skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/5.5.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "5.5",
    "chapter_number": 5,
    "chapter": "Gesteuerte Quellen",
    "title": "Gesteuerte Quellen, Netzwerkanalyse",
    "question": "Gegeben ist das nebenstehende Netzwerk mit den Daten:\n$R_1 = 10\\Omega$, $R_2 = 5\\Omega$, $B =10$, $U_\\mathrm{q} = 10 \\mathrm{V}$.\n\n\\mpBR{7cm}{\nBerechnen Sie\n\n- den Strom $I_1$ und die Spannung $U_2$,\n\n- den Eingangswiderstand $R_{\\klemme{AB}}$ an den Klemmen \\klemme{A} und \\klemme{B},\n\n- die von der unabhängigen Spannungsquelle $U_\\mathrm{q}$ gelieferte Leistung $P_\\mathrm{q}$,\n\n- die in den Widerständen $R_1$ und $R_2$ umgesetzten Leistungen $P_1$ und $P_2$.\n\n- Stellen Sie die Bilanzgleichung aller Leistungen auf.\n\n}\n{\n\n\\psMsC{I_1}\\psMsC{R_1}\n\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\\psMsL{U_2}\n\\psMsC{R_2}\\psMdR{BI_1}{B\\cdot I_1}\n\\psTdC{A}{\\klemme{A}}\\psTdC{B}{\\klemme{B}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-05-005-gesteuerte_quellen_netzwerkanalyse-1: Gesteuerte Quellen Netzwerkanalyse 1 1](assets/et1-05-005-gesteuerte_quellen_netzwerkanalyse-1/01-Gesteuerte_Quellen_Netzwerkanalyse_1_1.png)\n\n}",
    "short_solution": "a) $I_1=\\frac{U_\\mathrm{q}}{R_1+(1+B)R_2}$ , $U_2=\\frac{U_\\mathrm{q}\\,(1+B)R_2}{R_1+(1+B)R_2}$ $ $ b) $R_\\mathrm{AB}=R_1+(1+B)\\,R_2$",
    "solution_path": "- \\[\n-U_q+R_1 I_1+R_2(1+B)I_1=0\n\\]\n\\[\nI_1=\\frac{U_q}{R_1+(1+B)R_2}=154\\mathrm{mA}\n\\]\n\\[\nU_2=R_2 (1+B) I_1 = \\frac{U_q\\,(1+B)R_2}{R_1+(1+B)R_2} = 8,46\\mathrm{V}\n\\]\n\nAlternative Überlagerungssatz:\n\\[ I_1=\\frac{U_q}{R_1+R_2}-B\\,I_1\\,\\frac{R_2}{R_1+R_2} ~~~~\\Rightarrow ~~~~ I_1=\\frac{U_q}{R_1+(1+B)\\,R_2}\n\\]\n\\[\nU_2=R_2 (1+B) I_1 = \\frac{U_q\\,(1+B)\\,R_2}{R_1+(1+B)\\,R_2}\n\\]\n\nProbe für $B=0$: ~~ $I_1=\\frac{U_q}{R_1+R_2} ~,~~~~ U_2=\\frac{U_q\\,R_2}{R_1+R_2}$\n\n- $R_{AB}=\\frac{U_q}{I_1}=R_1+(1+B)\\,R_2 = 65\\Omega$\n\n- $P_q=U_q\\,I_1=\\frac{{U_q}^2}{R_1+(1+B)\\,R_2} = 1,54\\mathrm{W}$\n\n- $P_1={I_1}^2\\,R_1=0,237\\mathrm{W}$\n\n$P_2=\\frac{{U_2}^2}{R_2}=14,32\\mathrm{W} \\approx 14,3\\mathrm{W}$\n\n- Leistung der gesteuerten Quelle: $P_B=B\\cdot I_1 \\cdot U_2=13,02\\mathrm{W}$\n\nLeistungsbilanz: \n\\begin{align*}\nP_q + P_B &= P_1 + P_2\n\n1,54\\mathrm{W}+13,02\\mathrm{W} &=0,24\\mathrm{W}+14,32\\mathrm{W}\n\n14,56\\mathrm{W} &=14,56\\mathrm{W}\n\\end{align*}\n\n\\psMdR{P_q}{P_q=1,54\\mathrm{W}}\n\\psMdR{P_B}{P_B=13,02\\mathrm{W}}\n\\psMdL{P_1}{P_1=0,24\\mathrm{W}}\n\\psMdL{P_2}{P_2=14,32\\mathrm{W}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-05-005-gesteuerte_quellen_netzwerkanalyse-1: Gesteuerte Quellen Netzwerkanalyse 1 3](assets/et1-05-005-gesteuerte_quellen_netzwerkanalyse-1/02-Gesteuerte_Quellen_Netzwerkanalyse_1_3.png)\n\nDie gesteuerte Quelle ist ein Leistungsverstärker mit einer eigenen\nVersorgungsspannungsquelle und liefert die Leistung $P_B$.",
    "figures": [
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        "role": "loesungsweg",
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  "video_refs": [
    {
      "chunk_id": "get-2425-v040-c01",
      "lecture_chapter": "5.4",
      "video_title": "Kap. 5.4 Netzwerkanalyse mit gesteuerten Quellen - Teil 1",
      "heading": "Erweiterter Algorithmus für den Überlagerungssatz",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=q6I4mp2Mn2w",
      "content": "Der bekannte Algorithmus des Überlagerungssatzes wird für Netzwerke mit gesteuerten Quellen erweitert. Die Vorgehensweise gliedert sich in folgende Schritte:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=q6I4mp2Mn2w&t=55}{Wähle eine Quelle Q aus}, deren Teilwirkung bestimmt werden soll. Hierbei wird unterschieden:\n\t\\begin{itemize}\n\t\t\\item Ist Q eine unabhängige Quelle, wird sie wie gewohnt behandelt.\n\t\t\\item Ist Q eine gesteuerte Quelle, wird sie für die Berechnung ihrer Teilwirkung temporär \\href{https://www.youtube.com/watch?v=q6I4mp2Mn2w&t=79}{wie eine unabhängige Quelle behandelt}.\n\t\\end{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=q6I4mp2Mn2w&t=99}{Deaktiviere alle anderen Quellen} im Netzwerk. Spannungsquellen werden durch einen Kurzschluss ersetzt, Stromquellen durch einen Leerlauf. Dies gilt sowohl für unabhängige als auch für gesteuerte Quellen.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=q6I4mp2Mn2w&t=112}{Berechne die Teilwirkung} (Teilstrom oder Teilspannung), die von der in Schritt 1 ausgewählten Quelle verursacht wird.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=q6I4mp2Mn2w&t=122}{Wiederhole die Schritte 1-3}, bis die Teilwirkungen aller unabhängigen und gesteuerten Quellen erfasst sind.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=q6I4mp2Mn2w&t=134}{Überlagere (addiere) alle Teilwirkungen} vorzeichenrichtig, um die gesuchte Gesamtgröße zu erhalten.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=q6I4mp2Mn2w&t=149}{Ein entscheidender zusätzlicher Schritt} ist die \\textbf{Berechnung der Steuergrößen} der gesteuerten Quellen, da diese oft selbst von den Quellen im Netzwerk abhängen.\n\\end{enumerate}"
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