skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/6.11.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "6.11",
    "chapter_number": 6,
    "chapter": "Netzwerkanalyse",
    "title": "Netzwerkanalyse",
    "question": "\\mpBR{5.5cm}{\nBerechnen Sie für die gegebene Brückenschaltung den Eingangswiderstand $R_\\mathrm{AB}$ an den Klemmen AB mit Hilfe der Knotenspannungsanalyse oder der Maschenstromanalyse.\n\nStellen Sie dazu das entsprechende Gleichungssystem allgemein auf und lösen \nSie dieses für \\linebreak $R_1 = R_3 = R_\\mathrm{q} = R$, $R_2 = R_4 = 2R$.\n}\n{\n\n\\psTdC{A}{\\klemme{A}}\\psTdC{B}{\\klemme{B}}\n\\psTdR{R_q}{$R_\\mathrm{q}$}\\psTdR{U_q}{$U_\\mathrm{q}$}\n\\psMsL{R_1}\\psMsR{R_2}\\psMsR{R_3}\\psMsL{R_4}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-011-netzwerkanalyse-5: Netzwerkanalyse 5](assets/et1-06-011-netzwerkanalyse-5/01-Netzwerkanalyse_5.png)\n\n}\n\\hinw{Rechnen Sie dabei wahlweise mit Widerständen oder Leitwerten.}",
    "short_solution": "$ R_\\mathrm{AB}=1,4R$",
    "solution_path": "- Quellenspannung $U_q$ deaktivieren, (vergl. Zweipolersatzschaltung)\n\n- { Maschenstromanalyse:}\n\nan den Klemmen AB Spannungsquelle $U_{AB}$ einführen und einen\nMaschenstrom $I$ durch die Quelle führen $~~~ \\Rightarrow ~~~ R_{AB}=\\frac{U_{AB}}{I}$\n\n- { Knotenspannungsanalyse:}\n\nan den Klemmen AB eine Stromquelle $I$ einführen und die Knotenspannung\n$U_{AB}$ ermitteln $~~~ \\Rightarrow ~~~ R_{AB}=\\frac{U_{AB}}{I}$\n\nMaschenstromanalyse:\n\n\\mpBL{0.35\\textwidth}\n{\n\\psMsC{A}\n\\psMsC{B}\n\\psMsC{I_1}\n\\psMsC{I_2}\n\\psMsR{I_3}\n\\psMsC{R_1}\n\\psMsC{R_2}\n\\psMsC{R_3}\n\\psMsC{R_4}\n\\psMsC{R_q}\n\\psMsL{U_{AB}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-011-netzwerkanalyse-5: Netzwerkanalyse 5 1](assets/et1-06-011-netzwerkanalyse-5/02-Netzwerkanalyse_5_1.png)\n\n}\n{\n$R_1=R_3=R_q=R$,\n\n$R_2=R_4=2\\,R$\n}\n\n$\n\\begin{array}{lllll}\n{\\text{ 1~~~}} & I_1\\,(R_1+R_2) & +I_2\\,R_2 & +I_3\\,(R_1+R_2) & =U_{AB} \n\n{\\text{ 2~~~}} & I_1\\,R_2 & +I_2\\,(R_q+R_2+R_3) & +I_3\\,(R_2+R_3) & =0 \n\n{\\text{ 3~~~}} & I_1\\,(R_1+R_2) & +I_2\\,(R_2+R_3) & +I_3\\,(R_1+R_2+R_3+R_4) & =0 \n\n\\end{array}\n$\n\n$\n\\begin{array}{rrrl}\n3\\,I_1 & +2\\,I_2 & +3\\,I_3 & =\\frac{U_{AB}}R \n\n2\\,I_1 & +4\\,I_2 & +3\\,I_3 & =0 \n\n3\\,I_1 & +3\\,I_2 & +6\\,I_3 & =0 \n\n\\end{array}\n$\n\n$I_1=\\frac 57\\cdot\\frac{U_{AB}}R ~~~ \\Rightarrow ~~~ R_{AB}=\\frac{U_{AB}}{I_1}=1,40\\,R$\n\nKnotenspannungsanalyse:\n\n\\psMdR{1}{ 1}\n\\psMdL{2}{ 2}\n\\psMdL{3}{ 3}\n\\psMdC{0}{ 0}\n\\psMsC{A}\n\\psMsC{B}\n\\psMsL{I}\n\\psMsC{R_1}\n\\psMsC{R_2}\n\\psMsC{R_3}\n\\psMsC{R_4}\n\\psMsC{R_q}\n\\psMsR{U_{10}}\n\\psMsL{U_{20}}\n\\psMsL{U_{30}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-011-netzwerkanalyse-5: Netzwerkanalyse 5 2](assets/et1-06-011-netzwerkanalyse-5/03-Netzwerkanalyse_5_2.png)\n\n$\n\\begin{array}{lllll}\n{\\text{ 1~~~}} & ~~U_{10}\\,(G_1+G_2+G_q) & -U_{20}\\,G_1 & -U_{30}\\,G_q & =0 \n\n{\\text{ 