skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.4.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "1.4",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Strom, Ladung",
    "question": "\\mpBR{7.4cm}{ Im Bild ist die Oszilloskopaufnahme eines\nStromimpulses dargestellt. Bis zum Zeitpunkt $t = 0$ ist dabei\nbereits die Ladung $Q(0) = Q_0 = 1 \\mathrm{A\\,s}$ transportiert worden.\nErmitteln Sie den Ladungsverlauf $Q(t)$\n\n- allgemein,\n\n- mit den Größenwerten $I_0 = 1\\mathrm{A}$, $t_1 = 1\\mathrm{s}$, $t_2 = 2\\mathrm{s}$, $t_3 = 3\\mathrm{s}$ und\n\n- stellen Sie ihn grafisch dar.\n\n}\n{\n\n\\psMdR{I(t)}{I}\n\\psMdR{1A}{I_0}\n\\psMsR{0}\\psMdC{1}{t_1}\\psMdC{2}{t_2}\\psMdC{3}{t_3}\n\\psMdC{t/s}{t}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-004-strom_ladung-1: Strom Ladung 2](assets/et1-01-004-strom_ladung-1/01-Strom_Ladung_2.png)\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-004-strom_ladung-1: Strom Ladung 1](assets/et1-01-004-strom_ladung-1/02-Strom_Ladung_1.png)\n\n}",
    "short_solution": "$Q(0\\mathrm{s})=1\\mathrm{A\\,s} , \nQ(1\\mathrm{s})=1\\mathrm{A\\,s} , \nQ(2\\mathrm{s})=1,5\\mathrm{A\\,s} , \nQ(3\\mathrm{s})=2,5\\mathrm{A\\,s}$",
    "solution_path": "- Allgemein gilt : $Q(t) = Q(t_0) + \\int\\limits_{t_0}^t I(t')\\mathrm{d}t'$\n\n\\begin{align*}\n0 \\le~& t < t_1: & I(t) &= 0 \n\n& & Q(t) &= Q(0) = Q_0 \n\n& & Q(t_1) &= Q_0 \\displaybreak[1]\n\nt_1 \\le~&t < t_2: & I(t) &= \\frac{I_0}{t_2 - t_1} (t - t_1) \n\n& & Q(t) &= Q(t_1) + \\frac{I_0}{t_2 - t_1} \\int\\limits_{t_1}^t (t' - t_1)\\mathrm{d}t' \n\n& & &= Q_0 + \\frac{I_0}{t_2 - t_1} \\left[ \\frac{t'^2}{2} - t't_1 \\right]_{t_1}^t \n\n& & &= Q_0 + \\frac{I_0}{t_2 - t_1} \\left( \\frac{t^2}{2} - t \\cdot t_1 + \\frac{{t_1}^2}{2} \\right) \n\n& & &= Q_0 + \\frac{I_0}{2\\left(t_2 - t_1\\right)} \\left(t - t_1\\right)^2 \n\n& & Q(t_2) &= Q_0 + \\frac{I_0}{2} \\left(t_2 - t_1\\right) \\displaybreak[1]\n\nt_2 \\le~& t < t_3: & I(t) &= I_0 \n\n& & Q(t) &= Q(t_2) + I_0 \\int\\limits_{t_2}^t \\mathrm{d}t' = Q_0 + \\frac{I_0}{2} \\left(t_2 - t_1\\right) + I_0 (t - t_2) \n\n& & & =Q_0 - \\frac{I_0}{2} \\left(t_1 + t_2\\right)+I_0 t\n\n& & Q(t_3) &= Q_0 - \\frac{I_0}{2} \\left(t_1 + t_2\\right) + I_0 t_3 \\displaybreak[1]\n\n& t \\ge t_3: & I(t) &= 0 \n\n& & Q(t) &= Q(t_3)\n\\end{align*}\n\n- \\begin{align*}\n0 \\le~&t < 1\\mathrm{s}: & Q(t) &= Q(0) = Q_0 = 1\\mathrm{A\\,s} \n\n& & Q(t_1) &= Q_0 = 1\\mathrm{A\\,s} \n\n1\\mathrm{s} \\le~& t < 2\\mathrm{s}: & Q(t) &= 1\\mathrm{A\\,s} + \\frac{1}{2} \\left(\\frac{t}{\\mathrm{s}} - 1\\right)^2 \\mathrm{A}\\mathrm{s}\n\n& & Q(t_2) &= 1,5\\mathrm{A\\,s} \n\n2\\mathrm{s} \\le~& t < 3\\mathrm{s}: & Q(t) &= 1,5\\mathrm{A\\,s} + \\left( \\frac{t}{\\mathrm{s}} - 2\\right) \\mathrm{A}\\mathrm{s} \n\n& & Q(t_3) &= 2,5\\mathrm{A\\,s} \n\n&t \\ge 3\\mathrm{s}: & Q(t) &= Q(t_3) = 2,5\\mathrm{A\\,s}\n\\end{align*}\n\n- \n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-004-strom_ladung-1: Strom Ladung 1 w2](assets/et1-01-004-strom_ladung-1/03-Strom_Ladung_1_w2.png)",
    "figures": [
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      },
      {
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-004-strom_ladung-1: Strom Ladung 1"
      },
      {
        "id": "et1-01-004-strom_ladung-1-fig-03",
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-004-strom_ladung-1: Strom Ladung 1 w2"
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  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v006-c01",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 3",
      "heading": "Herleitung der Grundformel",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw",
