skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.18.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "2.18",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Temperaturabhängigkeit, Glühlampen",
    "question": "Die folgende Tabelle gibt die Kaltwiderstände $R_0$ (bei $20\\gC$) handelsüblicher Glühlampen ($U=230\\mathrm{V}$) für verschiedene Bemessungsleistungen $P_\\mathrm{B}$ an:\n\n\\begin{tabular}{|l|*{4}{>{\\arraybackslash}p{\\widthof{66,67}}|}}\n\\hline\nLeistung $P_\\mathrm{B}/\\dW$ & 25 & 40 & 60 & 100\n\n\\hline\nKaltwiderstand $R_0/\\dOhm$ & 160 & 100 & 66,67 & 40 \n\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n- Geben Sie allgemein eine Beziehung zwischen dem\nKaltwiderstand $R_0$ und\nder Bemessungsleistung $P_\\mathrm{B}$ an (siehe Tabelle).\n\nWie lautet die zugeschnittene Größengleichung für\n$R_0/\\dOhm=f(P_\\mathrm{B}/\\dW)$ ? \n\n- Berechnen Sie die Widerstände\n$R_\\mathrm{H}$ der vier Lampen bei $U=230\\mathrm{V}$ (Heißwiderstände). \n\n- Geben Sie die Verhältnisse zwischen Heiß- und Kaltwiderständen\n$R_\\mathrm{H}/R_0$ an. \n\n- Die Temperatur der Glühwendeln wurde bei\n$230\\mathrm{V}$ in allen Fällen mit $\\vartheta=2350\\gC$ bestimmt.\nBerechnen Sie den Temperaturkoeffizienten $\\alpha$ des\nWendelmaterials.",
    "short_solution": "b) $R_{\\mathrm{H}\\:25}=2116\\Omega$; \\: $R_{\\mathrm{H}\\:40}=1323\\Omega$; \\:\n$R_{\\mathrm{H}\\:60}=882\\Omega$; \\: $R_{\\mathrm{H}\\:100}=529\\Omega$; \\:\\: c)\n$R_\\mathrm{H}/R_0=13,2$; \\:\\: d) $\\alpha=5,2\\cdot 10^{-3}K^{-1}$",
    "solution_path": "- $R_0 P_B=c=\\mathrm{konst}\\rightarrow c=4000\\ \\mathrm{V}^2$\n\\begin{equation}\n\\text{zugeschnittene Gr\"o\"sengleichung: } \\frac{R_0}{\\Omega}=\\frac{4000}{\\frac{P_B}{\\mathrm{W}}}\n\n\\end{equation}\n\n- \\begin{equation}\nR_H=\\frac{U^2}{P_B}\\rightarrow \\frac{R_H}{\\Omega}=\\frac{230^2}{\\frac{P_B}{\\mathrm{W}}}\n\n\\end{equation}\n\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}\n\\firsthline\n$\\frac{P_B}{\\mathrm{W}}$ & $25$ & $40$ & $60$ & $100$ \n\n\\hline\n$\\frac{R_H}{\\Omega}$ & $2116$ & $1323$ & $882$ & $529$ \n\n\\lasthline\n\\end{tabular}\n\n- \\begin{equation}\n\\frac{R_H}{R_0}=\\frac{U^2P_B}{P_Bc}=\\frac{230^2\\ \\mathrm{V}}{4000\\ \\mathrm{V}}=13,2\n\n\\end{equation}\n\n- \\begin{equation}\nR_H=R_0(1+\\alpha\\Delta\\vartheta)\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\n\\frac{R_H}{R_0}=(1+\\alpha\\Delta\\vartheta)=13,2 \\Delta\\vartheta=2350\\gC-20\\gC=2330\\mathrm{K}\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\n\\alpha=\\frac{12,2}{\\Delta\\vartheta}=\\frac{12,2}{2330\\ \\mathrm{K}}=5,2\\cdot 10^{-3}\\ \\mathrm{K}^{-1}\n\n\\end{equation}\nBemerkung: Die Beziehung unter a) folgt theoretisch aus\n\n- der gleichen Spannung\n\n- der gleichen \"Ubertemperatur und\n\n- dem gleichen Widerstandsmaterial $\\alpha$\n\n\\begin{equation}\nR_0=\\frac{R_H}{1+\\alpha\\Delta\\vartheta}=\\frac{\\frac{U}{P_B}}{1+\\alpha\\Delta\\vartheta}\\rightarrow\nR_0P_B=c=\\frac{U}{1+\\alpha\\Delta\\vartheta}\n\n\\end{equation}",
    "figures": []
  },
  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v020-c00",
      "lecture_chapter": "2.4",
      "video_title": "Kap. 2.4 Temperaturabhängigkeit von Widerständen - Teil 1",
      "heading": "Einführung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=Wp5vrhmj6a0",
      "content": "Das Video beginnt mit einer Einführung in die Temperaturabhängigkeit von Widerständen, wobei auf die bereits in einem früheren Video behandelte Kennlinie der Glühlampe Bezug genommen wird, bei der sich der Widerstand des Wolframdrahtes durch Erwärmung ändert [\\href{https://www.youtube.com/watch?v=Wp5vrhmj6a0&t=21s}{00:00:21}].\nUm diesen Effekt praktisch zu demonstrieren, wird ein Experiment vorgestellt, bei dem der Widerstand verschiedener Materialien bei unterschiedlichen Temperaturen gemessen wird."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v021-c03",
      "lecture_chapter": "2.4",
      "video_title": "Kap. 2.4 Temperaturabhängigkeit von Widerständen - Teil 2",
      "heading": "Herleitung der Formel",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs",
      "content": "Ausgehend von der Taylorreihenentwicklung um die Bezugstemperatur $T_0$ ergibt sich die linearisierte Formel für den Widerstand:\n\\begin{equation}\n\tR(T) \\approx R(T_0) + \\frac{dR}{dT}\\bigg|_{T_0} \\cdot (T - T_0)\n\\end{equation}\nDiese Formel wird weiter umgeformt zu:\n\\begin{equation}\n\tR(T) = R_0 \\cdot (1 + \\alpha_{T_0} \\cdot \\Delta T)\n\\end{equation}\nDabei ist $\\Delta T = T - T_0$ die Temperaturdifferenz \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs&t=484s}{[00:08:04]} und $\\alpha_{T_0}$ der Temperaturkoeffizient bei der Bezugstemperatur $T_0$."
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