skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.23.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "2.23",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Temperaturabhängigkeit des Widerstandes",
    "question": "Gegeben sind zwei temperaturabhängige Widerstände $R_1(R_{10},\\alpha_1)$ und\n$R_2(R_{20},\\alpha_2)$.\n\n- Berechnen Sie für die Reihenschaltung beider Widerstände $R_\\mathrm{r0}$ und den Temperaturkoeffizienten $\\alpha_\\mathrm{r}$.\n\n- Berechnen Sie für die Parallelschaltung beider Widerstände $R_\\mathrm{p0}$ und den Temperaturkoeffizienten\n$\\alpha_\\mathrm{p}$ .\n\n- Wie müssen die Widerstände $R_{10}$\nund $R_{20}$ gewählt werden,\ndamit für\n\n$\\alpha_1 = - 200\\cdot 10^{-6}/\\dK$ und\n$\\alpha_2 = 50\\cdot10^{-6}/\\dK$ der Gesamtwiderstand der\nReihenschaltung $R_\\mathrm{r0} = 10 \\mathrm{k}\\Omega$ beträgt und sein Temperaturkoeffizient\n$\\alpha_\\mathrm{r} = 0$ wird?",
    "short_solution": "c) $R_{10}=2\\mathrm{k}\\Omega$, $R_{20}=8\\mathrm{k}\\Omega$",
    "solution_path": "- \\begin{align*}\nR_\\mathrm{r}(T) &= R_1(T) + R_2 (T) \n\nR_\\mathrm{r}(T_0) &= R_1(T_0)+R_2(T_0) \n\nR_\\mathrm{r0}&=R_{10}+R_{20}\n\\end{align*}\t\n\n\\begin{align*}\n\\alpha_\\mathrm{r} &=\\left. \\frac{1}{R_\\mathrm{r0}} \\cdot \\frac{\\mathrm{d}R_\\mathrm{r}}{\\mathrm{d}T}\\right|_{T_0} \n\n\\alpha_\\mathrm{r} &=\\frac{1}{R_{10}+R_{20}}\\left(\\underbrace{ \\left. \\frac{\\mathrm{d}R_\\mathrm{1}}{\\mathrm{d}T}\\right| _{T_0}}_{\\alpha_1 R_{10}} + \\underbrace{ \\left. \\frac{\\mathrm{d}R_\\mathrm{2}}{\\mathrm{d}T}\\right| _{T_0}}_{\\alpha_2 R_{20}}\\right) \n\n\\alpha_\\mathrm{r} &=\\frac{\\alpha_1 R_{10}+ \\alpha_2 R_{20}}{R_{10}+R_{20}}\n\\end{align*}\t\n\n- \\begin{align*}\nR_\\mathrm{p}(T) &= \\dfrac{1}{\\dfrac{1}{R_1(T)} + \\dfrac{1}{R_2(T)}} \n\nR_\\mathrm{p0} &= R_\\mathrm{p}(T_0)=\\dfrac{1}{\\dfrac{1}{R_{10}} + \\dfrac{1}{R_{20}}}=\\dfrac{R_{10}R_{20}}{R_{10}+R_{20}}\n\\end{align*}\n\n\\begin{align*}\n\\alpha_\\mathrm{p} &=\\left. \\frac{1}{R_\\mathrm{p0}} \\cdot \\frac{\\mathrm{d}R_\\mathrm{p}}{\\mathrm{d}T}\\right|_{T_0} \n\n&= \\frac{1}{R_\\mathrm{p0}}\\cdot \\frac{-1}{\\left(\\dfrac{1}{R_{1}}+\\dfrac{1}{R_{2}}\\right)^2}\\left(\\underbrace{\\frac{-1}{R_1^2} \\left. \\frac{\\mathrm{d}R_\\mathrm{1}}{\\mathrm{d}T}\\right| _{T_0}}_{- \\dfrac{1}{R_{10}}\\alpha_1} + \\underbrace{ \\frac{-1}{R_2^2} \\left. \\frac{\\mathrm{d}R_\\mathrm{2}}{\\mathrm{d}T}\\right| _{T_0}}_{- \\dfrac{1}{R_{20}}\\alpha_2}\\right) \n\n&= \\frac{1}{R_\\mathrm{p0}}\\cdot R_\\mathrm{p0}^2 \\cdot\\left(\\alpha_1 \\dfrac{1}{R_{10}}+ \\alpha_2 \\dfrac{1}{R_{20}}\\right) \n\n\\alpha_\\mathrm{p} &=\\frac{\\alpha_1 \\dfrac{1}{R_{10}}+ \\alpha_2 \\dfrac{1}{R_{20}}}{\\dfrac{1}{R_{10}}+\\dfrac{1}{R_{20}}} = \\frac{\\alpha_2 R_{10}+ \\alpha_1 R_{20}}{R_{10}+R_{20}}\n\\end{align*}\t\n\n- \\[\n\\alpha_\\mathrm{r}=\\frac{\\alpha_1R_{10}+\\alpha_2R_{20}}{R_{10}+R_{20}}=0 \\rightarrow \\alpha_1R_{10}=-\\alpha_2R_{20} \\rightarrow R_{10}=-\\frac{\\alpha_2}{\\alpha_1}R_{20}\n\\]\n\\[\nR_\\mathrm{r0}=R_{10}+R_{20} =-\\frac{\\alpha_2}{\\alpha_1}R_{20}+ R_{20} = R_{20}\\left(1-\\frac{\\alpha_2}{\\alpha_1}\\right) \\rightarrow R_{20}=\\dfrac{R_{r0}}{1-\\dfrac{\\alpha_2}{\\alpha_1}}=8\\mathrm{k}\\Omega\n\\]\n\\begin{equation}\nR_{10}=R_{r0}-R_{20}=2\\mathrm{k}\\Omega\n\n\\end{equation}",
    "figures": []
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  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v021-c03",
      "lecture_chapter": "2.4",
      "video_title": "Kap. 2.4 Temperaturabhängigkeit von Widerständen - Teil 2",
      "heading": "Herleitung der Formel",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs",
      "content": "Ausgehend von der Taylorreihenentwicklung um die Bezugstemperatur $T_0$ ergibt sich die linearisierte Formel für den Widerstand:\n\\begin{equation}\n\tR(T) \\approx R(T_0) + \\frac{dR}{dT}\\bigg|_{T_0} \\cdot (T - T_0)\n\\end{equation}\nDiese Formel wird weiter umgeformt zu:\n\\begin{equation}\n\tR(T) = R_0 \\cdot (1 + \\alpha_{T_0} \\cdot \\Delta T)\n\\end{equation}\nDabei ist $\\Delta T = T - T_0$ die Temperaturdifferenz \\href{https://www.youtube.com/watch?v=gtzTHfMqzxs&t=484s}{[00:08:04]} und $\\alpha_{T_0}$ der Temperaturkoeffizient bei der Bezugstemperatur $T_0$."
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