skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/1.9.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "1.9",
    "chapter_number": 1,
    "chapter": "Grundbegriffe",
    "title": "Knoten- und Schnittmengengleichungen",
    "question": "Das Bild stellt eine so genannte Darlingtonschaltung mit\nBipolartransistoren dar.\n\n\\mpBR{5.4cm}{\n\n- Stellen Sie die Schnittmengengleichungen für die\nTransistoren T1 und T2 und die Knotengleichung für den Knoten K\nauf.\n\n- Geben Sie eine Beziehung zwischen den Strömen $I$,\n$I_\\mathrm{B1}$ und $I_\\mathrm{E2}$ an.\n\n- Eliminieren Sie aus dem Gleichungssystem von a) die inneren Ströme $I_\\mathrm{C1}$, $I_\\mathrm{C2}$\n$I_\\mathrm{E1}$ der Schaltung und bestätigen Sie damit das Ergebnis von\nb).\n\n- Zwischen den Basis- und den Kollektorströmen von T1\nund T2 gelten die Beziehungen $I_\\mathrm{C1} = B_1\\cdot I_\\mathrm{B1}$ und\n$I_\\mathrm{C2} = B_2\\cdot I_\\mathrm{B2}$, wobei $I_\\mathrm{B2} = I_\\mathrm{E1}$. Welcher Wert ergibt sich für die\nStromverstärkung $ \\frac{I}{I_\\mathrm{B1}}$ der Darlingtonschaltung allgemein und mit\nden Werten \\linebreak {$B = B_1 = B_2 = 100$}?\n\n}\n{\n\n\\psMsC{I}\\psTdC{I_{C1}}{$I_\\mathrm{C1}$}\\psTdL{I_{C2}}{$I_\\mathrm{C2}$}\n\\psTdC{I_{B1}}{$I_\\mathrm{B1}$}\\psTdC{I_{E1}}{$I_\\mathrm{E1}$}\\psTdC{I_{E2}}{$I_\\mathrm{E2}$}\n\\psTsL{T1}\\psTsL{T2}\n\\psTdC{K}{\\klemme{K}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-009-knoten_und_schnittmengengleichungen-2: Knoten und Schnittmengengleichungen 2](assets/et1-01-009-knoten_und_schnittmengengleichungen-2/01-Knoten_und_Schnittmengengleichungen_2.png)\n\n}",
    "short_solution": "d) $I/I_\\mathrm{B1}=2B+B^2\\approx 10^4$",
    "solution_path": "- ~\n\n\\begin{tabular}{lr}\nT1: & $I_\\mathrm{B1} - I_\\mathrm{E1} + I_\\mathrm{C1} = 0$ \n\nT2: & $I_\\mathrm{E1} - I_\\mathrm{E2} + I_\\mathrm{C2} = 0$ \n\nK: & $-I_\\mathrm{C1} - I_\\mathrm{C2} + I = 0$ \n\n\\end{tabular}\n\n- ~\n\n\\mpBR{8cm}{\n\\[\nI_\\mathrm{B1} - I_\\mathrm{E2} + I = 0\n\\]\n}{\n\n\\psMsC{I}\\psMsC{I_{B1}}\\psMsC{I_{E2}}\n\\psTsL{T1}\\psTsL{T2}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-01-009-knoten_und_schnittmengengleichungen-2: Knoten und Schnittmengengleichungen 2 w](assets/et1-01-009-knoten_und_schnittmengengleichungen-2/02-Knoten_und_Schnittmengengleichungen_2_w.png)\n\n}\n\n- Durch die Addition der 3 Knotengleichungen von a) werden die \"'inneren Ströme\"' eliminiert. Das Ergebnis ist ebenfalls $I_\\mathrm{B1} - I_\\mathrm{E2} + I = 0$.\n\n- \\begin{eqnarray}\nI & = & I_\\mathrm{C1} + I_\\mathrm{C2} = B_{1} I_\\mathrm{B1} + B_{2} I_\\mathrm{B2} = B_{1} I_\\mathrm{B1} + B_{2} I_\\mathrm{E1} \n\nI_\\mathrm{E1} & = & I_\\mathrm{B1} + I_\\mathrm{C1} = I_\\mathrm{B1} (1 + B_1) \n\nI & = & I_\\mathrm{B1} (B_1 + B_2 + B_1 B_2) \n\\end{eqnarray}\n\\[\n\\Rightarrow \\frac{I}{I_\\mathrm{B1}} = 2B + B^2 =10.200 \\approx 10^4\n\\]",
    "figures": [
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        "id": "et1-01-009-knoten_und_schnittmengengleichungen-2-fig-01",
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        "latex_reference": "Knoten_und_Schnittmengengleichungen_2",
