skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.23.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "3.23",
    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Strom- und Spannungsmessung",
    "question": "\\mpBR{7cm}{\nIn der nebenstehenden Schaltung sollen Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom gemessen\nwerden.\n\n$U_\\mathrm{q} = 30 \\mathrm{V}$, $R_1 = R_2 = 10 \\mathrm{k}\\Omega$, \\mbox{$R_3 = 20 \\mathrm{k}\\Omega$}.\n\n}\n{\n\n\\psTdL{A}{\\klemme{A}}\n\\psTdL{B}{\\klemme{B}}\n\n\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\\psMsR{R_2}\\psMsC{R_1}\\psMsC{R_3}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-023-strom_und_spannungsmessung-1: Strom und Spannungsmessung 1-2](assets/et1-03-023-strom_und_spannungsmessung-1/01-Strom_und_Spannungsmessung_1-2.png)\n\n}\n\n- Welchen Wert muss der Widerstand des Spannungsmessers mindestens besitzen, wenn die angezeigte Spannung maximal um $0,5\\;\\%$ von der Leerlaufspannung ab\\-weichen darf?\n\n- Wie groß ist der Leistungsverbrauch des Strommessers, wenn die relative Mess\\-ab\\-weichung $f$ des gemessenen Stromes $1\\;\\%$ ist?\n\n\\hinw{Verwenden Sie die Näherung $(1\\pm x)^{-1}\\approx 1\\mp x$ für\n$x \\ll 1$.}",
    "short_solution": "a) $ R_\\mathrm{V}=4,98\\mathrm{M}\\Omega $\\:\\: b)$ P_\\mathrm{A}=89,1\\muW $",
    "solution_path": "- Lösung zweckmäßig mit Hilfe der Zweipolersatzschaltung:\n\n\\mpBL{7cm}\n{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-023-strom_und_spannungsmessung-1: Strom und Spannungsmessung 1 w2](assets/et1-03-023-strom_und_spannungsmessung-1/02-Strom_und_Spannungsmessung_1_w2.png)\n\n}\n{\n$\\text{Sollwert}: U_{AB} =U_L$\n\n$\\text{Istwert}: U_{AB_M} = U_L \\frac{R_V}{R_i + R_V}$\n}\n\\[ \nU_L = U_q \\frac{R_2}{R_1 + R_2} = { 15\\mathrm{V}}, \nR_i = R_3 + R_1 \\Vert R_2 = { 25\\mathrm{k}\\Omega}\n\\]\nrelative Abweichung \n\\[\nf = -5 \\cdot 10^{-3}= \\frac{\\Delta U_{AB}}{U_{AB}} = \\frac{U_{AB_M} - U_{AB}}{U_{AB}}\n= \\frac{U_{AB_M}}{U_L} - 1 = \\frac{R_V}{R_i + R_V} - 1 = -\\frac{R_i}{R_i + R_V} \n\\]\n\\[ \nR_V = -R_i \\left( 1 + \\frac{1}{f} \\right)= -25\\mathrm{k}\\Omega (1-200) = 4,975\\mathrm{M}\\Omega \\approx { 4,98\\mathrm{M}\\Omega}\n\\]\n\n- Lösung zweckmäßig mit Hilfe der Zweipolersatzschaltung:\n\n\\mpBL{7cm}\n{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-023-strom_und_spannungsmessung-1: Strom und Spannungsmessung 1 w1](assets/et1-03-023-strom_und_spannungsmessung-1/03-Strom_und_Spannungsmessung_1_w1.png)\n\n}\n{\n$\\text{Sollwert:} I=I_K$\n\n$\\text{Istwert:} I_M = I_K \\frac{R_i}{R_i + R_A}$\n}\n\nmit Stromteiler:\n\\[\nI_K = \\frac{U_q}{R_1 + R_2 \\Vert R_3} \\cdot \\frac{R_2}{R_2 + R_3} = { 0,6\\mathrm{mA}}\n\\]\n\\[\nR_i = R_3 + R_1 \\Vert R_2 = { 25\\mathrm{k}\\Omega}\n\\]\n\nrelative Abweichung \n\\[\nf = -10^{-2} = \\frac{\\Delta I}{I} = \\frac{I_M - I}{I} = \\frac{I_M}{I_K} - 1\n= \\frac{R_i}{R_i + R_A} - 1 = -\\frac{R_A}{R_i + R_A}\n\\]\n\\[\nR_A = -R_i \\frac{f}{1 + f} = 25\\mathrm{k}\\Omega \\cdot \\frac{10^{-2}}{0,99} = { 253\\Omega}\n\\]\n\n\\[\nI_M = I_K (1 + f) = 0,594\\mathrm{mA} \\Rightarrow P_A = I_M^2 R_A = (0,99\\;I_K)^2 R_A = -f(1+f) R_i I_K^2 = { 89,1\\muW}\n\\]",
    "figures": [
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      "video_title": "Kap. 3.3 Zweipoltheorie - Teil 1",
      "heading": "Bestimmung der Parameter",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8",
      "content": "Um die Ersatzschaltung zu erstellen, müssen die drei Parameter $U_L$, $I_K$ und $R_i$ bestimmt werden, wobei nur zwei davon unabhängig sind.\n\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8&t=490s}{Bestimmung von $U_L$}: Die Spannung an den offenen Klemmen wird berechnet.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8&t=523s}{Bestimmung von $I_K$}: Der Strom durch die kurzgeschlossenen Klemmen wird berechnet.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=_N-jxoUe2f8&t=542s}{Bestimmung von $R_i$}: Alle unabhängigen Quellen im Zweipol werden deaktiviert (Spannungsquellen durch Kurzschlüsse, Stromquellen durch Unterbrechungen ersetzt) und der Ersatzwiderstand an den Klemmen wird bestimmt.\n\\end{enumerate}"
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