skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/4.7.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "4.7",
    "chapter_number": 4,
    "chapter": "Grundstromkreis",
    "title": "Maximale Leistung",
    "question": "Ein Thermoelement liefert bei einem Temperaturunterschied von $1 \\mathrm{K}$ zwischen Lötstelle und Vergleichsstelle eine Thermospannung von $U_\\mathrm{q} = 50 \\mathrm{\\mu V}$. Sein Innenwiderstand beträgt $R_\\mathrm{i} = 8 \\Omega$. Mit diesem Thermoelement soll ein Temperaturunterschied von $100 \\mathrm{K}$ gemessen werden.\n\nZur Anzeige stehen drei verschiedene Messinstrumente zur Verfügung, deren Endausschläge $I_{1,\\;\\max} = 0,1 \n\\mathrm{mA}$, $I_{2,\\;\\max} = 1 \\mathrm{mA}$ und $I_{3,\\;\\max} = 10 \\mathrm{mA}$ betragen und deren Leistungsaufnahme bei Endausschlag jeweils $P = 10 \\muW$ beträgt.\n\nMit welchem Instrument erreicht man den größten Ausschlag? Begründen Sie Ihre Aussage.",
    "short_solution": "Instrument 2",
    "solution_path": "\\mpBL{5cm}{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-04-007-maximale_leistung-4: Maximale Leistung 4 w1](assets/et1-04-007-maximale_leistung-4/01-Maximale_Leistung_4_w1.png)\n\n}\n{\n$U_q = \\dfrac{50 \\mathrm{\\mu V}}{\\mathrm{K}} \\cdot 100 \\mathrm{K} = 5 \\mathrm{mV}$\n}\n\n\\begin{tabular}{@{}ll}\nFür ein Drehspulinstrument gilt generell: & \n$ \\frac{\\alpha}{\\alpha_{\\text{end}}} = \\frac{I}{I_{\\max}}$, \n\nmit $P_A = I_{\\max}^2 R_A$ folgt: &\n$ \\alpha = \\frac{\\alpha_{\\text{end}}}{I_{\\max}} I = \\alpha_{\\text{end}} I \\sqrt{\\frac{R_A}{P_A}}$ \n\nund mit $I = \\frac{U_q}{R_i + R_A}$ gilt: &\n$ \\alpha = \\frac{\\alpha_{\\text{end}}}{\\sqrt{P_A}} \\frac{U_q \\sqrt{R_A}}{R_i + R_A}$.\n\\end{tabular}\n\nExtremwertuntersuchung für $\\alpha (R_A)$:\n\\begin{multline*}\n\\left. \\frac{d\\alpha}{d R_A}\\right|_{R_A=R_{Am}} =\n\\frac{\\alpha_{\\text{end}} U_a}{\\sqrt{P_A}} \\frac{\\frac{1}{2} R_{Am}^{-1/2}(R_i + R_{Am}) - R_{Am}^{1/2}}{(R_i + R_{Am})^2} = 0,\n\n\\Rightarrow \\frac{1}{2} (R_i + R_{Am}) - R_{Am} = 0, \\Rightarrow R_{Am} = R_i, \\text{d.h.\\; Anpassung.}\n\\end{multline*}\n\nMaximaler Zeigerausschlag: \n$ \\alpha_m = \\frac{\\alpha_{\\text{end}}}{\\sqrt{P_A}} \\frac{U_q \\sqrt{R_i}}{2R_i} = \\frac{\\alpha_{\\text{end}}U_q}{2 \\sqrt{P_A R_i}} =\n\\frac{\\alpha_{\\text{end}}U_q}{2 \\sqrt{P_A R_{Am}}}$\n\\begin{equation*}\n\\frac{\\alpha_m}{\\alpha_{\\text{end}}} = \\frac{U_q}{2 \\sqrt{P_A R_i}} =\n\\frac{5 \\mathrm{mV}}{2 \\sqrt{8 \\Omega \\cdot 10 \\muW}} = 0,279\n\\end{equation*}\n\nzugehöriger Strom für $R_i = R_{Am} = \\frac{P_A}{I_{\\max}^2}$ $\\Rightarrow$ \n$I_{\\max} = \\sqrt{\\frac{P_A}{R_i}} = 1,12 \\mathrm{mA}$.\n\nAuswahl des Instrumentes:\n\n\\begin{tabular}{@{}lll}\nInstrument $1$: & $I_{\\max1} = 0,1 \\mathrm{mA}$ & $\\Rightarrow$ $R_{A1} = 1 \\mathrm{k}\\Omega$\n\nInstrument $2$: & $I_{\\max2} = 1 \\mathrm{mA}$ & $\\Rightarrow$ $R_{A2} = 10 \\Omega$\n\nInstrument $3$: & $I_{\\max3} = 10 \\mathrm{mA}$ & $\\Rightarrow$ $R_{A3} = 0,1 \\Omega$\n\\end{tabular}\n\nDas Instrument $2$ kommt dem Anpassungsfall am nächsten, mit diesem Instrument ist der größte Ausschlag zu erreichen:\n\\begin{align*}\nI_2 &= \\frac{U_q}{R_i + R_{A2}} = \\frac{5 \\mathrm{mV}}{18 \\Omega} = 0,277 \\mathrm{mA}, &\n\\frac{I_2}{I_{\\max2}} &= 0,277 \\, \\widehat{=} \\, 27,7 \\%.