skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.16.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "2.16",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Kennlinie einer Glühlampe",
    "question": "Die $U$-$I$-Kennlinie einer Glühlampe ($230\\mathrm{V}$, $40\\mathrm{W}$) kann für eine quasi-statische Betrachtung ($U$- bzw. $I$-Änderungen sind viel langsamer als Temperaturänderung des Glühfadens) durch die\nBeziehung $U=aI+bI^2$, $I\\geq 0$ approximiert werden. Der Kaltwiderstand der\nLampe, d.\\ h. der differentielle Widerstand $r=\\frac{dU}{dI}$ der Lampe bei $I=0$ und $U=0$,\nbeträgt $R_0=140\\Omega$.\n\n- Bestimmen Sie die Konstanten $a$ und $b$ und stellen Sie eine zugeschnittene Größengleichung $U/\\dV=f(I/\\dA)$ auf.\n\n- Geben Sie die Funktion $I(U)$ an und stellen Sie sie maßstäblich grafisch dar.\n\n- Geben Sie die durch die Lampe aufgenommene Leistung als Funktion der Spannung an.\nWelche Leistung nimmt die Lampe auf, wenn sie mit $10\\,\\%$ Unterspannung und mit\n$10\\,\\%$ Überspannung betrieben wird?",
    "short_solution": "a) $U(I)/\\mathrm{V}=140I/\\mathrm{A}+6.800(I/A)^2$,\\:\\: b) $I(U)/\\dmiA=-10,3+\\sqrt{106+147U/\\dV}$,\\:\\: c) $P_\\mathrm{u}=34\\mathrm{W}$, $P_\\mathrm{{\"u}}=46,3\\mathrm{W}$ \\:\\:",
    "solution_path": "- Bestimmung von $a$ und $b$:\n\n\\begin{tabular}{ll}\n$ U=0, I=0$ & Nenngrößen $N$: $ I_N=\\frac{P_N}{U_N}$ \n\n$ U=aI+bI^2$ & $ U_N=R_0\\frac{P_N}{U_N}+b\\left(\\frac{P_N}{U_N}\\right)^2$ \n\n$ r=\\frac{dU}{dI}=a+2bI$ \n\n$ \\left.\\frac{dU}{dI}\\right|_{I=0}=a=R_0=140 \\frac{\\mathrm{V}}{\\mathrm{A}}$ &\n$ b=\\frac{U_N-R_0\\left(\\frac{P_N}{U_N}\\right)}{\\left(\\frac{P_N}{U_N}\\right)^2}=6.800 \\frac{\\mathrm{V}}{\\mathrm{A}^2}$\n\\end{tabular}\n\nzugeschnittene Größengleichung: $ \\frac{U}{\\mathrm{V}}=140\\frac{I}{\\mathrm{A}}+6.800\\frac{I^2}{\\mathrm{A}^2}$\n\n- $I(U)$\n\n$ I^2+\\frac{a}{b}I-\\frac{1}{b}U=0\\rightarrow$ Lösung der quadratischen Gleichung\n\\begin{equation}\nI=-\\frac{a}{2b}+\\sqrt{\\left(\\frac{a}{2b}\\right)^2+\\frac{U}{b}}\n\n\\end{equation}\nzugeschnittene Größengleichung: $ \\frac{I}{\\mathrm{mA}}=-10,3+\\sqrt{106+147\\frac{U}{\\mathrm{V}}}$\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-016-kennlinie_einer_gluehlampe-1: Kennlinie einer Gluehlampe 1 w](assets/et1-02-016-kennlinie_einer_gluehlampe-1/01-Kennlinie_einer_Gluehlampe_1_w.png)\n\n\\hinw{Die dargestellte Kennlinie gilt für quasistatische Änderungen von $U$, $I$. Bei sehr schnellen Änderungen um einen Arbeitspunkt bildet die Sekante durch diesen den $U$-$I$-Zusammenhang.}\n\n- $P=UI$\n\\begin{equation*}\nP(U)=\\left[-\\frac{a}{2b}+\\sqrt{\\left(\\frac{a}{2b}\\right)^2+\\frac{U}{b}}\\right] U\n\\end{equation*}\n\n$10\\,\\%$ Unterspannung: $U=207 \\mathrm{V},\\ P=34 \\mathrm{W}\\, (I=164,44 \\mathrm{mA})$\n\n$10\\,\\%$ Überspannung: $U=253 \\mathrm{V}, P=46,3 \\mathrm{W}\\, (I=182,82 \\mathrm{mA})$",
    "figures": [
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        "id": "et1-02-016-kennlinie_einer_gluehlampe-1-fig-01",
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        "source_asset": "2-Resistive_Zweipole/bilder/Kennlinie_einer_Gluehlampe_1_w.eps",
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-02-016-kennlinie_einer_gluehlampe-1: Kennlinie einer Gluehlampe 1 w"
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v015-c01",
      "lecture_chapter": "2.2",
      "video_title": "Kap. 2.2 Ausgewählte Zweipole - Teil 2",
      "heading": "Nichtlinearer Widerstand (z.B. Glühfaden einer Lampe)",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=7IM8E3apOAg",
      "content": "Ein Beispiel für einen nichtlinearen Widerstand ist der \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7IM8E3apOAg&t=114s}{Glühfaden einer Lampe}. Das Schaltzeichen ist ein Kreis mit einem Kreuz darin. Wenn man die Kennlinie einer Glühlampe misst, stellt man fest, dass der Widerstand mit steigender Spannung zunimmt. Das liegt daran, dass der Glühfaden ein Kaltleiter ist, sein Widerstand steigt also mit der Temperatur. Eine höhere Spannung führt zu einem höheren Strom, was wiederum die Verlustleistung und damit die Temperatur erhöht.\n\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7IM8E3apOAg&t=125s}{I-U-Kennlinie einer Glühlampe}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=7IM8E3apOAg&t=319s}{U-I-Kennlinie einer Glühlampe}\n\\end{itemize}\n\nInteressanterweise wird die Kennlinie bei einer sehr hohen Frequenz der angelegten Spannung wieder linear, da sich die Temperatur des Glühfadens dann nicht mehr schnell genug ändern kann."
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