skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/4.4.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "4.4",
    "chapter_number": 4,
    "chapter": "Grundstromkreis",
    "title": "Maximale Leistung",
    "question": "Gegeben ist ein Generator (Spannungsquelle mit Reihenwiderstand) mit einer Leerlaufspannung $U_\\mathrm{q} = 60 \\mathrm{V}$ und einem Innenwiderstand $R_\\mathrm{i} = 15 \\Omega$.\n\n- Die Belastung soll so erfolgen, dass der Generator die maximale Leistung an den Verbraucher abgibt.\nWie groß sind dann $R_\\mathrm{a}$ und $P_\\mathrm{a}$?\n\n- Dieser Generator soll so betrieben werden, dass die Leistungsabgabe möglichst hoch ist und der Wirkungsgrad mindestens $95\\%$ beträgt.\n\nWie groß sind dann der Belastungswiderstand $R_\\mathrm{a}$, die innere Verlustleistung $P_\\mathrm{i}$ und die abgegebene Leistung $P_\\mathrm{a}$?\n\n- Der Generator verträgt eine zulässige innere Verlustleistung $P_{\\mathrm{i}\\text{\\,zul}} = 30 \\mathrm{W}$.\n\nWie muss der Belastungswiderstand gewählt werden, damit er möglichst hohe Leistung aufnimmt, ohne den Generator zu überlasten?\n\nWie groß ist diese Leistung?",
    "short_solution": "a) $R_\\mathrm{a}=15\\Omega$; \\: $ P_\\mathrm{a}=60\\mathrm{W} $ \\:\\: b) $ R_\\mathrm{a}=285\\Omega$; \\: $P_\\mathrm{a}=11,4\\mathrm{W}$; \\: $ P_\\mathrm{i}=0,6\\mathrm{W} $ \n\nc) $ R_{\\mathrm{a}\\text{\\,zul}}=27,4\\Omega $; \\: $ P_{\\mathrm{a}\\text{\\,zul}}=54,8\\mathrm{W} $",
    "solution_path": "- Anpassung: $R_\\mathrm{a} = R_\\mathrm{i} = 15 \\Omega$\n\\begin{align*}\nP_\\mathrm{a} &= \\frac{\\left(\\frac{U_\\mathrm{q}}{2}\\right)^2}{R_\\mathrm{i}} = \\frac{{U_\\mathrm{q}}^2}{4 R_\\mathrm{i}}= 60 \\mathrm{W}\n\\end{align*}\n\n- \\[\n\\eta = \\frac{P_\\mathrm{a}}{P_\\mathrm{i} + P_\\mathrm{a}} = \\frac{I^2 R_\\mathrm{a}}{I^2 R_\\mathrm{i} + I^2 R_\\mathrm{a}} = \\frac{R_\\mathrm{a}}{R_\\mathrm{i} + R_\\mathrm{a}}\n\\]\n\\[\\Rightarrow \\eta R_\\mathrm{i} + \\eta R_\\mathrm{a} = R_\\mathrm{a}\n\\Rightarrow R_\\mathrm{a}=R_\\mathrm{i} \\frac{\\eta}{1-\\eta}=285\\Omega\n\\]\n\n\\begin{align*}\nP_\\mathrm{i} &= I^2 R_\\mathrm{i} = \\dfrac{U_\\mathrm{q}^2 R_\\mathrm{i}}{(R_\\mathrm{i} + R_\\mathrm{a})^2} = \\dfrac{U_\\mathrm{q}^2 R_\\mathrm{i}}{\\left(R_\\mathrm{i} + R_\\mathrm{i} \\frac{\\eta}{1-\\eta} \\right)^2} \n\nP_\\mathrm{i} &= \\dfrac{U_\\mathrm{q}^2}{R_\\mathrm{i}} \\cdot \\dfrac{1}{\\left(\\frac{1-\\eta + \\eta}{1- \\eta}\\right)^2}= \\frac{U_\\mathrm{q}^2}{R_\\mathrm{i}}(1-\\eta)^2= 0,6\\mathrm{W} \n\nP_\\mathrm{a} &= I^2 R_\\mathrm{a} = \\frac{{U_\\mathrm{q}}^2 R_\\mathrm{a}}{(R_\\mathrm{i} + R_\\mathrm{a})^2} = \\dfrac{U_\\mathrm{q}^2 R_\\mathrm{i}\\frac{\\eta}{1-\\eta} }{\\left(R_\\mathrm{i} + R_\\mathrm{i} \\frac{\\eta}{1-\\eta}\\right)^2} \n\nP_\\mathrm{a} &= \\dfrac{U_\\mathrm{q}^2}{R_\\mathrm{i}} \\cdot \\dfrac{\\eta (1-\\eta)}{1-\\eta + \\eta} = \\dfrac{U_\\mathrm{q}^2}{R_\\mathrm{i}}\\eta (1-\\eta) = 11,4\\mathrm{W}\n\\end{align*}\n\n- \\begin{align*}\nP_\\mathrm{i} &= \\dfrac{U_\\mathrm{q}^2 R_\\mathrm{i}}{(R_\\mathrm{i} + R_\\mathrm{a})^2} \\leq P_\\mathrm{izul} \n\n(R_\\mathrm{i} + R_\\mathrm{a})^2 &\\geq \\dfrac{U_\\mathrm{q}^2 R_\\mathrm{i}}{P_\\mathrm{izul}} \n\nR_\\mathrm{a} &\\geq \\sqrt{\\dfrac{U_\\mathrm{q}^2 R_\\mathrm{i}}{P_\\mathrm{izul}}} - R_\\mathrm{i} \n\nR_\\mathrm{a} &\\geq \\underbrace{R_\\mathrm{i} \\left(\\dfrac{U_\\mathrm{q}}{\\sqrt{P_\\mathrm{izul}R_\\mathrm{i}}}-1\\right)}_{ R_\\mathrm{azul}}=27,4\\Omega\n\nP_\\mathrm{a}(R_\\mathrm{azul}) &= \\dfrac{U_\\mathrm{q}^2 