skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/3.9.json

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  "exercise": {
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    "chapter_number": 3,
    "chapter": "Elementare Schaltungsanalyse",
    "title": "Wheatstonesche Brücke",
    "question": "\\mpBR{5.5cm}{\nDie Wheatstonesche Brücke ermöglicht die Bestimmung unbekannter \nWiderstände $R_\\mathrm{X}$, der Widerstand $R_\\mathrm{N}$ ist ein Normalwiderstand.\n\nDas Widerstandsverhältnis $R_1/R_2$ wird z.\\;B. mittels eines Abgriffes auf \neinem Schleifdraht so variiert, dass der Strom durch das Anzeigeinstrument \nNull ist.\n\nZeigen Sie, dass für diesen Fall des Brückenabgleiches die Beziehung \n$R_\\mathrm{x}=R_\\mathrm{N}\\dfrac{R_1}{R_2}$ gilt.\n}\n{\n\n\\psTdR{R_X}{$R_\\mathrm{X}$}\\psTdL{R_N}{$R_\\mathrm{N}$}\\psMsR{R_1}\\psMsL{R_2}\n\\psTdC{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-009-wheatstonesche_bruecke-1: Wheatstonesche Bruecke 1](assets/et1-03-009-wheatstonesche_bruecke-1/01-Wheatstonesche_Bruecke_1.png)\n\n}",
    "short_solution": "$ $",
    "solution_path": "\\centerline{\n![Abbildung zur Aufgabe et1-03-009-wheatstonesche_bruecke-1: Wheatstonesche Bruecke 1 w1](assets/et1-03-009-wheatstonesche_bruecke-1/02-Wheatstonesche_Bruecke_1_w1.png)\n}\n\n$ U_A = U_q \\cdot \\frac{R_x}{R_x + R_N} $, $ U_B = U_q \\cdot \\frac{R_1}{R_1 + R_2} $, \n$ U_{AB} = -U_A + U_B $\n\n$ U_{AB} = U_q \\cdot \\left( \\frac{R_1}{R_1 + R_2} - \\frac{R_x}{R_x + R_N} \\right) \n= U_q \\cdot \\left( \\frac{R_1(R_x + R_N) - R_x(R_1 + R_2)}{(R_1 + R_2)(R_x + R_N)} \\right) $\n\n$ U_{AB} = U_q \\cdot \\left( \\frac{R_1 R_N - R_x R_2}{(R_1 + R_2)(R_x + R_N)} \\right) $\n\nBrückenabgleichbedingung: $ \\frac{R_x}{R_N} = \\frac{R_1}{R_2} $ für $ U_{AB} = 0 $",
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      "lecture_chapter": "3.1",
      "video_title": "Kap. 3.1 Spannungs- und Stromteiler - Teil 2",
      "heading": "Wheatstonesche Messbrücke",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug",
      "content": "Die Wheatstonesche Messbrücke ist eine Schaltung zur Bestimmung eines unbekannten Widerstandes $R_x$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=450s}{[00:07:30]}). Sie wurde 1843 von Charles Wheatstone vorgeschlagen.\n\nDie Schaltung besteht aus einer Parallelschaltung von zwei Reihenschaltungen. Der erste Zweig enthält den unbekannten Widerstand $R_x$ und einen bekannten Widerstand $R_n$. Der zweite Zweig enthält zwei bekannte, veränderbare Widerstände $R_3$ und $R_4$. Zwischen den beiden Reihenschaltungen wird ein Spannungsmessgerät angeschlossen, das die Spannung $U_{AB}$ misst (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=523s}{[00:08:43]}).\n\nDas Ziel ist es, die Widerstände $R_3$ und $R_4$ so einzustellen, dass die Spannung $U_{AB}$ zu Null wird. In diesem Fall fließt kein Strom durch das Messgerät, und die Brücke ist abgeglichen (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=624s}{[00:10:24]}).\n\nFür den abgeglichenen Zustand ($U_{AB} = 0$) gilt nach der Maschenregel: $U_2 = U_4$ (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=681s}{[00:11:21]}). Mit der Spannungsteilerregel für die beiden Zweige ergeben sich die folgenden Gleichungen:\n\\[ U_2 = U_q \\cdot \\frac{R_n}{R_n + R_x} \\]\n\\[ U_4 = U_q \\cdot \\frac{R_4}{R_3 + R_4} \\]\nSetzt man diese beiden Gleichungen gleich, erhält man die Abgleichbedingung der Wheatstoneschen Messbrücke (\\href{https://www.youtube.com/watch?v=s86pJlpZvug&t=875s}{[00:14:35]}):\n\\[ \\frac{R_3}{R_4} = \\frac{R_x}{R_n} \\]\nDurch Umstellen dieser Gleichung kann der unbekannte Widerstand $R_x$ bestimmt werden."
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