skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.1.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.1",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Spannungs- und Stromteiler",
    "question": "Berechnen Sie die Ströme durch die Widerstände $R_1$ und $R_3$ für folgende Netzwerke:\n\n\\psTdL{1kl}{1)}\\psTdL{2kl}{2)}\n\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\\psMsC{R_1}\\psMsR{R_2}\\psMsL{R_3}\\psMsR{R_4}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-001-spannungs_und_stromteiler-1: Spannungs und Stromteiler 1](assets/et1-03-001-spannungs_und_stromteiler-1/01-Spannungs_und_Stromteiler_1.png)\n\n$U_\\mathrm{q} = 20 \\mathrm{V}$, $R_1 = 8 \\mathrm{k}\\Omega$, $R_2 = 12 \\mathrm{k}\\Omega$, $R_3 = 6 \\mathrm{k}\\Omega$, $R_4 = 4 \\mathrm{k}\\Omega$.\n\n- mittels Spannungsteilers,\n\n- mittels Stromteilers.",
    "short_solution": "$ 1) I_1=1,11\\mathrm{mA} $, $ I_3=U_\\mathrm{q}\\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2+R_3(R_1+R_2)}=1,85\\mathrm{mA} $\n\n$ 2) I_1=2\\mathrm{mA} $, $ I_3=U_\\mathrm{q} \\frac{R_2 R_4}{R_2 R_3 R_4 +R_1 R_3 R_4 +R_1 R_2 (R_3+R_4)}=0,667\\mathrm{mA}$",
    "solution_path": "- Netzwerk 1\n\n\\[\nI_1=\\dfrac{U_1}{R_1},\n\\]\n\\[ \nU_1=U_\\mathrm{q} \\dfrac{R_1||R_2}{R_1||R_2+R_3}=U_\\mathrm{q} \\dfrac{\\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}}{\\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}+R_3}=U_\\mathrm{q}\\dfrac{R_1 R_2}{R_1 R_2+R_3(R_1+R_2)}\n\\]\n\\[\n\\underline{I_1=U_\\mathrm{q}\\dfrac{R_2}{R_1 R_2+R_3(R_1+R_2)}=1,11\\mathrm{mA}}\n\\]\n\n\\[\nI_3=\\dfrac{U_3}{R_3},\n\\]\n\\[ \nU_3=U_\\mathrm{q} \\dfrac{R_3}{R_1||R_2+R_3}=U_\\mathrm{q} \\dfrac{R_3}{\\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}+R_3}=U_\\mathrm{q}\\dfrac{R_3(R_1+R_2)}{R_1 R_2+R_3(R_1+R_2)}\n\\]\n\\[\n\\underline{I_3=U_\\mathrm{q}\\dfrac{R_1+R_2}{R_1 R_2+R_3(R_1+R_2)}=1,85\\mathrm{mA}}\n\\]\nkürzer:\n\\[\nI_3=\\dfrac{U_\\mathrm{q}}{R_1||R_2+R_3}=\\dfrac{U_\\mathrm{q}}{\\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}+R_3}=U_\\mathrm{q}\\dfrac{R_1+R_2}{R_1 R_2+R_3(R_1+R_2)}\n\\]\n\n\\[\nI_1=\\dfrac{R_2}{R_1+R_2}I_3=U_\\mathrm{q}\\dfrac{R_2}{R_1 R_2+R_3(R_1+R_2)}\n\\]\n\nNetzwerk 2\n\n\\[ \nI_1 = \\frac{U_\\mathrm{q}}{R_1+R_2||R_3||R_4}=\\dfrac{U_\\mathrm{q}}{R_1+\\dfrac{1}{\\frac{1}{R_2}+\\frac{1}{R_3}+\\frac{1}{R_4}}}=2\\mathrm{mA}\n\\] \n\n\\[\nI_3=\\dfrac{U_3}{R_3}\n\\]\n\\[\nU_3=U_\\mathrm{q} \\dfrac{R_2||R_3||R_4}{R_1+R_2||R_3||R_4}=U_\\mathrm{q} \\dfrac{\\dfrac{1}{\\frac{1}{R_2}+\\frac{1}{R_3}+\\frac{1}{R_4}}}{R_1+\\dfrac{1}{\\frac{1}{R_2}+\\frac{1}{R_3}+\\frac{1}{R_4}}}\n\\]\n\\[\nU_3=U_\\mathrm{q} \\dfrac{R_2 R_3 R_4}{R_2 R_3 R_4 +R_1 R_3 R_4 +R_1 R_2 (R_3+R_4)}\n\\]\n\\[\n\\underline{I_3=U_\\mathrm{q} \\dfrac{R_2 R_4}{R_2 R_3 R_4 +R_1 R_3 R_4 +R_1 R_2 (R_3+R_4)}=0,667\\mathrm{mA}}\n\\]\n\n- Netzwerk 1\n\nBerechnung von $I_3$ siehe oben.\n\n\\[\nI_1=I_3\\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=U_\\mathrm{q}\\dfrac{R_1+R_2}{R_1 R_2+R_3(R_1+R_2)}\\cdot\\dfrac{R_2}{R_1+R_2}\n\\]\n\\[\n\\underline{I_1=U_\\mathrm{q}\\dfrac{R_2}{R_1 R_2+R_3(R_1+R_2)}=1,11\\mathrm{mA}}\n\\]\n\nNetzwerk 2\n\nBerechnung von $I_1$ siehe oben.\n\n\\[\nI_3 = I_1\\,\\frac{R_2||R_4}{R_3+R_2||R_4}\n\\]\n\n\\[\n\\underline{I_3=U_\\mathrm{q} \\dfrac{R_2 R_4}{R_2 R_3 R_4 +R_1 R_3 R_4 +R_1 R_2 (R_3+R_4)}=0,667\\mathrm{mA}}\n\\]",
    "figures": [