2~~~}} & -U_{10}\\,G_1 & +U_{20}\\,(G_1+G_4) & -U_{30}\\,G_4 & =I \n\n{\\text{ 3~~~}} & -U_{10}\\,G_q & -U_{20}\\,(G_4) & +U_{30}\\,(G_3+G_4+G_q) & =0 \n\n\\end{array}\n$\n\n$\n\\begin{array}{rrrl}\n2,5\\,U_{10} & -U_{20} & -U_{30} & =0 \n\n-U_{10} & +1,5\\,U_{20} & -0,5\\,U_{30} & =\\frac IG \n\n-U_{10} & -0,5\\,U_{20} & +2,5\\,U_{30} & =0 \n\n\\end{array}\n$\n\n$U_{AB}=\\,U_{20}=\\frac 75\\cdot\\frac IG ~~~ \\Rightarrow ~~~ R_{AB}=\\frac{U_{AB}}I=1,40\\,R$\n\nMit einer $\\bigtriangleup \\rightarrow$ Y-Umwandlung (bzw. mit einer Y$\\rightarrow \\bigtriangleup$-Umwandlung) kann das Ergebnis bestätigt werden, z. B.:\n\n\\psMsC{A}\n\\psMsC{B}\n\\psMsC{R}\n\\psMdC{2R}{2\\,R}\n\\psMsC{R/2}\n\\psMsC{R/4}\n\\psMsC{R_q}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-011-netzwerkanalyse-5: Netzwerkanalyse 5 3](assets/et1-06-011-netzwerkanalyse-5/04-Netzwerkanalyse_5_3.png)\n\n$R_{AB}=\\frac R2+(2\\,R+\\frac R4)||(R+\\frac R2)=1,4\\,R$",
    "figures": [
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      "video_title": "Kap. 6.3 Knotenspannungsanalyse - Teil 1",
      "heading": "Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk",
      "content": "Der Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse umfasst folgende Schritte:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=548s}{Wahl eines Bezugsknotens und Einführen der Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=570s}{Aufstellen von k-1 Knotengleichungen unter Verwendung der U-I-Relationen der Zweige und Ausdrücken der Zweigspannungen durch Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=579s}{Lösung der Gleichungen nach den Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=584s}{Berechnung der gesuchten Größen aus den Knotenspannungen}.\n\\end{enumerate}\nAls Hilfestellung kann eine \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=624s}{Quellentransformation} von Spannungsquellen mit Reihenwiderstand in Stromquellen mit Parallelwiderstand durchgeführt werden."
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      "chunk_id": "get-2425-v047-c02",
      "lecture_chapter": "6.4",
      "video_title": "Kap. 6.4 Maschenstromanalyse",
      "heading": "Algorithmus zur Maschenstromanalyse",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=5F8GFijEAbc",
      "content": "Der Algorithmus zur Maschenstromanalyse lässt sich in folgende Schritte unterteilen:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item Wahl von m unabhängigen Maschen und Einführung der Maschenströme.\n\t\\item Aufstellen der m Maschengleichungen und Ersetzen der Zweigströme durch Maschenströme.\n\t\\item Lösen des Gleichungssystems mit m Gleichungen für die m Maschenströme.\n\t\\item Berechnung der gesuchten Größen aus den Maschenströmen.\n\\end{enumerate}\nEine Hilfestellung bei diesem Verfahren ist die Transformation von Stromquellen mit einem Parallelwiderstand in eine äquivalente Spannungsquellenersatzschaltung."
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