargestellten, periodischen\nZeitfunktionen $u(t)$ den arithmetischen Mittelwert $\\overline u$ und den Effektivwert $U$.\n\n\\begin{minipage}[t]{0.3\\textwidth}\na)\n\n\\psMdR{Ud}{\\widehat{U}}\n\\psMdR{-Ud}{-\\widehat{U}}\n\\psMsR{0}\n\\psMsL{T}\\psMsL{2T}\n\\psMsC{t}\\psMsR{u}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-033-effektivwert-1: Effektivwert 1 a](assets/et1-01-033-effektivwert-1/01-Effektivwert_1_a.png)\n\n\\end{minipage}\n\\hfill\n\\begin{minipage}[t]{0.3\\textwidth}\nb)\n\n\\psMdR{Ud}{\\widehat{U}}\n\\psMsC{0}\\psMsC{T}\\psMsC{2T}\n\\psMsC{t}\\psMsR{u}\n\\psTsL{quadratische Parabel}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-033-effektivwert-1: Effektivwert 1 b](assets/et1-01-033-effektivwert-1/02-Effektivwert_1_b.png)\n\n\\end{minipage}\n\\hfill\n\\begin{minipage}[t]{0.3\\textwidth}\nc)\n\\center\n\\psMdR{Ud}{\\widehat{U}}\n\\psMsC{0}\\psMsC{T}\\psMsC{2T}\n\\psMsC{t}\\psMsR{u}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-033-effektivwert-1: Effektivwert 1 c](assets/et1-01-033-effektivwert-1/03-Effektivwert_1_c.png)\n\n\\end{minipage}",
    "short_solution": "a) $\\overline{u} = 0$,\\; $U = \\dfrac{\\widehat{U}}{\\sqrt{3}}$; \nb) $\\overline{u} = \\dfrac{\\widehat{U}}{3}$,\\;\\; \n$U = \\dfrac{\\widehat{U}}{\\sqrt{5}}$; \nc) $\\overline{u} = \\dfrac{\\widehat{U}}{2}$,\\;\\; \n$U = \\dfrac{\\widehat{U}}{\\sqrt{3}}$",
    "solution_path": "- $0\\leq t \\leq T: $\n\n\\[ u(t)=\\hat{U}\\left(\\frac{2t}{T}-1 \\right) \\Rightarrow \\bar{u}=0\n\\]\n\\[ U^2=\\frac{1}{T}\\int\\limits_0^T \\hat{U}^2 \\left(\\frac{2t}{T}-1 \\right)^2\\mathrm{d}t =\\frac{\\hat{U}^2}{T}\\int\\limits_0^T\\left(\\frac{4t^2}{T^2}-\\frac{4t}{T}+1 \\right)\\mathrm{d}t =\\frac{\\hat{U}^2}{T}\\left(\\frac{4}{3}T-2T+T \\right) \n\\]\n\\[U^2=\\frac{\\hat{U}^2}{3}\n\\]\noder \n\\[ U^2=\\frac{1}{T}\\int\\limits_0^T \\hat{U}^2 \\left(\\frac{2t}{T}-1 \\right)^2\\mathrm{d}t =\\frac{\\hat{U}^2}{T}\\cdot \\frac{1}{3}\\cdot\\frac{T}{2} \\left.\\left(\\frac{2t}{T}-1 \\right)^3\\right|_0^T =\\frac{\\hat{U}^2}{6}(1+1) =\\frac{\\hat{U}^2}{3}\n\\]\n$\\Rightarrow U=\\dfrac{\\hat{U}}{\\sqrt{3}}$\n\n- $0\\leq t \\leq T: $\n\\[ u(t)=\\frac{\\hat{U}t^2}{T^2} \\Rightarrow \\bar{u}=\\frac{1}{T}\\int\\limits_0^T \\frac{\\hat{U}t^2}{T^2} \\mathrm{d}t=\\frac{\\hat{U}}{3}\n\\]\n\\[U^2=\\frac{1}{T}\\int\\limits_0^T \\hat{U}^2 \\left(\\frac{t}{T} \\right)^4 \\mathrm{d}t=\\frac{\\hat{U}^2 T}{5T}=\\frac{\\hat{U}^2}{5} \\Rightarrow U=\\frac{\\hat{U}}{\\sqrt{5}}\n\\]\n\n- $0\\leq t \\leq T: $\n\\[ u(t)=\\hat{U}\\left(1-\\frac{t}{T} \\right) \\Rightarrow \\bar{u}=\\frac{\\hat{U}}{2}\n\\]\n\\[ U^2=\\frac{1}{T}\\int\\limits_0^T \\hat{U}^2\\left(1-\\frac{t}{T} \\right)^2 \\mathrm{d}t= \\frac{\\hat{U}^2}{T}\\int\\limits_0^T \\left(1-\\frac{2t}{T}+\\frac{t^2}{T^2} \\right) \\mathrm{d}t =\\frac{\\hat{U}^2}{T}\\left(T-T+\\frac{T}{3} \\right)\n\\]\n\\[U^2=\\frac{\\hat{U}^2}{3}\n\\]\noder\n\\[U^2=\\frac{1}{T}\\int\\limits_0^T \\hat{U}^2\\left(1-\\frac{t}{T} \\right)^2 \\mathrm{d}t=\\frac{\\hat{U}^2}{T}\\cdot \\frac{1}{3}\\cdot (-T)\\cdot \\left.\\left(1-\\frac{t}{T} \\right)^3\\right|_0^T = - \\frac{\\hat{U}^2}{3}(0-1)=\\frac{\\hat{U}^2}{3}\n\\]\n$\\Rightarrow U=\\dfrac{\\hat{U}}{\\sqrt{3}}$",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-01-033-effektivwert-1-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
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      },
      {
        "id": "et1-01-033-effektivwert-1-fig-02",
        "role": "aufgabenstellung",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-033-effektivwert-1: Effektivwert 1 b"
      },
      {
        "id": "et1-01-033-effektivwert-1-fig-03",
        "role": "aufgabenstellung",
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-033-effektivwert-1: Effektivwert 1 c"
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v012-c03",
      "lecture_chapter": "1.5",
      "video_title": "Kap. 1.5 Periodische Zeitfunktionen",
      "heading": "Weitere Kenngrößen",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk",
      "content": "\\subsubsection*{Arithmetischer Mittelwert (Gleichwert)}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=317s}{[00:05:17]} Der arithmetische Mittelwert, auch Gleichwert genannt, wird wie folgt berechnet:\n$\\bar{x} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} x(t) dt$\n\n\\subsubsection*{Gleichrichtwert}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=463s}{[00:07:43]} Der Gleichrichtwert ist der Mittelwert des Betrags der Funktion:\n$\\overline{|x|} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} |x(t)| dt$\n\n\\subsubsection*{Effektivwert (Quadratischer Mittelwert)}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=563s}{[00:09:23]} Der Effektivwert eines Stromes (oder einer Spannung) entspricht dem Wert eines Gleichstroms (oder einer Gleichspannung), der an einem ohmschen Widerstand die gleiche mittlere Leistung umsetzt wie die zeitveränderliche Größe.\n$U = \\sqrt{\\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} u^2(t) dt}$\n$I = \\sqrt{\\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t) dt}$\n\n\\subsubsection*{Leistung}\n$P = \\overline{p(t)} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} p(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t)R dt = I^2R$\n$P = \\overline{p(t)} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} p(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} \\frac{u^2(t)}{R} dt = \\frac{U^2}{R}$"
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