skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/2.31.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "2.31",
    "chapter_number": 2,
    "chapter": "Resistive Zweipole",
    "title": "Stern-Dreieck-Umwandlung",
    "question": "\\mpBR{4cm}{\nBerechnen Sie für die gegebenen Schaltungen mit gleichem Klemmenverhalten\n\n- die Widerstände $R_\\mathrm{A0}$, $R_\\mathrm{B0}$ und $R_\\mathrm{C0}$ allgemein als Funktion der Widerstände $R_\\mathrm{AB}$, $R_\\mathrm{BC}$ und $R_\\mathrm{AC}$,\n\n- die Widerstände $R_\\mathrm{AB}$, $R_\\mathrm{BC}$ und $R_\\mathrm{AC}$ allgemein als Funktion der Widerstände $R_\\mathrm{A0}$, $R_\\mathrm{B0}$ und $R_\\mathrm{C0}$.\n\n- Berechnen Sie die Widerstände $R_\\mathrm{AB}$, $R_\\mathrm{BC}$ und $R_\\mathrm{AC}$ für $R_\\mathrm{A0} = R_\\mathrm{B0} = R_\\mathrm{C0} = 100\\Omega $ und überprüfen Sie das Ergebnis von a) zahlenmäßig.\n\n}\n{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-02-031-stern_dreieck_umwandlung-1: Stern Dreieck Umwandlung 1](assets/et1-02-031-stern_dreieck_umwandlung-1/01-Stern_Dreieck_Umwandlung_1.png)\n\n}",
    "short_solution": "c) $R_\\mathrm{AB} = R_\\mathrm{AC} = R_\\mathrm{BC} = 300\\Omega$",
    "solution_path": "\\emph{Ansatz:} Gleichheit der Eingangswiderst\"ande zwischen den Klemmenpaaren\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{AB}||(R_\\mathrm{AC}+R_\\mathrm{BC})=\\frac{R_\\mathrm{AB}(R_\\mathrm{AC}+R_\\mathrm{BC})}{R_\\mathrm{AB}+R_\\mathrm{AC}+R_\\mathrm{BC}}=R_\\mathrm{A0}+R_\\mathrm{B0}\n\\end{equation*}\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{BC}||(R_\\mathrm{AB}+R_\\mathrm{AC})=\\frac{R_\\mathrm{BC}(R_\\mathrm{AB}+R_\\mathrm{AC})}{R_\\mathrm{AB}+R_\\mathrm{AC}+R_\\mathrm{BC}}=R_\\mathrm{B0}+R_\\mathrm{C0}\n\\end{equation*}\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{AC}||(R_\\mathrm{AB}+R_\\mathrm{BC})=\\frac{R_\\mathrm{AC}(R_\\mathrm{AB}+R_\\mathrm{BC})}{R_\\mathrm{AB}+R_\\mathrm{AC}+R_\\mathrm{BC}}=R_\\mathrm{A0}+R_\\mathrm{C0}\n\\end{equation*}\nAbk\"urzung: $R=R_\\mathrm{AB}+R_\\mathrm{AC}+R_\\mathrm{BC}$\n\n- Ausgangsgleichungen nach $R_\\mathrm{A0},\\ R_\\mathrm{B0},\\ R_\\mathrm{C0}$ aufl\"osen:\n\\begin{equation}\n\nR_\\mathrm{A0}+R_\\mathrm{B0}=\\frac{R_\\mathrm{AB}R_\\mathrm{AC}}{R}+\\frac{R_\\mathrm{AB}R_\\mathrm{BC}}{R}\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\nR_\\mathrm{B0}+R_\\mathrm{C0}=\\frac{R_\\mathrm{BC}R_\\mathrm{AB}}{R}+\\frac{R_\\mathrm{BC}R_\\mathrm{AC}}{R}\n\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\n\nR_\\mathrm{A0}+R_\\mathrm{C0}=\\frac{R_\\mathrm{AC}R_\\mathrm{AB}}{R}+\\frac{R_\\mathrm{AC}R_\\mathrm{BC}}{R}\n\\end{equation}\n\nSubtrahieren der Gl.~(eq:stern_dreieck_umwandlung_1_w2) von Gl.~(eq:stern_dreieck_umwandlung_1_w3):\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{A0}-R_\\mathrm{B0}=\\frac{R_\\mathrm{AC}R_\\mathrm{AB}}{R}-\\frac{R_\\mathrm{AB}R_\\mathrm{BC}}{R}\n\\end{equation*}\nAddition zu Gl.~(eq:stern_dreieck_umwandlung_1_w1) liefert:\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{A0}=\\frac{R_\\mathrm{AB}R_\\mathrm{AC}}{R}\n\\end{equation*}\nin analoger Weise erhält man\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{B0}=\\frac{R_\\mathrm{AB}R_\\mathrm{BC}}{R}\n\\end{equation*}\nund\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{C0}=\\frac{R_\\mathrm{AC}R_\\mathrm{BC}}{R}\n\\end{equation*}\n\n- Auflösen nach $R_\\mathrm{AB},R_\\mathrm{AC},R_\\mathrm{BC}$:\n\nMit den Ergebnissen für $R_\\mathrm{A0},\\ R_\\mathrm{B0}$ und $R_\\mathrm{C0}$ folgt:\n\\begin{equation}\n\nR_\\mathrm{AB}R_\\mathrm{AC}=RR_\\mathrm{A0}\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\n\nR_\\mathrm{AB}R_\\mathrm{BC}=RR_\\mathrm{B0}\n\\end{equation}\n\\begin{equation}\n\nR_\\mathrm{AC}R_\\mathrm{BC}=RR_\\mathrm{C0}\n\\end{equation}\nAus Gl.