skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.14.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.14",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Überlagerungssatz",
    "question": "\\mpBR{7.5cm}{\nBerechnen Sie in der nebenstehenden Schaltung die Spannung $U$. \n\n}\n{\n\n\\psTdC{Iq1}{$I_\\mathrm{q1}$}\n\\psTdC{Iq2}{$I_\\mathrm{q2}$}\n\\psMsC{U}\n\\psMsL{R}\n\\psTdL{R1}{$R_1$}\n\\psTdL{R2}{$R_2$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-014-ueberlagerungssatz-4: Ueberlagerungssatz 4](assets/et1-03-014-ueberlagerungssatz-4/01-Ueberlagerungssatz_4.png)\n\n}",
    "short_solution": "$U=\\dfrac{R R_1}{2R + R_1+R_2}\\left(I_\\mathrm{q1}-I_\\mathrm{q2}\\right)$",
    "solution_path": "\\begin{align*}\nU&=U_{I_\\mathrm{q1}}+U_{I_\\mathrm{q2}}\n\nU_{I_\\mathrm{q1}}&=R I_\\mathrm{q1}\\cdot \\dfrac{R_1}{R_1+R_2+R||(R_1+R_2)} \\cdot \\dfrac{R_1 + R_2}{R + R_1 + R_2}\n\n&= R I_\\mathrm{q1} \\cdot \\dfrac{R_1}{R_1+R_2+\\dfrac{R(R_1 + R_2)}{R + R_1 + R_2}} \\cdot \\dfrac{R_1 + R_2}{R + R_1 + R_2}\n\nU_{I_\\mathrm{q1}}&=I_\\mathrm{q1}\\cdot \\dfrac{R R_1}{2R + R_1+R_2}\n\nU_{I_\\mathrm{q2}}&=-R I_\\mathrm{q2}\\cdot \\dfrac{R_1}{R_1+R_2+R||(R_1+R_2)} \\cdot \\dfrac{R_1 + R_2}{R + R_1 + R_2} =-I_\\mathrm{q2}\\cdot \\dfrac{R R_1}{2R + R_1+R_2}\n\n\\end{align*}\n\\[\n\\underline{U=\\dfrac{R R_1}{2R + R_1+R_2}\\left(I_\\mathrm{q1}-I_\\mathrm{q2}\\right)}\n\\]",
    "figures": [
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        "id": "et1-03-014-ueberlagerungssatz-4-fig-01",
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        "latex_reference": "Ueberlagerungssatz_4",
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      "lecture_chapter": "3.2",
      "video_title": "Kap. 3.2 Überlagerungssatz - Teil 2",
      "heading": "Einführung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=aphqqATzk7s",
      "content": "Dieses Video behandelt den Überlagerungssatz in der Elektrotechnik. \n\nZunächst wird das allgemeine Prinzip eines linearen Systems erläutert. Ein solches System hat einen Ausgang \\(y\\) und mehrere Eingänge \\(x_1, x_2, \\dots, x_n\\). Die Ausgabe ist eine Linearkombination der Eingänge:\n\n\\[ y = c_1x_1 + c_2x_2 + \\dots + c_nx_n = f(x_1, x_2, \\dots, x_n) \\]\n\nDiese Gleichung kann auch so umgeschrieben werden, dass die Gesamtwirkung die Summe der Teilwirkungen der einzelnen Ursachen ist:\n\n\\[ y = f(x_1, 0, \\dots, 0) + f(0, x_2, \\dots, 0) + \\dots + f(0, 0, \\dots, x_n) \\]\n\nBei einem linearen System ergibt sich die Gesamtwirkung durch Addition (Überlagerung) der Teilwirkungen, die von den jeweiligen Teilursachen ausgehen (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=aphqqATzk7s&t=182s}{03:02}).\n\nDieses Prinzip wird dann auf die Elektrotechnik übertragen. Hier sind die Eingänge unabhängige Spannungs- und Stromquellen und der Ausgang ist ein gesuchter Zweigstrom oder eine Zweigspannung. Für einen Zweigstrom \\(I_Z\\) in einem linearen resistiven Netzwerk mit mehreren Quellen gilt:\n\n\\[ I_Z = \\sum_{m=1}^{M} \\alpha_m I_{qm} + \\sum_{n=1}^{N} \\beta_n U_{qn} \\]\n\nDabei sind \\(\\alpha_m I_{qm}\\) und \\(\\beta_n U_{qn}\\) die Anteile am Zweigstrom, die von den Stromquellen \\(I_{qm}\\) bzw. den Spannungsquellen \\(U_{qn}\\) herrühren (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=aphqqATzk7s&t=263s}{04:23}).\n\nAnschließend wird ein Lösungsalgorithmus für den Überlagerungssatz vorgestellt:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item Eine Quelle \\(q\\) auswählen, deren Teilwirkung bestimmt werden soll.\n\t\\item Alle anderen Quellen deaktivieren:\n\t\\begin{itemize}\n\t\t\\item Spannungsquellen durch Kurzschluss ersetzen\n\t\t\\item Stromquellen durch Leerlauf ersetzen\n\t\\end{itemize}\n\t\\item Teilwirkungen (\\(I_{Zq}\\) oder \\(U_{Zq}\\)) verursacht durch \\(q\\) berechnen.\n\t\\item Punkt 1 wiederholen, bis alle Quellen erfasst sind.\n\t\\item Teilwirkungen addieren (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=aphqqATzk7s&t=415s}{06:55}).\n\\end{enumerate}\n\nAls Beispiel wird ein belasteter Spannungsteiler berechnet, bei dem die Spannung \\(U_2\\) gesucht ist. Die Spannung setzt sich aus den Anteilen der Spannungsquelle \\(U_q\\) und der Stromquelle \\(I_L\\) zusammen: \\(U_2 = U_{2,Uq} + U_{2,IL}\\) (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=aphqqATzk7s&t=674s}{11:14}).\n\nDer Anteil von \\(U_q\\) wird mit der Spannungsteilerregel berechnet:\n\\[ U_{2,Uq} = U_q \\cdot \\frac{R_2}{R_1+R_2} \\]\nDer Anteil von \\(I_L\\) wird berechnet, indem die Spannungsquelle kurzgeschlossen wird:\n\\[ U_{2,IL} = -I_L \\cdot (R_1 || R_2) = -I_L \\cdot \\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \\]\nDie Gesamtspannung ist dann die Summe der beiden Anteile:\n\\[ U_2 = U_q \\cdot \\frac{R_2}{R_1+R_2} - I_L \\cdot \\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \\]\n\nAbschließend wird die Frage geklärt, wie groß der Laststrom \\(I_L\\) sein darf, damit die Spannung \\(U_2\\) vom unbelasteten Fall höchstens um 10\\% abweicht. Die relative Abweichung ist:\n\\[ \\frac{\\Delta U}{U_{2,Uq}} = \\frac{R_1 I_L}{U_q} \\]\nDaraus folgt, dass der Betrag des Laststroms kleiner oder gleich sein muss als:\n\\[ |I_L| \\le \\frac{|U_q|}{10 R_1} \\]"
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