skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/6.12.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "6.12",
    "chapter_number": 6,
    "chapter": "Netzwerkanalyse",
    "title": "Netzwerkanalyse",
    "question": "\\mpBR{3.5cm}{ In dem dargestellten Widerstandsnetzwerk haben alle\n6 Widerstände den Wert $R$.\n\nBerechnen Sie für ein beliebiges Klemmenpaar den Ersatzwiderstand $R_\\mathrm{ers}$\n\n- mit einem Netzwerkanalyseverfahren,\n\n- mit der Stern-Dreieck-Umwandlung.\n\n}\n{\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-012-netzwerkanalyse-6: Netzwerkanalyse 6](assets/et1-06-012-netzwerkanalyse-6/01-Netzwerkanalyse_6.png)\n\n}\n\n\\hinw{Rechnen Sie dabei wahlweise mit Widerständen oder Leitwerten.}",
    "short_solution": "$ R_\\mathrm{ers}=R/2$",
    "solution_path": "- Knotenspannungsanalyse:\n\nAnnahme einer Stromquelle $I$ und Berechnung der dazugehörigen\nKnotenspannung, z. B. $U_{10}$:\n\n\\mpBL{0.4\\textwidth}\n{\n\\psMdC{1}{ 1}\n\\psMdC{2}{ 2}\n\\psMdC{3}{ 3}\n\\psMdC{0}{ 0}\n\\psMsR{I}\n\\psMsR{G}\n\\psMsR{U_{10}}\n\\psMsL{U_{20}}\n\\psMsC{U_{30}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-012-netzwerkanalyse-6: Netzwerkanalyse 6 1](assets/et1-06-012-netzwerkanalyse-6/02-Netzwerkanalyse_6_1.png)\n\n}\n{\n$R_{ers}=\\frac{U_{10}}I$\n}\n\nalle Leitwerte gleich $G$\n\n$\n\\begin{array}{rrrl}\n3\\,G\\,U_{10} & -G\\,U_{20} & -G\\,U_{30} & =I \n\n-G\\,U_{10} & +3\\,G\\,U_{20} & -G\\,U_{30} & =0 \n\n-G\\,U_{10} & -G\\,U_{20} & +3\\,G\\,U_{30} & =0 \n\n\\end{array}\n$\n\n$ ~~ \\Rightarrow ~~~~ U_{10}=\\frac I{2\\,G}=\\frac{I\\,R}2 ~~~~ \\Rightarrow ~~~~ R_{ers}=\\frac R2$\n\nMaschenstromanalyse:\n\nAnnahme einer Spannungsquelle $U$ und Berechnung des zugehörigen\nMaschenstromes, z. B. $I_1$:\n\n\\mpBL{0.45\\textwidth}\n{\n\\psMsR{U}\n\\psMsR{R}\n\\psMsC{I_1}\n\\psMsC{I_2}\n\\psMsC{I_3}\n\\psMsC{I_4}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-012-netzwerkanalyse-6: Netzwerkanalyse 6 2](assets/et1-06-012-netzwerkanalyse-6/03-Netzwerkanalyse_6_2.png)\n\n}\n{\n$R_{ers}=\\frac U{I_1}$\n}\n\nalle Widerstände gleich $R$\n\n$\n\\begin{array}{rrrrl}\nR\\,I_1 & -R\\,I_2 & & & =U \n\n-R\\,I_1 & +3\\,R\\,I_2 & -R\\,I_3 & -R\\,I_4 & =0 \n\n& -R\\,I_2 & +3\\,R\\,I_3 & -R\\,I_4 & =0 \n\n& -R\\,I_2 & -R\\,I_3 & +3\\,R\\,I_4 & =0 \n\n\\end{array}\n$\n\n$ ~~ \\Rightarrow ~~~~ I_1=\\frac U{2\\,R} ~~~~ \\Rightarrow ~~~~R_{ers}=\\frac R2$\n\nMan kann auch einen Zweig auftrennen und eine Spannungsquelle $U$ einfügen,\ndann genügen 3 Maschengleichungen.\n\n\\mpBL{0.45\\textwidth}\n{\n\\psMsR{U}\n\\psMsR{R}\n\\psMsC{I_1}\n\\psMsC{I_2}\n\\psMsC{I_3}\n\\psMsC{R_{ZP}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-012-netzwerkanalyse-6: Netzwerkanalyse 6 3](assets/et1-06-012-netzwerkanalyse-6/04-Netzwerkanalyse_6_3.png)\n\n}\n{\n$\\frac U{I_1}=R+R_{ZP}$\n}\n\nalle Widerstände gleich $R$\n\n$\n\\begin{array}{rrrl}\n3\\,R\\,I_1 & -R\\,I_2 & -R\\,I_3 & =U \n\n-R\\,I_1 & +3\\,R\\,I_2 & -R\\,I_3 & =0 \n\n-R\\,I_1 & -R\\,I_2 & +3\\,R\\,I_3 & =0 \n\n\\end{array}\n$\n\n$ ~~ \\Rightarrow ~~~~ I_1=\\frac U{2\\,R} ~~~~ \\Rightarrow ~~~~ R_{ZP}=R ~~~~ \\Rightarrow ~~~~R_{ers}=R||R_{ZP}=\\frac R2$\n\n- Umwandlung eines beliebigen Sterns in ein Dreieck oder umgekehrt:\n\nz. B. linker unterer Stern $~~ \\Rightarrow ~~~$ Dreieck mit gleichen Widerständen $3\\,R$.