skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.7.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "1.7",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Schnittmengengleichung",
    "question": "\\mpBR{8cm}{\nGegeben ist eine Teilschaltung mit zwei integrierten Schaltkreisen.\n\n- Geben Sie für die Ströme $I_\\mathrm{a}$, $I_\\mathrm{b}$, $I_\\mathrm{c}$ und $I_\\mathrm{d}$ die\nSchnittmengengleichung an. \\item Die Werte für die Ströme betragen\n$I_\\mathrm{a}=45\\mathrm{mA}$, $I_\\mathrm{c}=5\\mathrm{mA}$, $I_\\mathrm{d}=-10\\mathrm{mA}$.\n\nWie groß ist $I_\\mathrm{b}$ ?\n\n}\n{\n\n\\psTdC{1}{\\scriptsize{1}}\\psTdC{7}{\\scriptsize{7}}\n\\psTdC{8}{\\scriptsize{8}}\\psTdC{14}{\\scriptsize{14}}\n\\psTdR{I_a}{$I_\\mathrm{a}$}\\psTdR{I_b}{$I_\\mathrm{b}$}\\psTdR{I_c}{$I_\\mathrm{c}$}\\psTdR{I_d}{$I_\\mathrm{d}$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-007-schnittmengengleichung-1: Schnittmengengleichung 1](assets/et1-01-007-schnittmengengleichung-1/01-Schnittmengengleichung_1.png)\n\n}",
    "short_solution": "b) $I_\\mathrm{b}=50\\mathrm{mA}$",
    "solution_path": "\\mpBR{8.5cm}{\n\n- $I_\\mathrm{a} - I_\\mathrm{b} - I_\\mathrm{c} - I_\\mathrm{d} = 0$\n\n- $I_\\mathrm{b} = I_\\mathrm{a} - I_\\mathrm{c} - I_\\mathrm{d} = 50\\mathrm{mA}$\n\n}{\n\n\\psTdC{1}{\\scriptsize{1}}\\psTdC{7}{\\scriptsize{7}}\n\\psTdC{8}{\\scriptsize{8}}\\psTdC{14}{\\scriptsize{14}}\n\\psMsR{I_a}\\psMsR{I_b}\\psMsR{I_c}\\psMsR{I_d}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-007-schnittmengengleichung-1: Schnittmengengleichung 1 w](assets/et1-01-007-schnittmengengleichung-1/02-Schnittmengengleichung_1_w.png)\n\n}",
    "figures": [
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-007-schnittmengengleichung-1: Schnittmengengleichung 1 w"
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  "video_refs": [
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      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Ladungserhaltung und der Knotensatz",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s",
      "content": "In stationären Systemen, wie sie in diesem Semester vorwiegend betrachtet werden, gilt die Ladungserhaltung. Das bedeutet, die Ladungsmenge Q innerhalb eines Volumens ist konstant ($Q = const.$) \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=227s}{[03:47]}. Daraus folgt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung null ist:\n\\begin{equation*}\n\t\\frac{dQ}{dt} = 0\n\\end{equation*}\nSetzt man dies in die Kontinuitätsgleichung ein, ergibt sich, dass der zufließende Strom gleich dem abfließenden Strom sein muss: $I_{zu} = I_{ab}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=269s}{[04:29]}.\n\nDiese Betrachtung lässt sich verallgemeinern. Statt nur eines Zu- und Abflusses kann man eine Hülle mit beliebig vielen Strömen $I_k$ betrachten. Für einen unendlich klein gedachten Punkt in einem Netzwerk, einen sogenannten Knoten, besagt der Knotensatz, dass die Summe aller Ströme, die in diesen Knoten hinein- oder aus ihm herausfließen, null sein muss \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=457s}{[07:37]}. Dies ist auch als das 1. Kirchhoffsche Gesetz bekannt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=589s}{[09:49]}.\n\\begin{equation*}\n\t\\sum_{k=1}^{n} I_k = 0\n\\end{equation*}\nDabei gilt die Konvention: Zufließende Ströme werden positiv und abfließende Ströme negativ gezählt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=550s}{[09:10]}. Für einen beispielhaften Knoten K mit vier Strömen, bei dem $I_1$ und $I_4$ zufließen und $I_2$ und $I_3$ abfließen, lautet die Gleichung:\n\\begin{equation*}\n\tI_1 - I_2 - I_3 + I_4 = 0\n\\end{equation*}"
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