skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.21.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "2.21",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Temperaturabhängigkeit, Temperaturkoeffizient",
    "question": "Das Temperaturverhalten des elektrischen Widerstandes eines\nNTC-Widerstandes (Heißleiter) wird durch die Beziehung\n$R(T)=R_1\\cdot \\e^{\\frac{b}{T}}$ ($T$ absolute Temperatur, $b = 3000 \\mathrm{K}$) beschrieben.\n\n- Bestimmen Sie die Konstante $R_1$ für den Fall, dass bei einer Bezugstemperatur $T_0$ der Widerstand $R(T_0)$ den Bezugswiderstand $R_0$ annimmt.\n\nGeben Sie den Widerstand $R(T)$ als Funktion der Temperaturdifferenz\n$\\Delta T = T - T_0$ an.\n\n- Bestimmen Sie den Temperaturkoeffizienten $\\alpha$ in Abhängigkeit von der Bezugstemperatur $T_0$.\n\n- Stellen Sie die Funktionen\n\n- $\\frac{R(T)}{R_0}$ nach a) für $T_0 = 293 \\mathrm{K}$, $ 0 \\leq\\Delta T\\leq 300 \\mathrm{K} $ und\n\n- $\\alpha(T_0) $ nach b) für $293\\mathrm{K}\\leq T_0 \\leq 600 \\mathrm{K}$\n\nmaßstäblich grafisch dar.\n\n- Die Beziehung $R(T)=R_0(1+\\alpha\\Delta T)=R_0(1+\\alpha(T-T_0))$ ist eine Näherung und gilt nur für Werte $(\\alpha\\Delta T) \\ll 1.$\n\nGeben Sie eine Beziehung zwischen $\\Delta T$ und der Bezugstemperatur $T_0$ für den Fall an, dass die Abweichung zwischen dem tatsächlichen Widerstand $R(T)$ nach a), (Sollwert), und dem mit dem Tem\\-pe\\-ra\\-tur\\-Ko\\-ef\\-fi\\-zi\\-enten $\\alpha$ ermittelten Wert maximal $10\\%$ des Sollwertes beträgt.",
    "short_solution": "a) $R(T)=R_0\\cdot \\e^{b\\cdot \\left(\\dfrac{1}{T_0+\\Delta T}-\\dfrac{1}{T_0}\\right)}$,\n\nb) $\\alpha(T_0)=-\\dfrac{b}{{T_0}^2}$\n\nd) $\\Delta T_{10\\%}/\\dK=1,31\\cdot 10^{-4}(T_0/\\dK)^2$",
    "solution_path": "- $R_1, R(\\Delta T)$ \n\n\\begin{equation}\nR(T)=R_1\\e^{\\frac{b}{T}}, R(T_0)=R_0=R_1\\e^{\\frac{b}{T_0}}, R_1=R_0\\e^{-\\frac{b}{T_0}}\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR(\\Delta T)=R_0\\e^{b\\left(\\frac{1}{T}-\\frac{1}{T_0}\\right)} \\text{ bzw. } \nR(\\Delta T)=R_0\\e^{b\\left(\\frac{1}{T_0+\\Delta T}-\\frac{1}{T_0}\\right)}\n\n\\end{equation}\n\n- Temperaturkoeffizient\n\\begin{equation}\n\\alpha(T_0)=\\left.\\frac{1}{R_0}\\frac{\\mathrm{d}R}{\\mathrm{d}T}\\right|_{T=T_0}, T_0 \n\\text{ ist als Variable aufzufassen}\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\n\\alpha(T_0)=\\left.\\frac{1}{R_0}R_1\\frac{\\mathrm{d}\\e^{\\frac{b}{T}}}{\\mathrm{d}T}\\right|_{T=T_0}\n=-\\frac{R_1}{R_0}\\frac{b}{{T_0}^2}\\e^{\\frac{b}{T_0}}, \\alpha(T_0)=-\\frac{b}{{T_0}^2}\n\n\\end{equation}\noder\n\\begin{eqnarray*}\n\\alpha(T_0)\n&=&\\frac{1}{R_0}\\left.\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}T}\\left(R_0\\e^{b\\left({\\frac {1}{T}}-{\\frac {1}{T_0}}\\right)}\\right)\\right|_{T=T_0}\n=\\left.\\e^{-\\frac{b}{T_0}}\\frac {\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}T}\\left(\\e^{\\frac {b}{T}}\\right)\\right|_{T=T_0}\n\n&=&\\left.\\e^{-\\frac{b}{T_0}}\\left(-\\frac {b}{{T}^2}\\e^{\\frac{b}{T}}\\right)\\right|_{T=T_0}\n=-\\frac{b}{{T_0}^2}\n=-\\frac{3000\\mathrm{K}}{{T_0}^2}\n\\end{eqnarray*}\n\n- \\begin{align*}\nT_0=293\\mathrm{K}:\\;\\frac{R(T)}{R_0} &= \\e^{-\\frac{b}{T_0}}\\cdot\\e^{\\frac{b}{T_0+\\Delta T}}\n=3,57\\cdot 10^{-5}\\e^{\\frac{3000}{293+\\frac{\\Delta T}{\\mathrm{K}}}}, \n\n\\alpha(T_0) &= -\\frac{3000}{\\left(\\frac{T_0}{\\mathrm{K}}\\right)^2}\\mathrm{K}^{-1}\n\\end{align*}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-021-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-2: Temperaturabhaengigkeit Temperaturkoeffizient 2 w2](assets/et1-02-021-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-2/01-Temperaturabhaengigkeit_Temperaturkoeffizient_2_w2.png)\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-021-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-2: Temperaturabhaengigkeit Temperaturkoeffizient 2 w1](assets/et1-02-021-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-2/02-Temperaturabhaengigkeit_Temperaturkoeffizient_2_w1.png)\n\n- Sollwert:\n\\begin{equation}\n\\left.