skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.2.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.2",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Spannungs- und Stromteiler",
    "question": "Gegeben ist die Schaltung:\n\n\\mpBL{9.5cm}{\n\n\\psMsC{R_1}\\psMsC{R_3}\\psMsL{R_2}\\psMsL{R_4}\n\\psMsC{I_1}\\psMsC{I_3}\\psMsL{I_2}\\psMsL{I_4}\n\\psMsL{U_4}\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-002-spannungs_und_stromteiler-2: Spannungs und Stromteiler 2](assets/et1-03-002-spannungs_und_stromteiler-2/01-Spannungs_und_Stromteiler_2.png)\n\n}\n{\n\\begin{align*}\nU_\\mathrm{q} &= 15 \\mathrm{V}, \n\nR_1 &= R_3 = 9 \\mathrm{k}\\Omega, \n\nR_2 &= R_4 = 1 \\mathrm{k}\\Omega\n\\end{align*}\n}\nBerechnen Sie formelmäßig und als Größenwert:\n\n- die Spannung $U_4$ und\n\n- die Ströme $I_2$, $I_3$ und $I_4$.",
    "short_solution": "a) $ U_4=U_\\mathrm{q} \\cdot \\frac{R_2 R_4}{R_1 R_2 + (R_1+R_2)(R_3+R_4)}=0,138\\mathrm{V} $ \n\nb) $ I_2=U_\\mathrm{q} \\cdot \\frac{(R_3+R_4)}{R_1 R_2 + (R_1+R_2)(R_3+R_4)}=1,38\\mathrm{mA} $, \\: $ I_3=I_4=0,138\\mathrm{mA} $",
    "solution_path": "- Doppelter Spannungsteiler:\n\\begin{align} U_4 &=U_q \\cdot \\frac{R_2 || (R_3 + R_4)}{R_1 + R_2 || (R_3 + R_4)} \\cdot \\frac{R_4}{R_3 + R_4} \n\n&= U_q \\cdot \\dfrac{\\frac{R_2(R_3+R_4)}{R_2+R_3+R_4}}{R_1 + \\frac{R_2(R_3+R_4)}{R_2+R_3+R_4}} \\cdot \\frac{R_4}{R_3 + R_4} \n\n&= U_q \\cdot \\dfrac{R_2(R_3+R_4)}{R_1(R_2+R_3+R_4)+R_2(R_3+R_4)}\\cdot \\frac{R_4}{R_3 + R_4} \n\n&=U_q \\cdot \\dfrac{R_2 R_4}{R_1 R_2 + (R_1+R_2)(R_3+R_4)} \n\nU_4 &= 0,138\\mathrm{V}\n\\end{align}\n\n- Gesamtstrom und Stromteilerregel:\n\\begin{align} \nI_1 &= \\frac{U_q}{R_1 + R_2 || (R_3 + R_4)} \\, , I_2= I_1 \\cdot \\frac{R_3 + R_4}{R_2 + R_3 + R_4} \n\nI_2 &= \\frac{U_q}{R_1 + R_2 || (R_3 + R_4)} \\cdot \\frac{R_3 + R_4}{R_2 + R_3 + R_4}\n\n&= \\frac{U_q}{R_1 +\\frac{R_2(R_3+R_4)}{R_2+R_3+R_4}} \\cdot \\frac{R_3 + R_4}{R_2 + R_3 + R_4}\n\n&= \\frac{U_q (R_3+R_4)}{R_1(R_2+R_3+R_4)+R_2(R_3+R_4)}\n\n&= \\frac{U_q (R_3+R_4)}{R_1 R_2 + (R_1+R_2)(R_3+R_4)}\n\nI_2 &= 1,38\\mathrm{mA} \n\nI_3 = I_4 &= I_1 \\cdot \\frac{R_2}{R_2 + R_3 + R_4} = { 0,138\\mathrm{mA}}\n\\end{align}",
    "figures": [
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        "id": "et1-03-002-spannungs_und_stromteiler-2-fig-01",
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      "chunk_id": "get-2425-v024-c01",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 1",
      "heading": "Spannungsteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg",
      "content": "Ein Spannungsteiler wird verwendet, um eine Spannung in kleinere Teilspannungen zu zerlegen. Er besteht aus einer \\textbf{Reihenschaltung von zwei Widerständen}, R1 und R2.\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=235s}{Die Formel für den Spannungsteiler lautet}:\n\n\\begin{equation}\n\t\\frac{U_2}{U} = \\frac{R_2}{R_1 + R_2}\n\\end{equation}\n\nDabei ist:\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\(U_2\\): die Teilspannung über dem Widerstand R2\n\t\\item U: die Gesamtspannung\n\t\\item \\(R_1\\), \\(R_2\\): die beiden Widerstände\n\\end{itemize}\n\nDas Verhältnis der Teilspannungen entspricht dem Verhältnis der Widerstände:\n\n\\begin{equation}\n\t\\frac{U_2}{U_1} = \\frac{R_2}{R_1}\n\\end{equation}\n\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=1itrPuVlSMg&t=375s}{Als Anwendungsbeispiel} wird das \\textbf{Potentiometer} vorgestellt, bei dem durch einen verschiebbaren Abgriff das Verhältnis der Teilwiderstände und somit die Teilspannung stufenlos verändert werden kann."
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v026-c02",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 3",
      "heading": "Stromteiler",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE",
      "content": "Die Stromteilerregel ist das Äquivalent zur Spannungsteilerregel für Parallelschaltungen. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=35s}{[00:00:35]} Hier teilt sich der Gesamtstrom \\(I\\) auf die beiden parallel geschalteten Widerstände \\(R_1\\) und \\(R_2\\) in die Teilströme \\(I_1\\) und \\(I_2\\) auf. An beiden Widerständen liegt dieselbe Spannung \\(U\\) an. Die Teilströme lassen sich wie folgt berechnen:\n\\begin{align*}\n\tI_1 &= \\frac{U}{R_1} = U \\cdot G_1 \\\\\n\tI_2 &= \\frac{U}{R_2} = U \\cdot G_2\n\\end{align*}\nHierbei ist \\(G\\) der Leitwert, der Kehrwert des Widerstandes. Der Gesamtstrom \\(I\\) ist die Summe der Teilströme:\n\\[ I = I_1 + I_2 = (G_1 + G_2) \\cdot U \\]\nDas Verhältnis der Teilströme zueinander ist:\n\\[ \\frac{I_2}{I_1} = \\frac{G_2}{G_1} = \\frac{R_1}{R_2} \\]\nDas Verhältnis der Teilströme ist also gleich dem Verhältnis der Leitwerte oder dem umgekehrten Verhältnis der Widerstände. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=167s}{[00:02:47]}\n\nFür das Verhältnis des Teilstroms \\(I_2\\) zum Gesamtstrom \\(I\\) ergibt sich:\n\\[ \\frac{I_2}{I} = \\frac{G_2}{G_1 + G_2} = \\frac{\\frac{1}{R_2}}{\\frac{1}{R_1} + \\frac{1}{R_2}} = \\frac{R_1}{R_1 + R_2} \\]\nDas Verhältnis eines Teilstroms zum Gesamtstrom entspricht dem Verhältnis des Widerstandes des nicht durchflossenen Zweiges zur Summe der Widerstände. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=kSIl2Y8DHlE&t=320s}{[00:05:20]}"
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