skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/4.1.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "4.1",
    "chapter_number": 4,
    "chapter": "Grundstromkreis",
    "title": "Strom, Spannung und Leistung im Grundstromkreis",
    "question": "Berechnen Sie für den angegebenen Grundstromkreis die normierten Größen\n$I/I_\\mathrm{k}$, $U/U_\\mathrm{l}$, $P_\\mathrm{a}/P_0$ und $P_\\mathrm{i}/P_0$ und stellen Sie sie in Abhängigkeit von\n$x = R_\\mathrm{a}/R_\\mathrm{i}$ in doppelt logarithmischem Maßstab grafisch dar ( $0,01 \\leq x \\leq 100$).\n\n\\mpBL{6.6cm}\n{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-04-001-strom_spannung_und_leistung_im_grundstromkreis-1: Strom Spannung und Leistung im Grundstromkreis 1](assets/et1-04-001-strom_spannung_und_leistung_im_grundstromkreis-1/01-Strom_Spannung_und_Leistung_im_Grundstromkreis_1.png)\n\n}\n{\n\\begin{tabular}{ll}\n$U_\\mathrm{l}$ & Leerlaufspannung\n\n$I_\\mathrm{k}$ & Kurzschlussstrom\n\n$P_\\mathrm{a}$ & an $R_\\mathrm{a}$ umgesetzte Leistung\n\n$P_\\mathrm{i}$ & an $R_\\mathrm{i}$ umgesetzte Leistung\n\n$P_0 = U_\\mathrm{l}\\cdot I_\\mathrm{k}$ & Normierungsgröße\n\\end{tabular} }\n\nDiskutieren Sie die Fälle $x\\ll1$, $x = 1$ und $x \\gg 1$ und kennzeichnen Sie sie im $ U $-$ I $-Diagramm.",
    "short_solution": "$ $",
    "solution_path": "\\begin{small}\n\\begin{align*}\nI &= \\frac{U_q}{R_i + R_a}, I_k = \\frac{U_q}{R_i}, &\n\\frac{I}{I_k} &= \\frac{R_i}{R_i + R_a} = \\frac{1}{1 + x} , mit x=\\frac{R_a}{R_i}, \n\nU &= \\frac{U_q R_a}{R_i +R_a}, U_l =U_q, &\n\\frac{U}{U_l} &= \\frac{R_a}{R_i + R_a} = \\frac{x}{1 + x},\n\nP_a &= U I = \\frac{{U_q}^2 R_a}{(R_i + R_a)^2} = U_l I_k \\frac{R_i R_a}{(R_i + R_a)^2}, &\n\\frac{P_a}{P_{\\text{angeb}}} &= \\frac{x}{(1 + x)^2}, \n\nP_i &= I^2R_i = \\frac{{U_q}^2 R_i}{(R_i + R_a)^2}=U_l I_k \\frac{{R_i}^2}{(R_i + R_a)^2}, &\n\\frac{P_i}{P_{\\text{angeb}}} &= \\frac{1}{(1 + x)^2}.\n\\end{align*}\n\\end{small}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-04-001-strom_spannung_und_leistung_im_grundstromkreis-1: Strom Spannung und Leistung im Grundstromkreis 1 w2](assets/et1-04-001-strom_spannung_und_leistung_im_grundstromkreis-1/02-Strom_Spannung_und_Leistung_im_Grundstromkreis_1_w2.png)\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-04-001-strom_spannung_und_leistung_im_grundstromkreis-1: Strom Spannung und Leistung im Grundstromkreis 1 w3](assets/et1-04-001-strom_spannung_und_leistung_im_grundstromkreis-1/03-Strom_Spannung_und_Leistung_im_Grundstromkreis_1_w3.png)\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-04-001-strom_spannung_und_leistung_im_grundstromkreis-1: Strom Spannung und Leistung im Grundstromkreis 1 w1](assets/et1-04-001-strom_spannung_und_leistung_im_grundstromkreis-1/04-Strom_Spannung_und_Leistung_im_Grundstromkreis_1_w1.png)",
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      "chunk_id": "get-2425-v033-c01",
      "lecture_chapter": "4.1",