\\frac{R(T)}{R_0}\\right|_{\\text{exakt}}=\\e^{b\\left(\\frac{1}{T}-\\frac{1}{T_0}\\right)}=\\e^{b\\left(\\frac{1}{T_0+\\Delta T}\n-\\frac{1}{T_0}\\right)}\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\n\\left.\\frac{R(T)}{R_0}\\right|_{\\text{exakt}}=\\e^{\\frac{-b\\Delta T}{T_0(T_0+\\Delta T)}}\n\n\\end{equation}\nF\"ur die praktisch meist erf\"ullte Bedingung $\\Delta T\\ll T_0$ folgt:\n\\begin{equation}\n\\frac{R(T)}{R_0} = \\e^{-\\frac{b\\Delta T}{{T_0}^2}}\n\n\\end{equation}\nMit der N\"aherung $\\left.\\frac{R(T)}{R_0}\\right|_{\\text{n\"ah.}}=1+\\alpha\\Delta T=1-\\frac{b\\Delta T}{{T_0}^2}$\nfolgt f\"ur die gestellte Bedingung von maximal $10\\,\\%$ Abweichung:\n\\begin{equation}\n\\left|\\e^{-\\frac{b\\Delta T_{10\\,\\%}}{{T_0}^2}}-1+\\frac{b\\Delta T_{10\\,\\%}}{{T_0}^2}\\right|\n\\leq 0,1\\e^{-\\frac{b\\Delta T_{10\\,\\%}}{{T_0}^2}}\n\n\\end{equation}\nDaraus ergibt sich f\"ur das Gleichheitszeichen die transzendente Gleichung\n\\begin{equation}\n0,9\\e^{-\\frac{b\\Delta T_{10\\,\\%}}{{T_0}^2}}+\\frac{b\\Delta T_{10\\,\\%}}{{T_0}^2}=1 \n\\text{ mit der L\"osung } \\frac{b\\Delta T_{10\\,\\%}}{{T_0}^2}=0,392\n\n\\end{equation}\nF\"ur $b=3000\\mathrm{K}$ ergibt sich f\"ur die zul\"assige Temperaturdifferenz beim Hei\"sleiter\n\\begin{equation}\n\\frac{\\Delta T_{10\\,\\%}}{\\mathrm{K}}=1,3067\\cdot 10^{-4}\\left(\\frac{T_0}{\\mathrm{K}}\\right)^2\n\n\\end{equation}\nF\"ur z.\\ B. $T_0=293\\mathrm{K}$ folgt ein Temperaturintervall von nur $\\Delta T_{10\\,\\%}=11,2\\mathrm{K}$!\n\\bigskip \n\n\\emph{Bemerkung:}\n\n- Die obige Bedingung $\\Delta T\\ll T_0$ ist automatisch erf\"ullt.\n\n\\emph{Die Näherung darf i. Allg. nur f\"ur solche Temperaturintervalle verwendet werden, f\"ur die $\\alpha\\Delta T\\ll 1$ gilt.}\n\nUneingeschr\"ankt gilt sie nur f\"ur Metallwiderst\"ande.\n\n\\mpBR{5.0cm}{\nDeutung des TK $\\alpha$:\n\\begin{equation}\nR(T_1)\\approx R(T_0)+\\left.\\frac{\\mathrm{d}R}{\\mathrm{d}T}\\right|_{T=T_0}\\cdot (T_1-T_0)\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR(T_1)\\approx R(T_0)\\left(1+\\frac{1}{R_0}\\left.\\frac{\\mathrm{d}R}{\\mathrm{d}T}\\right|_{T=T_0}\\cdot (T_1-T_0)\\right)\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR(T_1)\\approx R(T_0)(1+\\alpha(T_0)\\cdot (T_1-T_0))\n\n\\end{equation}\n}{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-021-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-2: Temperaturabhaengigkeit Temperaturkoeffizient 2 w3](assets/et1-02-021-temperaturabhaengigkeit_temperaturkoeffizient-2/03-Temperaturabhaengigkeit_Temperaturkoeffizient_2_w3.png)\n\n}",
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      "heading": "Temperaturkoeffizient",
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      "content": "Der Temperaturkoeffizient $\\alpha_{T_0}$ ist eine Materialkonstante und beschreibt die relative Widerstandsänderung pro Kelvin \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs&t=905s}{[00:15:05]}. Er ist definiert als:\n\\begin{equation}\n\t\\alpha_{T_0} = \\frac{1}{R_0} \\cdot \\frac{dR}{dT}\\bigg|_{T_0} = \\frac{1}{\\rho_0} \\cdot \\frac{d\\rho}{dT}\\bigg|_{T_0}\n\\end{equation}\nDie Einheit des Temperaturkoeffizienten ist $\\frac{1}{K}$ \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs&t=968s}{[00:16:08]}."
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