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-009-knoten_und_schnittmengengleichungen-2: Knoten und Schnittmengengleichungen 2"
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      {
        "id": "et1-01-009-knoten_und_schnittmengengleichungen-2-fig-02",
        "role": "loesungsweg",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-01-009-knoten_und_schnittmengengleichungen-2: Knoten und Schnittmengengleichungen 2 w"
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v007-c03",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Anwendungsbeispiel: Transistorschaltung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s",
      "content": "Der Knotensatz wird an einer einfachen Transistorschaltung demonstriert \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=758s}{[12:38]}. Der Transistor selbst kann als eine Schnittmenge betrachtet werden. In ihn fließen der Basisstrom $I_B$ und der Kollektorstrom $I_C$ hinein, während der Emitterstrom $I_E$ herausfließt. Die Anwendung des Knotensatzes ergibt:\n\\begin{equation*}\n\tI_B + I_C - I_E = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad I_E = I_B + I_C\n\\end{equation*}\nDiese fundamentale Beziehung gilt, obwohl das genaue Verhalten des Bauelements noch nicht bekannt ist \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=968s}{[16:08]}."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v007-c02",
      "lecture_chapter": "1.2",
      "video_title": "Kap. 1.2 Elektrischer Strom - Teil 4",
      "heading": "Ladungserhaltung und der Knotensatz",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s",
      "content": "In stationären Systemen, wie sie in diesem Semester vorwiegend betrachtet werden, gilt die Ladungserhaltung. Das bedeutet, die Ladungsmenge Q innerhalb eines Volumens ist konstant ($Q = const.$) \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=227s}{[03:47]}. Daraus folgt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung null ist:\n\\begin{equation*}\n\t\\frac{dQ}{dt} = 0\n\\end{equation*}\nSetzt man dies in die Kontinuitätsgleichung ein, ergibt sich, dass der zufließende Strom gleich dem abfließenden Strom sein muss: $I_{zu} = I_{ab}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=269s}{[04:29]}.\n\nDiese Betrachtung lässt sich verallgemeinern. Statt nur eines Zu- und Abflusses kann man eine Hülle mit beliebig vielen Strömen $I_k$ betrachten. Für einen unendlich klein gedachten Punkt in einem Netzwerk, einen sogenannten Knoten, besagt der Knotensatz, dass die Summe aller Ströme, die in diesen Knoten hinein- oder aus ihm herausfließen, null sein muss \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=457s}{[07:37]}. Dies ist auch als das 1. Kirchhoffsche Gesetz bekannt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=589s}{[09:49]}.\n\\begin{equation*}\n\t\\sum_{k=1}^{n} I_k = 0\n\\end{equation*}\nDabei gilt die Konvention: Zufließende Ströme werden positiv und abfließende Ströme negativ gezählt \\href{https://www.youtube.com/watch?v=QYBMWO5Fk4s&t=550s}{[09:10]}. Für einen beispielhaften Knoten K mit vier Strömen, bei dem $I_1$ und $I_4$ zufließen und $I_2$ und $I_3$ abfließen, lautet die Gleichung:\n\\begin{equation*}\n\tI_1 - I_2 - I_3 + I_4 = 0\n\\end{equation*}"
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