skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.21.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.21",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Zweipolersatzschaltung",
    "question": "Gegeben sind folgende Schaltungen mit einem Einstellwiderstand, der bei der rechten Schaltung einen mit Masse verbundenen Mittelabgriff besitzt.\n\n\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\\psMsR{x=1}\\psMsR{x=0}\\psMsL{(1-x)R}\\psMsL{xR}\n\\psTdL{U_{AB}}{$U_\\mathrm{AB}$}\n\\psTdL{U_{AB}}{$U_\\klemme{AB}$}\n\\psTdL{A}{\\klemme{A}}\\psTdL{B}{\\klemme{B}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4: Zweipolersatzschaltung 4](assets/et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4/01-Zweipolersatzschaltung_4.png)\n\nLösen Sie die nachfolgenden Aufgaben für beide Schaltungen:\n\n- Berechnen Sie die Elemente der Zweipolersatzschaltung für die Klemmen \\klemme{A--B} als Funktion des Abgriffes $x$.\n\n- Stellen Sie die Elemente der Zweipolersatzschaltung in einer geeigneten Normierung für $0 \\leq x \\leq 1$ grafisch dar.",
    "short_solution": "- linke Schaltung: $ U_\\klemme{AB}=U_\\mathrm{q}(2x-1)$, \\: $ R_\\mathrm{i}=x(1-x)R $\n\nrechte Schaltung:\n\n$0 \\leq x \\leq 0,5 U_{\\klemme{AB}1}=U_\\mathrm{q}(2x-1)$, \\: $ R_\\mathrm{i}=x(1-2x)R $\n\n$0,5 < x \\leq 1 U_{\\klemme{AB}2}=U_\\mathrm{q}(2x-1)$, \\: $ R_\\mathrm{i}=(2x-1)(1-x)R $",
    "solution_path": "- { linke Schaltung:}\n\nMit dem Überlagerungssatz und der Spannungsteiler-Regel gilt:\n\n\\mpBL{0.5\\textwidth}\n{\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4: Zweipolersatzschaltung 4 w1](assets/et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4/02-Zweipolersatzschaltung_4_w1.png)\n}\n}\n{\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4: Zweipolersatzschaltung 4 w2](assets/et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4/03-Zweipolersatzschaltung_4_w2.png)\n}\n}\n\n$U_{AB} = U_{AB1} + U_{AB2} = x U_q - U_q (1-x) = U_q (2x - 1)$\n\n$U_{AB} = U_q (2x - 1)$\n\n$R_i = xR \\Vert (1-x)R = x(1-x)R$\n\n{ alternative Lösung}\n\n(wenn der Überlagerungssatz noch nicht zur Verfügung steht)\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4: Zweipolersatzschaltung 4 w7](assets/et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4/04-Zweipolersatzschaltung_4_w7.png)\n}\n\nMaschensätze:\n\n(1) $U_q + I x R + U_{AB} = 0$, (2) $2U_q + I R = 0$,\n$I = \\frac{2U_q}{R}$\n\n$U_{AB} = -U_q + \\frac{2U_q}{R} x R \\Rightarrow U_{AB} = U_q (2x-1)$\n\n\\newpage\n{ rechte Schaltung:}\n\nFallunterscheidung:\n\n\\mpBL{0.5\\textwidth}\n{\n$0 \\leq x \\leq \\frac{1}{2}$\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4: Zweipolersatzschaltung 4 w3](assets/et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4/05-Zweipolersatzschaltung_4_w3.png)\n}\n\n$U_{AB1} = U_q (2x-1)$\n\n$R_i = (1-2x)\\frac{R}{2} \\Vert xR$\n\n$R_i = x(1-2x)R$\n}\n{\n$\\frac{1}{2} < x \\leq 1$\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4: Zweipolersatzschaltung 4 w4](assets/et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4/06-Zweipolersatzschaltung_4_w4.png)\n}\n\n$U_{AB2} = U_q (2x-1)$\n\n$R_i = (2x-1)\\frac{R}{2} \\Vert (1-x)R$\n\n$R_i = (2x-1)(1-x)R$\n}\n\n- grafische Darstellung der Funktionen (siehe Diagramme):\n\nlinke Schaltung: $\\frac{U_{AB}}{U_q} = (2x-1)$, $\\frac{R_i}{R} = x(1-x)$\n\nrechte Schaltung:\n\n$0 \\leq x \\leq \\frac{1}{2}$: $\\frac{U_{AB1}}{U_q} = (2x-1)$, \n$\\frac{R_i}{R} = x(1-2x)$\n\n$\\frac{1}{2} < x \\leq 1$: $\\frac{U_{AB2}}{U_q} = (2x-1)$, \n$\\frac{R_i}{R} = (2x-1)(1-x)$\n\nlinke Schaltung: $\\Delta U_{AB} = \\Delta U_q (2x-1)$\n\nrechte Schaltung:\n\n$0 \\leq x \\leq \\frac{1}{2}$: $\\Delta U_{AB1} = \\Delta U_q (2x-1)$\n\n$\\frac{1}{2} < x \\leq 1$: $\\Delta U_{AB2} = \\Delta U_q (2x-1)$\n\nDiskussion:\n\nSchaltungen dieser Art werden zur Kompensation der sog. \"`Offsetspannung\"'\nz.\\,B.\\ bei Operationsverstärkern eingesetzt. Der übliche Arbeitsbereich der\nEinstellwiderstände liegt dabei bei $x \\approx 0,5$. Dort hat die rechte\nSchaltung den Vorteil, daß der Innenwiderstand geringer ist.\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4: Zweipolersatzschaltung 4 w5](assets/et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4/07-Zweipolersatzschaltung_4_w5.png)\n}\n\n\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4: Zweipolersatzschaltung 4 w6](assets/et1-03-021-zweipolersatzschaltung-4/08-Zweipolersatzschaltung_4_w6.png)\n}",
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      "video_title": "Kap. 3.3 Zweipoltheorie - Teil 1",
      "heading": "Ersatzschaltungen",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8",
      "content": "Jeder aktive lineare Zweipol kann durch eine von zwei einfachen Ersatzschaltungen repräsentiert werden, die sich bezüglich des Klemmenverhaltens identisch verhalten:\n\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8&t=371s}{Spannungsquellenersatzschaltung (Thévenin-Theorem)}: Eine ideale Spannungsquelle mit der Spannung $U_L$ in Reihe mit dem Innenwiderstand $R_i$.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8&t=387s}{Stromquellenersatzschaltung (Norton-Theorem)}: Eine ideale Stromquelle mit dem Strom $I_K$ parallel zum Innenwiderstand $R_i$.\n\\end{itemize}"
    },
    {
      "chunk_id": "get-2425-v029-c03",
      "lecture_chapter": "3.3",
      "video_title": "Kap. 3.3 Zweipoltheorie - Teil 1",
      "heading": "Bestimmung der Parameter",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8",
      "content": "Um die Ersatzschaltung zu erstellen, müssen die drei Parameter $U_L$, $I_K$ und $R_i$ bestimmt werden, wobei nur zwei davon unabhängig sind.\n\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8&t=490s}{Bestimmung von $U_L$}: Die Spannung an den offenen Klemmen wird berechnet.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8&t=523s}{Bestimmung von $I_K$}: Der Strom durch die kurzgeschlossenen Klemmen wird berechnet.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8&t=542s}{Bestimmung von $R_i$}: Alle unabhängigen Quellen im Zweipol werden deaktiviert (Spannungsquellen durch Kurzschlüsse, Stromquellen durch Unterbrechungen ersetzt) und der Ersatzwiderstand an den Klemmen wird bestimmt.\n\\end{enumerate}"
    }
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