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        "id": "et1-03-001-spannungs_und_stromteiler-1-fig-01",
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        "latex_reference": "Spannungs_und_Stromteiler_1",
        "source_asset": "3-Elementare_Schaltungsanalyse/bilder/Spannungs_und_Stromteiler_1.eps",
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-03-001-spannungs_und_stromteiler-1: Spannungs und Stromteiler 1"
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      "chunk_id": "get-2425-v024-c01",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 1",
      "heading": "Spannungsteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg",
      "content": "Ein Spannungsteiler wird verwendet, um eine Spannung in kleinere Teilspannungen zu zerlegen. Er besteht aus einer \\textbf{Reihenschaltung von zwei Widerständen}, R1 und R2.\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=235s}{Die Formel für den Spannungsteiler lautet}:\n\n\\begin{equation}\n\t\\frac{U_2}{U} = \\frac{R_2}{R_1 + R_2}\n\\end{equation}\n\nDabei ist:\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\(U_2\\): die Teilspannung über dem Widerstand R2\n\t\\item U: die Gesamtspannung\n\t\\item \\(R_1\\), \\(R_2\\): die beiden Widerstände\n\\end{itemize}\n\nDas Verhältnis der Teilspannungen entspricht dem Verhältnis der Widerstände:\n\n\\begin{equation}\n\t\\frac{U_2}{U_1} = \\frac{R_2}{R_1}\n\\end{equation}\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=375s}{Als Anwendungsbeispiel} wird das \\textbf{Potentiometer} vorgestellt, bei dem durch einen verschiebbaren Abgriff das Verhältnis der Teilwiderstände und somit die Teilspannung stufenlos verändert werden kann."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v026-c02",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 3",
      "heading": "Stromteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE",
      "content": "Die Stromteilerregel ist das Äquivalent zur Spannungsteilerregel für Parallelschaltungen. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=35s}{[00:00:35]} Hier teilt sich der Gesamtstrom \\(I\\) auf die beiden parallel geschalteten Widerstände \\(R_1\\) und \\(R_2\\) in die Teilströme \\(I_1\\) und \\(I_2\\) auf. An beiden Widerständen liegt dieselbe Spannung \\(U\\) an. Die Teilströme lassen sich wie folgt berechnen:\n\\begin{align*}\n\tI_1 &= \\frac{U}{R_1} = U \\cdot G_1 \\\\\n\tI_2 &= \\frac{U}{R_2} = U \\cdot G_2\n\\end{align*}\nHierbei ist \\(G\\) der Leitwert, der Kehrwert des Widerstandes. Der Gesamtstrom \\(I\\) ist die Summe der Teilströme:\n\\[ I = I_1 + I_2 = (G_1 + G_2) \\cdot U \\]\nDas Verhältnis der Teilströme zueinander ist:\n\\[ \\frac{I_2}{I_1} = \\frac{G_2}{G_1} = \\frac{R_1}{R_2} \\]\nDas Verhältnis der Teilströme ist also gleich dem Verhältnis der Leitwerte oder dem umgekehrten Verhältnis der Widerstände. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=167s}{[00:02:47]}\n\nFür das Verhältnis des Teilstroms \\(I_2\\) zum Gesamtstrom \\(I\\) ergibt sich:\n\\[ \\frac{I_2}{I} = \\frac{G_2}{G_1 + G_2} = \\frac{\\frac{1}{R_2}}{\\frac{1}{R_1} + \\frac{1}{R_2}} = \\frac{R_1}{R_1 + R_2} \\]\nDas Verhältnis eines Teilstroms zum Gesamtstrom entspricht dem Verhältnis des Widerstandes des nicht durchflossenen Zweiges zur Summe der Widerstände. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=320s}{[00:05:20]}"
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