skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/4.2.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "4.2",
    "chapter_number": 4,
    "chapter": "Grundstromkreis",
    "title": "Leistung, Wirkungsgrad",
    "question": "An einem Generator (Leerlaufspannung $U_\\mathrm{q} = 60 \\mathrm{V}$, Innenwiderstand $R_\\mathrm{i} = 500\\Omega$) soll ein Verbraucher angeschlossen werden, der durch einen Ohmschen Widerstand $R_\\mathrm{a}$ darstellbar ist.\n\n- Bei welchem Wert von $R_\\mathrm{a}$ wird im Verbraucher die größte Leistung umgesetzt und wie groß ist diese Leistung?\n\n- Stellen Sie den Wirkungsgrad als Funktion von $R_\\mathrm{a}/R_\\mathrm{i}$ dar.\n\n- Wie groß sind Verbraucherleistung und Wirkungsgrad für $R_\\mathrm{a} = 0$ und $R_\\mathrm{a} \\gg R_\\mathrm{i}$ ?",
    "short_solution": "a) $ R_\\mathrm{a}=500\\Omega$, \\: $P_{\\mathrm{a}\\max}=1,8\\mathrm{W}$",
    "solution_path": "\\noindent\n\n- Anpassung $R_a =R_i = 500 \\Omega$, \n$P_{a\\max} = \\frac{({U_q/2})^2}{R_a} = \\frac{{U_q}^2}{4 R_i} = 1,8 \\mathrm{W}$.\n\n- Wirkungsgrad\n$ \\eta = \\frac{P_a}{P_q} = \\frac{U_a I}{U_q I} = \\frac{U_a}{U_q}\n= \\frac{R_a}{R_a + R_i} = \\frac{(R_a/R_i)}{1+(R_a/R_i)}$\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-04-002-leistung_wirkungsgrad-1: Leistung Wirkungsgrad 1 w1](assets/et1-04-002-leistung_wirkungsgrad-1/01-Leistung_Wirkungsgrad_1_w1.png)\n\n- $\\begin{array}[t]{lll}\nR_{a} = 0: & P_{a} = 0, & \\eta = 0\n\nR_{a} \\gg R_{i}: & P_{a} \\rightarrow 0, & \\eta \\rightarrow 1\n\\end{array}$",
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-04-002-leistung_wirkungsgrad-1: Leistung Wirkungsgrad 1 w1"
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      "lecture_chapter": "4.2",
      "video_title": "Kap. 4.2 Leistungsumsatz im Grundstromkreis - Teil 1",
      "heading": "Leistungen im Stromkreis",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A",
      "content": "Die von der Quelle gelieferte Leistung wird mit \\(P_q\\) bezeichnet. Diese teilt sich auf in die am Verbraucher umgesetzte Leistung \\(P_a\\) und die im Innenwiderstand als Verlustleistung umgesetzte Leistung \\(P_i\\). \\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=56s}{[00:00:56]}\n\nDie von der Quelle gelieferte Leistung \\(P_q\\) lässt sich wie folgt berechnen:\n\\begin{equation}\n\tP_q = U_L \\cdot I = \\frac{U_L^2}{R_a + R_i} = I^2 \\cdot (R_i + R_a)\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=130s}{[00:02:10]}\n\nFür den Spezialfall des Kurzschlusses (\\(R_a = 0\\)) wird die angebotene Leistung \\(P_{q0}\\) betrachtet:\n\\begin{equation}\n\tP_{q0} = U_L \\cdot I_K = \\frac{U_L^2}{R_i}\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=210s}{[00:03:30]}\n\nDie am Verbraucher umgesetzte Leistung \\(P_a\\) wird beschrieben durch:\n\\begin{equation}\n\tP_a = U \\cdot I = \\frac{U^2}{R_a} = I^2 \\cdot R_a\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=337s}{[00:05:37]}\n\nDer Wirkungsgrad \\(\\eta\\) ist das Verhältnis der am Verbraucher umgesetzten Leistung zur von der Quelle gelieferten Leistung:\n\\begin{equation}\n\t\\eta = \\frac{P_a}{P_q} = \\frac{I^2 \\cdot R_a}{I^2 \\cdot (R_a + R_i)} = \\frac{R_a}{R_a + R_i}\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=527s}{[00:08:47]}"
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