R_\\mathrm{azul}}{\\left(R_\\mathrm{i} + R_\\mathrm{azul}\\right)^2}= \\dfrac{U_\\mathrm{q}^2 R_\\mathrm{i}\\left(\\dfrac{U_\\mathrm{q}}{\\sqrt{P_\\mathrm{izul}R_\\mathrm{i}}}-1\\right) }{\\dfrac{U_\\mathrm{q}^2 R_\\mathrm{i}}{P_\\mathrm{izul}}} \n\nP_\\mathrm{a}(R_\\mathrm{azul}) &= P_\\mathrm{izul}\\left(\\dfrac{U_\\mathrm{q}}{\\sqrt{P_\\mathrm{izul}R_\\mathrm{i}}}-1\\right) = 54,8\\mathrm{W}\n\\end{align*}\n\n\\hinw{Diesen Fall bezeichnet man als Überanpassung. Infolge des flachen Maximums von $P_\\mathrm{a}(R_\\mathrm{a})$ \nist bei Überanpassung die Einbuße an abgegebener Leistung $P_\\mathrm{a}$ verhältnismäßig gering.}\n\nMit der Normierung $ P_{q0} = \\frac{{U_\\mathrm{q}}^2}{R_\\mathrm{i}}$ folgt\n\n\\begin{align*}\n\\frac{P_\\mathrm{a}}{P_{q0}} &= \\frac{ \\frac{R_\\mathrm{a}}{R_\\mathrm{i}}}{\\left(1 + \\frac{R_\\mathrm{a}}{R_\\mathrm{i}}\\right)^2}.\n\\end{align*}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-04-004-maximale_leistung-1: Maximale Leistung 1 w1](assets/et1-04-004-maximale_leistung-1/01-Maximale_Leistung_1_w1.png)\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-04-004-maximale_leistung-1: Maximale Leistung 1 w2](assets/et1-04-004-maximale_leistung-1/02-Maximale_Leistung_1_w2.png)",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-04-004-maximale_leistung-1-fig-01",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Maximale_Leistung_1_w1",
        "source_asset": "4-Grundstromkreis/bilder/Maximale_Leistung_1_w1.eps",
        "asset": "assets/et1-04-004-maximale_leistung-1/01-Maximale_Leistung_1_w1.png",
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        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-04-004-maximale_leistung-1: Maximale Leistung 1 w1"
      },
      {
        "id": "et1-04-004-maximale_leistung-1-fig-02",
        "role": "loesungsweg",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-04-004-maximale_leistung-1: Maximale Leistung 1 w2"
      }
    ]
  },
  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v034-c02",
      "lecture_chapter": "4.2",
      "video_title": "Kap. 4.2 Leistungsumsatz im Grundstromkreis - Teil 1",
      "heading": "Energietechnische und informationstechnische Aufgabenstellung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A",
      "content": "Es werden zwei unterschiedliche Zielsetzungen für den Leistungsumsatz vorgestellt:\n\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\textbf{Energietechnische Aufgabenstellung:} Das Ziel ist es, einen möglichst großen Teil der von der Quelle verfügbaren Leistung zum Verbraucher zu übertragen. Dies wird durch einen maximalen Wirkungsgrad erreicht, was bedeutet, dass der Lastwiderstand \\(R_a\\) sehr viel größer als der Innenwiderstand \\(R_i\\) sein muss (\\(R_a \\gg R_i\\)). \\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=985s}{[00:16:25]}\n\t\\item \\textbf{Informationstechnische Aufgabenstellung:} Hier soll die am Verbraucher ankommende Leistung maximal sein, unabhängig vom Wirkungsgrad. Dies wird durch Leistungsanpassung erreicht, bei der der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand ist (\\(R_a = R_i\\)). In diesem Fall beträgt der Wirkungsgrad 50\\%. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=1139s}{[00:18:59]}\n\\end{itemize}\n\nDie maximale Leistung am Verbraucher wird bei Leistungsanpassung erreicht, was durch die erste Ableitung der Leistungsformel und deren Nullsetzung gezeigt wird. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=1318s}{[00:21:58]}"
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