\n\\end{align*}\n\nZum Vergleich: $\\dfrac{I_1}{I_{\\max1}} = 0,05$, $\\dfrac{I_3}{I_{\\max3}} = 0,06$.\n\n**Alternativlösung:**\n\n\\mpBL{5cm}{\n\n}\n{\n$U_q = \\dfrac{50 \\mathrm{\\mu V}}{\\mathrm{K}} \\cdot 100 \\mathrm{K} = 5 \\mathrm{mV}$\n}\n\nFür die einzusetzenden Meßinstrumente ist $P_{A} = I_{\\max}^2 R_A = \\mathrm{konst}$.\n\n\\begin{tabular}{@{}lll}\nInstrument $1$: & $I_{\\max1} = 0,1 \\mathrm{mA}$ & $\\Rightarrow$ $R_{A1} = 1 \\mathrm{k}\\Omega$\n\nInstrument $2$: & $I_{\\max2} = 1 \\mathrm{mA}$ & $\\Rightarrow$ $R_{A2} = 10 \\Omega$\n\nInstrument $3$: & $I_{\\max3} = 10 \\mathrm{mA}$ & $\\Rightarrow$ $R_{A3} = 0,1 \\Omega$\n\\end{tabular}\n\nDie maximale Leistung gelangt bei Anpassung an das Instrument,\ndeshalb ist Instrument $2$ mit $R_{A2} = 10 \\Omega$ zu wählen.\n\nZeigerausschlag: $I_2 =\\dfrac{U_q}{R_i + R_{A2}} = \\dfrac{5 \\mathrm{mV}}{18 \\Omega} = 0,277 \\mathrm{mA}$, \n$\\dfrac{I_2}{I_{\\max2}} = 0,277 \\, \\widehat{=} \\, 27,7 \\%$.\n\nZum Vergleich: $\\dfrac{I_1}{I_{\\max1}} = 0,05$, $\\dfrac{I_3}{I_{\\max3}} = 0,06$.",
    "figures": [
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        "id": "et1-04-007-maximale_leistung-4-fig-01",
        "role": "loesungsweg",
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        "source_asset": "4-Grundstromkreis/bilder/Maximale_Leistung_4_w1.eps",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-04-007-maximale_leistung-4: Maximale Leistung 4 w1"
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  "video_refs": [
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      "video_title": "Kap. 4.2 Leistungsumsatz im Grundstromkreis - Teil 1",
      "heading": "Energietechnische und informationstechnische Aufgabenstellung",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A",
      "content": "Es werden zwei unterschiedliche Zielsetzungen für den Leistungsumsatz vorgestellt:\n\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\textbf{Energietechnische Aufgabenstellung:} Das Ziel ist es, einen möglichst großen Teil der von der Quelle verfügbaren Leistung zum Verbraucher zu übertragen. Dies wird durch einen maximalen Wirkungsgrad erreicht, was bedeutet, dass der Lastwiderstand \\(R_a\\) sehr viel größer als der Innenwiderstand \\(R_i\\) sein muss (\\(R_a \\gg R_i\\)). \\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=985s}{[00:16:25]}\n\t\\item \\textbf{Informationstechnische Aufgabenstellung:} Hier soll die am Verbraucher ankommende Leistung maximal sein, unabhängig vom Wirkungsgrad. Dies wird durch Leistungsanpassung erreicht, bei der der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand ist (\\(R_a = R_i\\)). In diesem Fall beträgt der Wirkungsgrad 50\\%. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=1139s}{[00:18:59]}\n\\end{itemize}\n\nDie maximale Leistung am Verbraucher wird bei Leistungsanpassung erreicht, was durch die erste Ableitung der Leistungsformel und deren Nullsetzung gezeigt wird. \\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=1318s}{[00:21:58]}"
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