skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/6.5.json

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  "exercise": {
    "exercise_number": "6.5",
    "chapter_number": 6,
    "chapter": "Netzwerkanalyse",
    "title": "Netzwerkanalyse",
    "question": "\\mpBR{\\iffoil7.9cm\\else6.5cm}{\nBerechnen Sie den Strom durch den Widerstand $R_5$\n\n- mit der Knotenspannungsanalyse,\n\n- mit der Maschenstromanalyse,\n\n- mit dem Überlagerungssatz.\n\n$U_\\mathrm{q1} = U_\\mathrm{q2} = 2 \\mathrm{V}$,\n$R_1 = 2\\Omega$, $R_2 = R_3 = 4\\Omega$,\n$R_4 = 10\\Omega$, $R_5 = 15\\Omega$\n\n}\n{\n\n\\psTdR{U_{q1}}{$U_\\mathrm{q1}$}\\psTdR{U_{q2}}{$U_\\mathrm{q2}$}\\psMdR{I_6}{I_5}\n\\psMsR{R_1}\\psMsR{R_2}\\psMsC{R_3}\\psMsR{R_4}\\psMsR{R_5}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-005-netzwerkanalyse-1: Netzwerkanalyse 1](assets/et1-06-005-netzwerkanalyse-1/01-Netzwerkanalyse_1.png)\n\n}\n\\hinw{Rechnen Sie dabei wahlweise mit Widerständen oder Leitwerten.}",
    "short_solution": "$ I_5=70,6\\mathrm{mA} $",
    "solution_path": "- ~\n\n\\psMdC{1}{ 1}\n\\psMdC{2}{ 2}\n\\psMdC{0}{ 0}\n\\psMsR{I_5}\n\\psMdR{R_1}{G_1}\n\\psMdR{R_2}{G_2}\n\\psMdC{R_3}{G_3}\n\\psMdR{R_4}{G_4}\n\\psMdR{R_5}{G_5}\n\\psMdL{U1}{U_{10}}\n\\psMdL{U2}{U_{20}}\n\\psTdR{U_{q1}}{$U_\\mathrm{q1}$}\n\\psTdR{U_{q2}}{$U_\\mathrm{q2}$}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-005-netzwerkanalyse-1: Netzwerkanalyse 1 1](assets/et1-06-005-netzwerkanalyse-1/02-Netzwerkanalyse_1_1.png)\n\n\\[ G_i = \\frac{1}{R_i} \\]\n\n\\begin{align*}\nG_1 (U_{10}-U_\\mathrm{q1})+G_2 (U_{10}-U_\\mathrm{q2})+G_3 (U_{10}-U_{20})&=0\n\nG_3 (U_{20}-U_{10})+ (G_4 + G_5)U_{20} &=0\n\\end{align*}\n\n\\begin{align*}\n(G_1 + G_2 + G_3) &U_{10}& - G_3 &U_{20}& &= G_1 U_\\mathrm{q1}+G_2 U_\\mathrm{q2} & (1)\n\n-G_3 &U_{10}& + (G_3 + G_4 + G_5) &U_{20}& &= 0 & (2)\n\\end{align*} \n\n$G_3 \\ast (1) + (G_1 + G_2 + G_3) \\ast (2)$ liefert:\n\n\\[\n-G_3^2\\, U_{20} + (G_1 + G_2 + G_3)(G_3 + G_4 + G_5 ) U_{20} = G_3 (G_1 U_\\mathrm{q1}+G_2 U_\\mathrm{q2})\n\\]\n\n\\[\nI_5 = G_5 U_{20} = \\dfrac{G_3 G_5 (G_1 U_\\mathrm{q1}+G_2 U_\\mathrm{q2})}{(G_1 + G_2 + G_3)(G_3 + G_4 + G_5 ) - G_3^2}\n\\]\n\n- ~\n\n\\psMdC{A}{ A}\n\\psMdC{B}{ B}\n\\psMdC{C}{ C}\n\\psMsL{I_5}\n\\psMsR{R_1}\n\\psMsL{R_2}\n\\psMsC{R_3}\n\\psMsL{R_4}\n\\psMsL{R_5}\n\\psMsR{U_{q1}}\n\\psMsR{U_{q2}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-005-netzwerkanalyse-1: Netzwerkanalyse 1 2](assets/et1-06-005-netzwerkanalyse-1/03-Netzwerkanalyse_1_2.png)\n\nGesuchter Strom:~~~ $I_5=I_C$\n\n$\n\\begin{array}{lllll}\n\\text{ A} & ~~I_A\\,(R_1+R_2) & -I_B\\,R_2 & & =U_{q1}-U_{q2} \n\n\\text{ B} & -I_A\\,R_2 & +I_B\\,(R_2+R_3+R_4) & -I_C\\,R_4 & =U_{q2} \n\n\\text{ C} & & -I_B\\,R_4 & +I_C\\,(R_4+R_5) & =0 \n\n\\end{array}\n$\n\nLösung mit Größenwerten:\n\n$\n\\begin{array}{lllll}\n\\text{ A} & ~~6\\,I_A & -4\\,I_B & & =0 \n\n\\text{ B} & -4\\,I_A & +18\\,I_B & -10\\,I_C & =2\\mathrm{A} \n\n\\text{ C} & & -10\\,I_B & +25\\,I_C & =0 \n\n\\end{array}\n$\n{\\LARGE ~$\\Longrightarrow$ ~}\n$\n\\begin{array}{l}\nI_A=0,117\\mathrm{A} \n\nI_B=0,176\\mathrm{A} \n\nI_C=I_5=70,6\\mathrm{mA} \n\n\\end{array}\n$\n\n- \\begin{align*}\nI_5&=I_{51}+I_{52} \n\nI_{5}&=\\frac{U_{q1}}{R_1+R_2||(R_3+R_4||R_5)}\\cdot\n\\frac{R_2}{R_2+R_3+R_4||R_5}\\cdot\n\\frac{R_4}{R_4+R_5} \n\n&+ \\frac{U_{q2}}{R_2+R_1||(R_3+R_4||R_5)}\\cdot\n\\frac{R_1}{R_1+R_3+R_4||R_5}\\cdot\n\\frac{R_4}{R_4+R_5} \n\nI_5&=\\dfrac{R_2 \\, U_{q1} + R_1\\, U_{q2}}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_1 \\cdot R_4 || R_5 + R_2 R_3 + R_2 \\cdot R_4 || R_5} \\cdot \\dfrac{R_4}{R_4 + R_5}\n\n&= \\dfrac{R_2 R_4 U_{q1} + R_1 R_4 U_{q2}}{(R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3)(R_4 + R_5) + R_1 R_4 R_5 + R_2 R_4 R_5}\n\nI_5&=\\frac6{85}\\mathrm{A}=0,070588\\mathrm{A}\\approx 70,6\\mathrm{mA}\n\\end{align*}",
    "figures": [
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      "lecture_chapter": "6.3",
      "video_title": "Kap. 6.3 Knotenspannungsanalyse - Teil 1",
      "heading": "Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk",
      "content": "Der Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse umfasst folgende Schritte:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=548s}{Wahl eines Bezugsknotens und Einführen der Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=570s}{Aufstellen von k-1 Knotengleichungen unter Verwendung der U-I-Relationen der Zweige und Ausdrücken der Zweigspannungen durch Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=579s}{Lösung der Gleichungen nach den Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=584s}{Berechnung der gesuchten Größen aus den Knotenspannungen}.\n\\end{enumerate}\nAls Hilfestellung kann eine \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=624s}{Quellentransformation} von Spannungsquellen mit Reihenwiderstand in Stromquellen mit Parallelwiderstand durchgeführt werden."
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      "heading": "Algorithmus zur Maschenstromanalyse",
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      "content": "Der Algorithmus zur Maschenstromanalyse lässt sich in folgende Schritte unterteilen:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item Wahl von m unabhängigen Maschen und Einführung der Maschenströme.\n\t\\item Aufstellen der m Maschengleichungen und Ersetzen der Zweigströme durch Maschenströme.\n\t\\item Lösen des Gleichungssystems mit m Gleichungen für die m Maschenströme.\n\t\\item Berechnung der gesuchten Größen aus den Maschenströmen.\n\\end{enumerate}\nEine Hilfestellung bei diesem Verfahren ist die Transformation von Stromquellen mit einem Parallelwiderstand in eine äquivalente Spannungsquellenersatzschaltung."
    },
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      "lecture_chapter": "3.2",
      "video_title": "Kap. 3.2 Überlagerungssatz - Teil 1",
      "heading": "Einführung",
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      "content": "In diesem Video wird der \\textbf{Überlagerungssatz} als eine Methode zur Netzwerkanalyse vorgestellt, die besonders dann nützlich ist, wenn ein Netzwerk mehr als eine unabhängige Quelle enthält."
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