skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.34.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "1.34",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Drehspulinstrument",
    "question": "Ein handelsübliches AC-Voltmeter mit Analoganzeige enthält u.\\;a. einen als ideal anzunehmenden Zweiweggleichrichter und ein Drehspulmesswerk. Bei diesem besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der Anzeige $A$ und dem Gleichrichtwert $\\overline{\\left|u\\right|}$ der Messspannung: $A=k \\overline{\\left|u\\right|}$. Das Voltmeter ist so skaliert, dass für sinusförmige Messspannungen der Effektivwert angezeigt wird.\n\nWelche Spannung zeigt das AC-Voltmeter an\n\n- für symmetrische Wechselspannungen mit dem Spitzenwert $\\hat{U}=10\\mathrm{V}$ und den folgenden Zeitverläufen:\n\n- $\\alpha$): sinusförmig,\n\n- $\\beta$): dreieckförmig,\n\n- $\\gamma$): rechteckförmig,\n\n- für eine Gleichspannung $U=10\\mathrm{V}$.",
    "short_solution": "a) $\\alpha) \\ A_\\mathrm{S}=7,07\\mathrm{V}$ \\:\\: $\\beta) \\ A_\\mathrm{D}=5,55\\mathrm{V} $ \\:\\: $\\gamma) \\ A_\\mathrm{R}=11,1\\mathrm{V} $ \n\nb) $ \\ A_{-}=11,1\\mathrm{V}$",
    "solution_path": "Allgemein gilt für die Anzeige $A$ eines Drehspulinstrumentes mit idealem Zweiweggleichrichter\n\\[ A=k \\overline{\\left|u\\right|} k \\ldots \\text{Korrekturfaktor}, \\overline{\\left|u\\right|} \\ldots \\text{Gleichrichtwert der Messspannung}\n\\]\n\nSpeziell für AC-Multimeter, die vorwiegend zur Messung sinusförmiger Messgrößen eingesetzt werden, ist die Anzeige $A$ in Effektivwerten skaliert. Zum Beispiel für zweiweggleichgerichtete sinusförmige Spannungen gilt:\n\\[A=k\\overline{\\left|u_\\mathrm{S}\\right|}=k\\frac{2\\hat{U}}{\\pi}=U=\\frac{\\hat{U}}{\\sqrt{2}} \\Rightarrow k=\\frac{\\pi}{2\\sqrt{2}}=1,1107\n\\] \n\nDamit gilt für die Anzeige: $A=1,1107\\cdot \\overline{\\left|u\\right|}$\n\n- Es gilt jeweils:\n\\[\\text{Anzeigewert}=k\\cdot \\text{Gleichrichtwert}\n\\]\n\n- $\\alpha$): Sinus: $\\overline{\\left|u_\\mathrm{S}\\right|}=\\frac{2\\hat{U}}{\\pi}=6,366\\mathrm{V} \\Rightarrow A_\\mathrm{S}=7,07\\mathrm{V} $\n\nEffektivwert: $U_\\mathrm{S}=\\dfrac{\\hat{U}}{\\sqrt{2}}=7,07\\mathrm{V}$\n\n- $\\beta$): Dreieck:\n$\\overline{\\left|u_\\mathrm{D}\\right|}=\\frac{\\hat{U}}{2}=5\\mathrm{V} \\Rightarrow A_\\mathrm{D}=5,55\\mathrm{V} $\n\nEffektivwert: $U_\\mathrm{D}=\\frac{\\hat{U}}{\\sqrt{3}}=5,77\\mathrm{V}$\n\n- $\\gamma$): Rechteck:\n$\\overline{\\left|u_\\mathrm{R}\\right|}=\\hat{U}=10\\mathrm{V} \\Rightarrow A_\\mathrm{R}=11,1\\mathrm{V} $\n\nEffektivwert: $U_\\mathrm{R}=\\hat{U}=10\\mathrm{V}$\n\n- Gleichspannung $U=10\\mathrm{V}$:\n$\\overline{\\left|u_\\mathrm{-}\\right|}=U=10\\mathrm{V} \\Rightarrow A_\\mathrm{-}=11,1\\mathrm{V} $\n\nEffektivwert: $U_\\mathrm{-}=U=10\\mathrm{V}$",
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v012-c03",
      "lecture_chapter": "1.5",
      "video_title": "Kap. 1.5 Periodische Zeitfunktionen",
      "heading": "Weitere Kenngrößen",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk",
      "content": "\\subsubsection*{Arithmetischer Mittelwert (Gleichwert)}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=317s}{[00:05:17]} Der arithmetische Mittelwert, auch Gleichwert genannt, wird wie folgt berechnet:\n$\\bar{x} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} x(t) dt$\n\n\\subsubsection*{Gleichrichtwert}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=463s}{[00:07:43]} Der Gleichrichtwert ist der Mittelwert des Betrags der Funktion:\n$\\overline{|x|} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} |x(t)| dt$\n\n\\subsubsection*{Effektivwert (Quadratischer Mittelwert)}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=beIBPmx_Wsk&t=563s}{[00:09:23]} Der Effektivwert eines Stromes (oder einer Spannung) entspricht dem Wert eines Gleichstroms (oder einer Gleichspannung), der an einem ohmschen Widerstand die gleiche mittlere Leistung umsetzt wie die zeitveränderliche Größe.\n$U = \\sqrt{\\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} u^2(t) dt}$\n$I = \\sqrt{\\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t) dt}$\n\n\\subsubsection*{Leistung}\n$P = \\overline{p(t)} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} p(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t)R dt = I^2R$\n$P = \\overline{p(t)} = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} p(t) dt = \\frac{1}{T} \\int_{t_0}^{t_0+T} \\frac{u^2(t)}{R} dt = \\frac{U^2}{R}$"
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