      "content": "Ausgangspunkt ist die bekannte Definition der \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=61s}{Stromstärke als zeitliche Änderung der Ladung}:\n\\[\nI(t) = \\frac{dQ}{dt}\n\\]\nUm nun die Ladung aus dem Strom zu berechnen, wird diese Gleichung umgeformt. Dies führt zu einer \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=120s}{infinitesimalen Betrachtung}, bei der die Ladungsänderung dQ in einem unendlich kurzen Zeitintervall dt betrachtet wird:\n\\[\ndQ = I(t) \\cdot dt\n\\]\nUm die gesamte transportierte Ladung in einem Zeitintervall von einem Startzeitpunkt $t_0$ bis zu einem Endzeitpunkt $t$ zu erhalten, müssen die infinitesimalen Ladungsänderungen aufsummiert werden, was durch \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=205s}{Integration} geschieht:\n\\[\n\\int_{Q(t_0)}^{Q(t)} dQ' = \\int_{t_0}^{t} I(t') dt'\n\\]\nDie Auswertung des linken Integrals ergibt $Q(t) - Q(t_0)$. Durch Umstellen erhält man die \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=294s}{zentrale Formel} zur Berechnung der Ladung:\n\\[\nQ(t) = Q(t_0) + \\int_{t_0}^{t} I(t') dt'\n\\]\nHierbei ist:\n\\begin{itemize}\n\t\\item $Q(t)$: Die gesamte Ladung, die bis zum Zeitpunkt $t$ transportiert wurde.\n\t\\item $Q(t_0)$: Die Anfangsladung, die bereits bis zum Zeitpunkt $t_0$ transportiert wurde.\n\t\\item $\\int_{t_0}^{t} I(t') dt'$: Die Ladung, die zusätzlich im Zeitintervall von $t_0$ bis $t$ transportiert wird. Grafisch entspricht dieser Term der \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=367s}{Fläche unter der Strom-Zeit-Kurve} im Intervall $[t_0, t]$.\n\\end{itemize}"
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v006-c02",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 3",
      "heading": "Berechnungsbeispiel",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw",
      "content": "Anhand eines \\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=452s}{Beispiels} wird die Anwendung der Formel demonstriert. Gegeben ist ein abschnittsweise definierter Stromverlauf $I(t)$:\n\\[\nI(t) = \n\\begin{cases} \n\t\\frac{I_0}{t_1} \\cdot t & \\text{für } 0 \\le t \\le t_1 \\\\\n\tI_0 & \\text{für } t_1 < t \\le t_2 \\\\\n\t0 & \\text{für } t > t_2 \n\\end{cases}\n\\]\nZusätzlich wird eine Anfangsladung $Q(0) = Q_0$ angenommen. Die Berechnung von $Q(t)$ erfolgt abschnittsweise.\n\n\\subsubsection*{1. Intervall: $0 \\le t \\le t_1$}\nFür diesen Abschnitt wird die Formel direkt angewendet (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=762s}{Lösung für das erste Intervall}):\n\\[\nQ(t) = Q(0) + \\int_{0}^{t} \\frac{I_0}{t_1} t' dt' = Q_0 + \\frac{I_0}{t_1} \\left[ \\frac{t'^2}{2} \\right]_0^t = Q_0 + \\frac{I_0}{2t_1} t^2\n\\]\nDie bis zum Zeitpunkt $t_1$ transportierte Gesamtladung beträgt:\n\\[\nQ(t_1) = Q_0 + \\frac{I_0 \\cdot t_1}{2}\n\\]\n\n\\subsubsection*{2. Intervall: $t_1 < t \\le t_2$}\nAls Anfangsladung für dieses Intervall dient der Wert $Q(t_1)$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=1003s}{Lösung für das zweite Intervall}). Der Strom ist konstant $I_0$:\n\\[\nQ(t) = Q(t_1) + \\int_{t_1}^{t} I_0 dt' = \\left( Q_0 + \\frac{I_0 \\cdot t_1}{2} \\right) + I_0 [t']_{t_1}^t = Q_0 + \\frac{I_0 \\cdot t_1}{2} + I_0(t - t_1)\n\\]\nDie bis zum Zeitpunkt $t_2$ transportierte Gesamtladung ist:\n\\[\nQ(t_2) = Q_0 + \\frac{I_0 \\cdot t_1}{2} + I_0(t_2 - t_1)\n\\]\n\n\\subsubsection*{3. Intervall: $t > t_2$}\nAb dem Zeitpunkt $t_2$ fließt kein Strom mehr ($I(t) = 0$). Daher wird keine weitere Ladung transportiert (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=aAWKwfZZCuw&t=1241s}{Lösung für das dritte Intervall}). Die Ladung bleibt konstant auf dem Wert, der zum Zeitpunkt $t_2$ erreicht wurde:\n\\[\nQ(t) = Q(t_2) \\quad \\text{für } t > t_2\n\\]"
    }
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