skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.19.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "3.19",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Wheatstonesche Brücke",
    "question": "\\mpBR{6.3cm}{\n\n- Berechnen Sie die Spannung $U_\\mathrm{{AB}}$ zwischen den Klemmen A und B \nallgemein mit der Stromteiler- oder der Spannungsteilerregel.\n\n- Wie groß ist $U_\\mathrm{{AB}}$ für $U_\\mathrm{q}=10\\mathrm{V}$ und \\linebreak \n$R_1 = 10\\Omega; R_2 = R_3 = R_4 = R_\\mathrm{q} = 5\\Omega$?\n\n- Unter welcher Bedingung gilt $U_\\mathrm{{AB}} = 0$?\n\n- Berechnen Sie den Innenwiderstand $R_\\mathrm{iAB}$ an den Klemmen\nAB mit Hilfe der Y-$\\triangle$-Transformation allgemein und für \\linebreak\n$R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R$, $R_\\mathrm{q} = 0,5 R$.\n\n}\n{\n\n\\psTdR{R_q}{$R_\\mathrm{q}$}\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\n\\psMsC{R_1}\\psMsC{R_2}\\psMsC{R_3}\\psMsC{R_4}\n\\psTdC{A}{\\klemme{A}}\\psTdC{B}{\\klemme{B}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-019-wheatstonesche_bruecke-2: Wheatstonesche Bruecke 2](assets/et1-03-019-wheatstonesche_bruecke-2/01-Wheatstonesche_Bruecke_2.png)\n\n}",
    "short_solution": "b) $U_\\mathrm{{AB}} = U_\\mathrm{q} \\cdot \\dfrac{R_1 R_3 - R_2 R_4}{R_\\mathrm{q}(R_1 + R_2 + R_3 + R_4) + (R_1 + R_4)(R_2 + R_3)}=909\\mathrm{mV}$\n\nc) $R_1R_3=R_2R_4$ \\:\\:\nd) $R_\\mathrm{{iAB}}=R$ \\:\\:",
    "solution_path": "- \\hfill\n\n\\mpBL{\\iffoil8cm\\else6cm}{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-019-wheatstonesche_bruecke-2: Wheatstonesche Bruecke 2 w1](assets/et1-03-019-wheatstonesche_bruecke-2/02-Wheatstonesche_Bruecke_2_w1.png)\n\n}\n{\nmit Stromteilerregel: \n\n$ I = \\frac{U_q}{R_q + (R_1 + R_4) || (R_2 + R_3)} $\n\\medskip\n\n$ I_1 = I \\cdot \\frac{R_2 + R_3}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} $, \n$ I_2 = I \\cdot \\frac{R_1 + R_4}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} $\n\\medskip\n\n$ U_{AB} = I_1 R_1 - I_2 R_2 $\n\\medskip\n\n$ U_{AB} = \\frac{I}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} \\cdot (R_1(R_2 + R_3) - R_2(R_1 + R_4)) $\n\n$ U_{AB} = U_q \\cdot \\frac{R_1 R_3 - R_2 R_4}{R_q(R_1 + R_2 + R_3 + R_4) + (R_1 + R_4)(R_2 + R_3)} $\n\n\\medskip\n\nmit Spannungsteilerregel: \n\\medskip\n\n$ U^\\prime = U_q \\cdot \\frac{(R_1 + R_4) || (R_2 + R_3)}{R_q + (R_1 + R_4) || (R_2 + R_3)} $\n\n$ U_{AB} = U^\\prime \\cdot \\left( \\frac{R_1}{R_1 + R_4} - \\frac{R_2}{R_2 + R_3} \\right) $\n\n}\n\nmit Spannungsteilerregel: \n\\medskip\n\n$ U^\\prime = U_q \\cdot \\frac{(R_1 + R_4) || (R_2 + R_3)}{R_q + (R_1 + R_4) || (R_2 + R_3)} $\n\n$ U_{AB} = U^\\prime \\cdot \\left( \\frac{R_1}{R_1 + R_4} - \\frac{R_2}{R_2 + R_3} \\right) $\n\n- $U_{AB}=909\\mathrm{mV}$\n\n- für $U_{AB}=0$ folgt die Brückenabgleichbedingung \n\n$R_1 R_3 = R_2 R_4$ bzw.\\ $\\frac{R_1}{R_2} = \\frac{R_4}{R_3}$\n\n- \\hfill\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-019-wheatstonesche_bruecke-2: Wheatstonesche Bruecke 2 w2](assets/et1-03-019-wheatstonesche_bruecke-2/03-Wheatstonesche_Bruecke_2_w2.png)\n\n$ R_{A0} = \\frac{R_1 R_4}{R_1 + R_4 + R_q} $, $ R_{C0} = \\frac{R_q R_4}{R_1 + R_4 + R_q} $, \n$ R_{D0} = \\frac{R_1 R_q}{R_1 + R_4 + R_q} $\n\nallgemein: $ R_{iAB} = R_{A0} + (R_{C0} + R_3) || (R_{D0} + R_2) $\n\nspeziell: $R_{A0} = \\frac{2}{5} R$, $R_{C0} = R_{D0} = \\frac{1}{5} R$, $R_{iAB} = R$",
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      "chunk_id": "get-2425-v025-c02",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 2",
      "heading": "Wheatstonesche Messbrücke",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug",
      "content": "Die Wheatstonesche Messbrücke ist eine Schaltung zur Bestimmung eines unbekannten Widerstandes $R_x$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=450s}{[00:07:30]}). Sie wurde 1843 von Charles Wheatstone vorgeschlagen.\n\nDie Schaltung besteht aus einer Parallelschaltung von zwei Reihenschaltungen. Der erste Zweig enthält den unbekannten Widerstand $R_x$ und einen bekannten Widerstand $R_n$. Der zweite Zweig enthält zwei bekannte, veränderbare Widerstände $R_3$ und $R_4$. Zwischen den beiden Reihenschaltungen wird ein Spannungsmessgerät angeschlossen, das die Spannung $U_{AB}$ misst (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=523s}{[00:08:43]}).\n\nDas Ziel ist es, die Widerstände $R_3$ und $R_4$ so einzustellen, dass die Spannung $U_{AB}$ zu Null wird. In diesem Fall fließt kein Strom durch das Messgerät, und die Brücke ist abgeglichen (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=624s}{[00:10:24]}).\n\nFür den abgeglichenen Zustand ($U_{AB} = 0$) gilt nach der Maschenregel: $U_2 = U_4$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=681s}{[00:11:21]}). Mit der Spannungsteilerregel für die beiden Zweige ergeben sich die folgenden Gleichungen:\n\\[ U_2 = U_q \\cdot \\frac{R_n}{R_n + R_x} \\]\n\\[ U_4 = U_q \\cdot \\frac{R_4}{R_3 + R_4} \\]\nSetzt man diese beiden Gleichungen gleich, erhält man die Abgleichbedingung der Wheatstoneschen Messbrücke (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=875s}{[00:14:35]}):\n\\[ \\frac{R_3}{R_4} = \\frac{R_x}{R_n} \\]\nDurch Umstellen dieser Gleichung kann der unbekannte Widerstand $R_x$ bestimmt werden."
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  ]
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