~(eq:stern_dreieck_umwandlung_1_w5) und Gl.~(eq:stern_dreieck_umwandlung_1_w6) folgt:\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{AC}=R_\\mathrm{AB}\\frac{R_\\mathrm{C0}}{R_\\mathrm{B0}}\n\\end{equation*}\nAus Gl.~(eq:stern_dreieck_umwandlung_1_w4) und Gl.~(eq:stern_dreieck_umwandlung_1_w6) folgt:\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{BC}=R_\\mathrm{AB}\\frac{R_\\mathrm{C0}}{R_\\mathrm{A0}}\n\\end{equation*}\nEinsetzen in Gl.~(eq:stern_dreieck_umwandlung_1_w6) liefert:\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{AB}^2\\frac{R_\\mathrm{C0}}{R_\\mathrm{A0}R_\\mathrm{B0}}=R_\\mathrm{AB}+R_\\mathrm{AB}\\frac{R_\\mathrm{C0}}{R_\\mathrm{B0}}+R_\\mathrm{AB}\\frac{R_\\mathrm{C0}}{R_\\mathrm{A0}}\n\\end{equation*}\n\\begin{multline*}\nR_\\mathrm{AB}=\\frac{R_\\mathrm{A0}R_\\mathrm{B0}}{R_\\mathrm{C0}}\\left(1+\\frac{R_\\mathrm{C0}}{R_\\mathrm{B0}}+\\frac{R_\\mathrm{C0}}{R_\\mathrm{A0}}\\right)\\rightarrow \n\nR_\\mathrm{AB}=R_\\mathrm{A0}+R_\\mathrm{B0}+\\frac{R_\\mathrm{A0}R_\\mathrm{B0}}{R_\\mathrm{C0}}\n\\end{multline*}\nin gleicher Weise folgt:\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{AC}=R_\\mathrm{A0}+R_\\mathrm{C0}+\\frac{R_\\mathrm{A0}R_\\mathrm{C0}}{R_\\mathrm{B0}}\n\\end{equation*}\nund\n\\begin{equation*}\nR_\\mathrm{BC}=R_\\mathrm{B0}+R_\\mathrm{C0}+\\frac{R_\\mathrm{B0}R_\\mathrm{C0}}{R_\\mathrm{A0}}\n\\end{equation*}\nDarstellung in Leitwertform:\n\\begin{equation*}\nG_\\mathrm{AB}=\\frac{G_\\mathrm{A0}G_\\mathrm{B0}}{G},\\ G_\\mathrm{AC}=\\frac{G_\\mathrm{A0}G_\\mathrm{C0}}{G},\\ G_\\mathrm{BC}=\\frac{G_\\mathrm{B0}G_\\mathrm{C0}}{G} \\text{ mit } G=G_\\mathrm{A0}+G_\\mathrm{B0}+G_\\mathrm{C0}\n\\end{equation*}\n\n- \\begin{multline*}\nR_\\mathrm{A0}=R_\\mathrm{B0}=R_\\mathrm{C0}=100\\Omega \\rightarrow \n\nR_\\mathrm{AB}=R_\\mathrm{AC}=R_\\mathrm{BC}=R_\\mathrm{AB} = R_\\mathrm{A0}+R_\\mathrm{B0}+\\frac{R_\\mathrm{A0}R_\\mathrm{B0}}{R_\\mathrm{C0}}=300\\ \\Omega\n\\end{multline*}\n\\begin{multline*}\nR_\\mathrm{AB}=R_\\mathrm{AC}=R_\\mathrm{BC}=300\\Omega \\rightarrow \n\nR_\\mathrm{A0}=R_\\mathrm{B0}=R_\\mathrm{C0} = \\frac{R_\\mathrm{AB}R_\\mathrm{AC}}{R_\\mathrm{AB}+R_\\mathrm{AC}+R_\\mathrm{BC}}=100\\ \\Omega\n\\end{multline*}",
    "figures": [
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-02-031-stern_dreieck_umwandlung-1: Stern Dreieck Umwandlung 1"
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      "chunk_id": "get-2425-v023-c05",
      "lecture_chapter": "2.5",
      "video_title": "Kap. 2.5 Zusammenschaltung resistiver Zweipole - Teil 2",
      "heading": "Stern-Dreieck-Umwandlung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8",
      "content": "Die Formeln für die Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt werden vorgestellt.\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=981s}{[00:16:21]} Die Formeln für die Umwandlung von Dreieck zu Stern lauten:\n\t\\begin{itemize}\n\t\t\\item $R_a = \\frac{R_{ab} R_{ac}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$\n\t\t\\item $R_b = \\frac{R_{ab} R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$\n\t\t\\item $R_c = \\frac{R_{ac} R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$\n\t\\end{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=1048s}{[00:17:28]} Die Formeln für die Umwandlung von Stern zu Dreieck lauten:\n\t\\begin{itemize}\n\t\t\\item $G_{ab} = \\frac{G_a G_b}{G_a + G_b + G_c}$\n\t\t\\item $G_{ac} = \\frac{G_a G_c}{G_a + G_b + G_c}$\n\t\t\\item $G_{bc} = \\frac{G_b G_c}{G_a + G_b + G_c}$\n\t\\end{itemize}\n\\end{itemize}"
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