skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.20.json

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  "exercise": {
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    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Wheatstonesche Brücke",
    "question": "\\mpBR{\\iffoil7cm\\else5.2cm}{\n\n- Berechnen Sie für die gegebene Wheatstonesche Brücke die Leerlaufspannung, den Kurzschlussstrom und den Innenwiderstand für das Klemmenpaar \\klemme{AB} in Abhängigkeit von der Schleiferstellung $a$.\n\n- Berechnen Sie den Strom durch das Anzeigeinstrument mit dem\nWiderstand $R_\\mathrm{L}$ und stellen Sie ihn für $R_\\mathrm{X} = R_\\mathrm{N} = 2R = 2R_\\mathrm{L} $\nnormiert als Funktion von $a$ grafisch dar.\n\n}\n{\n\n\\psTdC{A}{\\klemme{A}}\\psTdR{B}{\\klemme{B}}\n\\psTdR{R_X}{$R_\\mathrm{X}$}\\psTdL{R_N}{$R_\\mathrm{N}$}\n\\psTdC{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\n\\psMsR{aR}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-020-wheatstonesche_bruecke-3: Wheatstonesche Bruecke 3](assets/et1-03-020-wheatstonesche_bruecke-3/01-Wheatstonesche_Bruecke_3.png)\n\n}",
    "short_solution": "b) $I/I_0={\\dfrac {2a-1}{2+a(1-a)}}, \\:\\: I_0={\\dfrac\n{U_\\mathrm{q}}{2R}}$",
    "solution_path": "- \\hfill\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-020-wheatstonesche_bruecke-3: Wheatstonesche Bruecke 3 w1](assets/et1-03-020-wheatstonesche_bruecke-3/02-Wheatstonesche_Bruecke_3_w1.png)\n\n$ U_L = -U_q (1 - a) + U_q \\frac{R_N}{R_X + R_N}\n= U_q \\left( a - \\frac{R_X}{R_X + R_N} \\right)\n= U_q \\left( \\frac{a (R_X + R_N) - R_X}{R_X + R_N} \\right)$\n\n\\smallskip \n$ R_i = a R \\Vert (1 - a)R + R_X \\Vert R_N\n= a (1 - a)R + \\frac{R_X R_N}{R_X + R_N}$\n\n$ R_i = \\frac{a (1 - a)R(R_X + R_N) + R_X R_N}{R_X + R_N}$, \n$ I_K = \\frac{U_L}{R_i}$\n\n- $ I = \\frac{U_L}{R_i + R_L}\n= \\frac{U_q (-R_X + a(R_X + R_N))}{R_L(R_X + R_N) + (R_X + R_N)a(1 - a)R + R_X R_N}$\n\n\\smallskip \n$ I = U_q \\frac{-R_X(1 - a) + aR_N}{R_X R_N + (R_X + R_N)(a(1 - a)R + R_L)}$\n\\bigskip \n\nSpezialfall: $R_X = R_N = 2R = 2R_L$\n\\bigskip\n\n$ I = U_q \\frac{-2R(1 - a) + 2aR}{4R^2 + 4R(a(1-a)R + R)}\n= \\frac{U_q}{2R} \\cdot \\frac{2a - 1}{2 + a(1-a)}$\n\n\\bigskip\nNormierungsgröße $ I_0 = \\frac{U_q}{2R}$ $\\Rightarrow$ \n\\fbox{$ \\frac{I}{I_0} = \\frac{2a - 1}{2 + a(1 - a)}$}\n\n\\smallskip \nAlternative Normierungsgröße $ I^* = I(a\\text{=}1) = \\frac{U_q}{4R} = \\frac{U_q}{2R_X}$ $\\Rightarrow$ \n$ \\frac{I}{I^*} = \\frac{4a - 2}{2 + a(1 - a)}$\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-020-wheatstonesche_bruecke-3: Wheatstonesche Bruecke 3 w2](assets/et1-03-020-wheatstonesche_bruecke-3/03-Wheatstonesche_Bruecke_3_w2.png)",
    "figures": [
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      "chunk_id": "get-2425-v025-c02",
      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 2",
      "heading": "Wheatstonesche Messbrücke",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug",
      "content": "Die Wheatstonesche Messbrücke ist eine Schaltung zur Bestimmung eines unbekannten Widerstandes $R_x$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=450s}{[00:07:30]}). Sie wurde 1843 von Charles Wheatstone vorgeschlagen.\n\nDie Schaltung besteht aus einer Parallelschaltung von zwei Reihenschaltungen. Der erste Zweig enthält den unbekannten Widerstand $R_x$ und einen bekannten Widerstand $R_n$. Der zweite Zweig enthält zwei bekannte, veränderbare Widerstände $R_3$ und $R_4$. Zwischen den beiden Reihenschaltungen wird ein Spannungsmessgerät angeschlossen, das die Spannung $U_{AB}$ misst (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=523s}{[00:08:43]}).\n\nDas Ziel ist es, die Widerstände $R_3$ und $R_4$ so einzustellen, dass die Spannung $U_{AB}$ zu Null wird. In diesem Fall fließt kein Strom durch das Messgerät, und die Brücke ist abgeglichen (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=624s}{[00:10:24]}).\n\nFür den abgeglichenen Zustand ($U_{AB} = 0$) gilt nach der Maschenregel: $U_2 = U_4$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=681s}{[00:11:21]}). Mit der Spannungsteilerregel für die beiden Zweige ergeben sich die folgenden Gleichungen:\n\\[ U_2 = U_q \\cdot \\frac{R_n}{R_n + R_x} \\]\n\\[ U_4 = U_q \\cdot \\frac{R_4}{R_3 + R_4} \\]\nSetzt man diese beiden Gleichungen gleich, erhält man die Abgleichbedingung der Wheatstoneschen Messbrücke (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=875s}{[00:14:35]}):\n\\[ \\frac{R_3}{R_4} = \\frac{R_x}{R_n} \\]\nDurch Umstellen dieser Gleichung kann der unbekannte Widerstand $R_x$ bestimmt werden."
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