      "video_title": "Kap. 4.1 Strom- und Spannungsbeziehungen",
      "heading": "4.1 Strom- und Spannungsbeziehungen",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=C5YuXBjnhCQ",
      "content": "Zunächst werden die Strom- und Spannungsbeziehungen in diesem Aufbau analysiert. Der aktive Zweipol wird als \\href{https://www.youtube.com/watch?v=C5YuXBjnhCQ&t=165s}{Spannungsquellenersatzschaltung} modelliert, bestehend aus einer idealen Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung \\(U_L\\) und einem Innenwiderstand \\(R_i\\). An diesen aktiven Zweipol wird ein passiver Zweipol, der Verbraucher, als Abschlusswiderstand \\(R_a\\) angeschlossen.\n\nDie Spannung \\(U\\) über dem Verbraucher und der Strom \\(I\\) durch den Verbraucher werden untersucht.\n\nMit den Methoden der Netzwerkanalyse, speziell dem Spannungsteiler, lässt sich die Spannung \\(U\\) über dem Abschlusswiderstand \\(R_a\\) bestimmen \\href{https://www.youtube.com/watch?v=C5YuXBjnhCQ&t=173s}{[00:02:53]}:\n\\[\nU = U_L \\cdot \\frac{R_a}{R_a + R_i}\n\\]\n\nDer Strom \\(I\\), der durch die Schaltung fließt, ergibt sich aus dem Ohmschen Gesetz, indem die Gesamtspannung durch den Gesamtwiderstand geteilt wird \\href{https://www.youtube.com/watch?v=C5YuXBjnhCQ&t=185s}{[00:03:05]}:\n\\[\nI = \\frac{U_L}{R_a + R_i}\n\\]\n\nAnschließend werden diese Größen normiert, um ihre Abhängigkeit vom Widerstandsverhältnis \\(\\frac{R_a}{R_i}\\) darzustellen. Die Spannung wird auf die Leerlaufspannung \\(U_L\\) bezogen \\href{https://www.youtube.com/watch?v=C5YuXBjnhCQ&t=242s}{[00:04:02]}:\n\\[\n\\frac{U}{U_L} = \\frac{\\frac{R_a}{R_i}}{1 + \\frac{R_a}{R_i}}\n\\]\n\nDer Strom wird auf den Kurzschlussstrom \\(I_K\\) normiert, wobei \\(U_L = R_i \\cdot I_K\\). Dies führt zu folgendem Ausdruck \\href{https://www.youtube.com/watch?v=C5YuXBjnhCQ&t=265s}{[00:04:25]}:\n\\[\n\\frac{I}{I_K} = \\frac{1}{1 + \\frac{R_a}{R_i}}\n\\]\n\nDiese normierten Verhältnisse werden \\href{https://www.youtube.com/watch?v=C5YuXBjnhCQ&t=314s}{grafisch dargestellt}, wobei das Widerstandsverhältnis \\(\\frac{R_a}{R_i}\\) auf der x-Achse aufgetragen wird.\n\\begin{itemize}\n\t\\item Das Spannungsverhältnis \\(\\frac{U}{U_L}\\) (rote Kurve) startet bei 0 (für \\(R_a=0\\), Kurzschluss) und nähert sich asymptotisch dem Wert 1 an (für \\(R_a \\to \\infty\\), Leerlauf). Bei \\(R_a = R_i\\) beträgt der Wert 0,5.\n\t\\item Das Stromverhältnis \\(\\frac{I}{I_K}\\) (grüne Kurve) startet bei 1 (für \\(R_a=0\\), Kurzschluss) und nähert sich asymptotisch dem Wert 0 an (für \\(R_a \\to \\infty\\), Leerlauf). Bei \\(R_a = R_i\\) beträgt der Wert ebenfalls 0,5.\n\\end{itemize}\n\nDie Analyse schließt mit dem Hinweis, dass die Leistung, als Produkt aus Spannung und Strom, an einem Punkt zwischen diesen Extremen maximal sein muss, was im nächsten Kapitel über den Leistungsumsatz behandelt wird \\href{https://www.youtube.com/watch?v=C5YuXBjnhCQ&t=545s}{[00:09:05]}."
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