skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.30.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "2.30",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Elektroherd",
    "question": "Für die Heizplatte eines Elektroherdes ($U=230\\mathrm{V}$) stehen zwei Heizwiderstände\n$R_1 = 88\\Omega$ und $R_2 = 176\\Omega$ zur Verfügung.\n\n- Welche Schaltstufen können mit den beiden Widerständen realisiert werden und welche Leistungen werden dabei umgesetzt?\n\n- Wie wirkt sich eine Netzspannungsabsenkung um $10\\,\\%$ bei den einzelnen Schaltstufen aus?",
    "short_solution": "$P_1=200\\mathrm{W}$; \\: $P_2=300\\mathrm{W}$; \\: $P_3=600\\mathrm{W}$; \\: $P_4=900\\mathrm{W}$",
    "solution_path": "\\noindent\n\n- Allgemein: $ P = \\frac{U^2}{R}$,\n\n\\begin{tabular}{rll}\nSchaltstufe 0: & ausgeschaltet $R = \\infty$ & $P_{0} = 0$ \n\n1: & $R = R_1 + R_2 = 264 \\Omega$ & $P_1 = 200,4 \\mathrm{W} \\approx 200 \\mathrm{W}$ \n\n2: & $R = R_2 = 176 \\Omega$ & $P_2 = 300,6 \\mathrm{W} \\approx 300 \\mathrm{W}$ \n\n3: & $R = R_1 = 88 \\Omega$ & $P_3 = 601,1 \\mathrm{W} \\approx 600 \\mathrm{W}$ \n\n4: & $R = R_1 || R_2 = 58,\\overline{6} \\Omega$ & $P_4 = 901,7 \\mathrm{W} \\approx 900 \\mathrm{W}$\n\\end{tabular}\n\n- $\\Delta P = \\dfrac{U^2}{R} - \\dfrac{(U - \\Delta U)^2}{R} = \\dfrac{2U \\Delta U - (\\Delta U)^2}{R}$\n\n$\\dfrac{\\Delta P}{P} = 2\\dfrac{\\Delta U}{U} - \\left( \\dfrac{\\Delta U}{U} \\right)^2 = 2\\cdot 10\\,\\% - 1\\,\\% = 19\\,\\%$\n\nFür kleine Werte $\\frac{\\Delta U}{U}$ ist der quadratische Term zu vernachlässigen:\n\\begin{equation*}\n\\frac{\\Delta P}{P} \\approx 2\\frac{\\Delta U}{U} = 20\\,\\% \\text{für} \\frac{\\Delta U}{U} \\ll 1.\n\\end{equation*}\n\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline\nSchaltstufe & Leistung & $\\Delta P$, Näherung & $\\Delta P$, exakt \n\n\\hline\n$1$ & $200 \\mathrm{W}$ & $ 40 \\mathrm{W}$ & $ 38 \\mathrm{W}$ \n\n\\hline\n$2$ & $300 \\mathrm{W}$ & $ 60 \\mathrm{W}$ & $ 57 \\mathrm{W}$ \n\n\\hline\n$3$ & $600 \\mathrm{W}$ & $ 120 \\mathrm{W}$ & $ 114 \\mathrm{W}$ \n\n\\hline\n$4$ & $900 \\mathrm{W}$ & $ 180 \\mathrm{W}$ & $ 171 \\mathrm{W}$ \n\n\\hline\n\\end{tabular}",
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      "chunk_id": "get-2425-v023-c01",
      "lecture_chapter": "2.5",
      "video_title": "Kap. 2.5 Zusammenschaltung resistiver Zweipole - Teil 2",
      "heading": "Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8",
      "content": "Zuerst wird die Reihenschaltung von zwei Widerständen ($R_1$ und $R_2$) betrachtet.\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=102s}{[00:01:42]} Die Gesamtspannung $U$ ist die Summe der Einzelspannungen $U_1$ und $U_2$: $U = U_1 + U_2$.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=179s}{[00:02:59]} Teilt man diese Gleichung durch den Strom $I$, erhält man $\\frac{U}{I} = \\frac{U_1}{I} + \\frac{U_2}{I}$.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=195s}{[00:03:15]} Daraus folgt für den Gesamtwiderstand $R = R_1 + R_2$.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=218s}{[00:03:38]} Für die Leitwerte gilt: $\\frac{1}{G} = \\frac{1}{G_1} + \\frac{1}{G_2}$.\n\\end{itemize}\n\nAls Nächstes wird die Parallelschaltung von zwei Widerständen ($R_1$ und $R_2$) behandelt.\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=286s}{[00:04:46]} Der Gesamtstrom $I$ ist die Summe der Einzelströme $I_1$ und $I_2$: $I = I_1 + I_2$.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=308s}{[00:05:08]} Teilt man diese Gleichung durch die Spannung $U$, erhält man $\\frac{I}{U} = \\frac{I_1}{U} + \\frac{I_2}{U}$.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=321s}{[00:05:21]} Daraus folgt für den Gesamtleitwert $G = G_1 + G_2$.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=348s}{[00:05:48]} Für die Widerstände gilt: $\\frac{1}{R} = \\frac{1}{R_1} + \\frac{1}{R_2}$.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=410s}{[00:06:50]} Umgeformt ergibt sich für den Gesamtwiderstand $R = \\frac{R_1 \\cdot R_2}{R_1 + R_2}$.\n\\end{itemize}"
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