skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/4.8.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "4.8",
    "chapter_number": 4,
    "chapter": "Grundstromkreis",
    "title": "Leistung, Wirkungsgrad",
    "question": "\\mpBR{7.2cm}{\nGegeben ist folgende Schaltung:\n\n$U_\\mathrm{q} = 230 \\mathrm{V}$, $R_\\mathrm{q} = 1\\Omega$\n\nVerbraucher 1: $230 V/2 \\mathrm{kW}$\n\nVerbraucher 2: $230 V/100\\mathrm{W}$\n\nVerbraucher 3: $230 V/1 \\mathrm{kW}$\n}\n{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-04-008-leistung_wirkungsgrad-3: Leistung Wirkungsgrad 3](assets/et1-04-008-leistung_wirkungsgrad-3/01-Leistung_Wirkungsgrad_3.png)\n\n}\n\n- Berechnen Sie die Widerstände $R_1$, $R_2$ und $R_3$ der Verbraucher und geben Sie eine Ersatzschaltung an.\n\n- Berechnen Sie den Strom $I$. Reicht eine 16 A-Sicherung dafür aus?\n\n- Beweisen Sie die Beziehung $U_\\mathrm{q}\\cdot I=I^2\\cdot R_\\mathrm{q}+{U_\\mathrm{v}}^2\\left(\\dfrac{1}{R_1}+\\dfrac{1}{R_2}+\\dfrac{1}{R_3}\\right)$ und bestätigen Sie sie zahlenmäßig.\n\n- Berechnen Sie den Wirkungsgrad der Anlage für den Fall, dass nur der Verbraucher 1 angeschlossen ist.",
    "short_solution": "a) $R_1=26,45\\Omega$; $R_2=529\\Omega$; $R_3=52,9\\Omega$ \\:\\: b)\n$I=12,73\\mathrm{A}$ \\:\\: d) $\\eta=0,964$",
    "solution_path": "\\noindent\n\n- $R = \\dfrac{U^2}{P}$, $U$: Nennspannung, $P$: Nennleistung\n\n\\begin{tabular}[b]{@{}l@{ }l}\nVerbraucher 1: & $R_{1} = 26,45 \\Omega$ \n\nVerbraucher 2: & $R_{2} = 529 \\Omega$ \n\nVerbraucher 3: & $R_{3} = 52,90 \\Omega$ \n\nErsatzwiderstand: & $R_{p}=R_{1} || R_{2} || R_{3} = 17,06 \\Omega$\n\\end{tabular}\n\n\\begin{minipage}[b]{5.3cm}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-04-008-leistung_wirkungsgrad-3: Leistung Wirkungsgrad 3 w1](assets/et1-04-008-leistung_wirkungsgrad-3/02-Leistung_Wirkungsgrad_3_w1.png)\n\n\\end{minipage}\n\n- $ I = \\frac{U}{R_p +R_q} = \\frac{230 \\mathrm{V}}{18,06 \\Omega} = 12,73 \\mathrm{A}$. \nEine $16 \\mathrm{A}$-Sicherung reicht aus.\n\n- Leistungsbilanz:\n\n$ P_q = U_q I =P_{Rq} + P_{Rp} = I^2R_q + I^2R_p$, $I = \\frac{U_v}{R_p}$ ,\n\n$ U_q I = I^2R_q + \\dfrac{{U_v}^2}{R_p} = I^2R_q + {U_v}^2 \\left( \\dfrac{1}{R_1} + \\dfrac{1}{R_2} + \\dfrac{1}{R_3} \\right)$,\n\n$U_v = U_q - IR_q = 230 \\mathrm{V} - 12,73 \\mathrm{A} \\cdot 1\\Omega = 217,27 \\mathrm{V}$,\n\nZahlenmäßige Bestätigung:\n\n$ 230 \\mathrm{V} \\cdot 12,73 \\mathrm{A} = 162,05 \\mathrm{W} + (217,27 \\mathrm{V})^2 (37,81 + 1,89 + 18,90)10^{-3} \\Omega^{-1}$\n\n$ 2927,9 \\mathrm{W} \\approx 162,05 \\mathrm{W} + 2766,28 \\mathrm{W} = 2928,33 \\mathrm{W}$.\n\n- $ \\eta = \\frac{P_1}{P_q} = \\frac{I^2 R_1}{I^2R_q + I^2R_1} = \\frac{R_1}{R_q + R_1} = \\frac{26,45}{27,45} = 0,964$.",
    "figures": [
      {
        "id": "et1-04-008-leistung_wirkungsgrad-3-fig-01",
        "role": "aufgabenstellung",
        "latex_reference": "Leistung_Wirkungsgrad_3.eps",
        "source_asset": "4-Grundstromkreis/bilder/Leistung_Wirkungsgrad_3.eps",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-04-008-leistung_wirkungsgrad-3: Leistung Wirkungsgrad 3"
      },
      {
        "id": "et1-04-008-leistung_wirkungsgrad-3-fig-02",
        "role": "loesungsweg",
        "latex_reference": "Leistung_Wirkungsgrad_3_w1.eps",
        "source_asset": "4-Grundstromkreis/bilder/Leistung_Wirkungsgrad_3_w1.eps",
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        "conversion_status": "converted",
        "alt_text": "Abbildung zur Aufgabe et1-04-008-leistung_wirkungsgrad-3: Leistung Wirkungsgrad 3 w1"
      }
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  },
  "video_refs": [
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      "chunk_id": "get-2425-v034-c01",
      "lecture_chapter": "4.2",
      "video_title": "Kap. 4.2 Leistungsumsatz im Grundstromkreis - Teil 1",
      "heading": "Leistungen im Stromkreis",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A",
      "content": "Die von der Quelle gelieferte Leistung wird mit \\(P_q\\) bezeichnet. Diese teilt sich auf in die am Verbraucher umgesetzte Leistung \\(P_a\\) und die im Innenwiderstand als Verlustleistung umgesetzte Leistung \\(P_i\\). \\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=56s}{[00:00:56]}\n\nDie von der Quelle gelieferte Leistung \\(P_q\\) lässt sich wie folgt berechnen:\n\\begin{equation}\n\tP_q = U_L \\cdot I = \\frac{U_L^2}{R_a + R_i} = I^2 \\cdot (R_i + R_a)\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=130s}{[00:02:10]}\n\nFür den Spezialfall des Kurzschlusses (\\(R_a = 0\\)) wird die angebotene Leistung \\(P_{q0}\\) betrachtet:\n\\begin{equation}\n\tP_{q0} = U_L \\cdot I_K = \\frac{U_L^2}{R_i}\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=210s}{[00:03:30]}\n\nDie am Verbraucher umgesetzte Leistung \\(P_a\\) wird beschrieben durch:\n\\begin{equation}\n\tP_a = U \\cdot I = \\frac{U^2}{R_a} = I^2 \\cdot R_a\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=337s}{[00:05:37]}\n\nDer Wirkungsgrad \\(\\eta\\) ist das Verhältnis der am Verbraucher umgesetzten Leistung zur von der Quelle gelieferten Leistung:\n\\begin{equation}\n\t\\eta = \\frac{P_a}{P_q} = \\frac{I^2 \\cdot R_a}{I^2 \\cdot (R_a + R_i)} = \\frac{R_a}{R_a + R_i}\n\\end{equation}\n\\href{https://www.youtube.com/watch?v=03fcl0MZP7A&t=527s}{[00:08:47]}"
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