\n\n\\psMsC{R}\n\\psMdC{3R}{3\\,R}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-012-netzwerkanalyse-6: Netzwerkanalyse 6 4](assets/et1-06-012-netzwerkanalyse-6/05-Netzwerkanalyse_6_4.png)\n\n$R_{ers} = R\\,||\\,3R\\,|| (R\\,||\\,3R + R\\,||\\,3R) = R\\,||\\,3R\\,||\\,\\frac{6R}4=\\frac R2$",
    "figures": [
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      "lecture_chapter": "6.3",
      "video_title": "Kap. 6.3 Knotenspannungsanalyse - Teil 1",
      "heading": "Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse",
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      "content": "Der Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse umfasst folgende Schritte:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=548s}{Wahl eines Bezugsknotens und Einführen der Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=570s}{Aufstellen von k-1 Knotengleichungen unter Verwendung der U-I-Relationen der Zweige und Ausdrücken der Zweigspannungen durch Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=579s}{Lösung der Gleichungen nach den Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=584s}{Berechnung der gesuchten Größen aus den Knotenspannungen}.\n\\end{enumerate}\nAls Hilfestellung kann eine \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=624s}{Quellentransformation} von Spannungsquellen mit Reihenwiderstand in Stromquellen mit Parallelwiderstand durchgeführt werden."
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      "lecture_chapter": "2.5",
      "video_title": "Kap. 2.5 Zusammenschaltung resistiver Zweipole - Teil 2",
      "heading": "Stern-Dreieck-Umwandlung",
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      "content": "Die Formeln für die Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt werden vorgestellt.\n\\begin{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=981s}{[00:16:21]} Die Formeln für die Umwandlung von Dreieck zu Stern lauten:\n\t\\begin{itemize}\n\t\t\\item $R_a = \\frac{R_{ab} R_{ac}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$\n\t\t\\item $R_b = \\frac{R_{ab} R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$\n\t\t\\item $R_c = \\frac{R_{ac} R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$\n\t\\end{itemize}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=5BYl5wsXxw8&t=1048s}{[00:17:28]} Die Formeln für die Umwandlung von Stern zu Dreieck lauten:\n\t\\begin{itemize}\n\t\t\\item $G_{ab} = \\frac{G_a G_b}{G_a + G_b + G_c}$\n\t\t\\item $G_{ac} = \\frac{G_a G_c}{G_a + G_b + G_c}$\n\t\t\\item $G_{bc} = \\frac{G_b G_c}{G_a + G_b + G_c}$\n\t\\end{itemize}\n\\end{itemize}"
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