skills/ki-tutor-et/references/aufgaben/6.8.json

{
  "exercise": {
    "exercise_number": "6.8",
    "chapter_number": 6,
    "chapter": "Netzwerkanalyse",
    "title": "Netzwerkanalyse",
    "question": "\\mpBR{7cm}{\nGegeben ist das nebenstehende Netzwerk.\n$R_1 = R_2 = 1 \\Omega$,\n$R_3 = R_4 = 0,5\\Omega$,\n\n$I_\\mathrm{q1} = 2 \\mathrm{A}$, $U_\\mathrm{q2} = 4 \\mathrm{V}$,\n$U_\\mathrm{q3} = 6 \\mathrm{V}$.\n\nBerechnen Sie die Spannung $U_2$ mit Hilfe der\n\n- Knotenspannungsanalyse, \\item Maschenstromanalyse.\n\n\\hinw{Rechnen Sie dabei wahlweise mit Widerständen oder Leitwerten.}\n}\n{\n\n\\psTdC{I_{q1}}{$I_\\mathrm{q1}$}\\psTdC{U_{q2}}{$U_\\mathrm{q2}$}\\psTdR{U_{q3}}{$U_\\mathrm{q3}$}\n\\psMsC{R_1}\\psMsR{R_2}\\psMsR{R_3}\\psMsR{R_4}\\psMsC{U_2}\n\\psTdC{1}{\\klemme{1}}\\psTdC{2}{\\klemme{2}}\\psTdC{3}{\\klemme{3}}\n\\psTdR{0}{\\klemme{0}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-008-netzwerkanalyse-4: Netzwerkanalyse 4](assets/et1-06-008-netzwerkanalyse-4/01-Netzwerkanalyse_4.png)\n\n}",
    "short_solution": "$ U_2=-1\\mathrm{V} $",
    "solution_path": "- Einführen des Superknotens $\\klemme{S}$\n\n\\psTdC{I_{q1}}{$I_\\mathrm{q1}$}\\psTdC{U_{q2}}{$U_\\mathrm{q2}$}\\psTdR{U_{q3}}{$U_\\mathrm{q3}$}\n\\psMsC{R_1}\\psMsR{R_2}\\psMsR{R_3}\\psMsR{R_4}\\psMsC{U_2}\n\\psMsC{U_{20}}\\psMsC{U_{10}}\\psMsC{U_{30}}\n\\psTdC{1}{\\klemme{1}}\\psTdC{2}{\\klemme{2}}\\psTdC{3}{\\klemme{3}}\n\\psTdR{0}{\\klemme{0}}\n\\psTdC{S}{\\klemme{S}}\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-008-netzwerkanalyse-4: Netzwerkanalyse 4 1](assets/et1-06-008-netzwerkanalyse-4/02-Netzwerkanalyse_4_1.png)\n\nKnoten- bzw. Schnittmengengleichungen:\n\\[\n\\begin{array}{lll}\n\\klemme{S} & I_\\mathrm{q1}+U_{20} G_4 + (U_{20}-U_{30}) G_2 + (U_{10}-U_{30}) G_1 & =0 \n\n\\klemme{3} & (U_{30}-U_{20}) G_2 + (U_{30}-U_{10}) G_1 + (U_{30}-U_\\mathrm{q3}) G_3 & =0 \n\n\\end{array}\n\\]\nmit\n\\[\nU_{10}=U_{20}-U_\\mathrm{q2}\n\\]\n\nGleichungssystem der Knotenspannungsanalyse:\n\\[\n\\begin{array}{llll}\n\\klemme{S} & U_{20} (G_1 + G_2 + G_4) & - U_{30} (G_1 + G_2) & =-I_\\mathrm{q1} + U_\\mathrm{q2} G_1 \n\n\\klemme{3} & -U_{20} (G_1 + G_2) & + U_{30} (G_1 + G_2 + G_3) & =U_\\mathrm{q3} G_3 - U_\\mathrm{q2} G_1\n\n\\end{array}\n\\]\n\nRechnung mit Größenwerten:\n\\[\n\\begin{array}{rrl}\nU_{20}\\cdot 4\\Si& -U_{30}\\cdot 2\\Si & = 2\\mathrm{A} \n\n-U_{20}\\cdot 2\\Si& +U_{30}\\cdot 4\\Si & =8\\mathrm{A}\n\\end{array}\n\\]\n\n\\[\n\\Rightarrow U_{20}= 2\\mathrm{V} \\ , U_{30}=3\\mathrm{V} \\Rightarrow \\underline{U_2 = U_{20}-U_{30} = -1\\mathrm{V}}\n\\]\n\n- Fenstermaschen liefern System unabhängiger Maschengleichungen:\n\n\\psTdC{I_{q1}}{$I_\\mathrm{q1}$}\\psTdC{U_{q2}}{$U_\\mathrm{q2}$}\\psTdR{U_{q3}}{$U_\\mathrm{q3}$}\n\\psMsC{R_1}\\psMsR{R_2}\\psMsR{R_3}\\psMsR{R_4}\\psMsC{U_2}\n\\psMdL{I_1}{I_1}\n\\psMdL{I_2}{I_2}\n\\psMdL{I_3}{I_3}\n\\psTdC{1}{ }\\psTdC{2}{ }\\psTdC{3}{ }\n\\psTdR{0}{ }\n\n![Abbildung zur Aufgabe et1-06-008-netzwerkanalyse-4: Netzwerkanalyse 4 2](assets/et1-06-008-netzwerkanalyse-4/03-Netzwerkanalyse_4_2.png)\n\n\\[\n\\begin{array}{lll}\n(2) & I_2 R_1 - U_\\mathrm{q2} + (I_2 - I_3) R_2 & =0 \n\n(3) & (I_3 - I_2) R_2 + (I_3 - I_1 ) R_4 - U_\\mathrm{q3} + I_3 R_3 &=0 \n\\end{array}\n\\]\nmit\n\\[I_1 = I_\\mathrm{q1} \\]\n\nGleichungssystem der Maschenstromanalyse:\n\\[\n\\begin{array}{llll}\n(2) & I_2 (R_1 + R_2) & - I_3 R_2 &= U_\\mathrm{q2} \n\n(3) & -I_2 R_2 & + I_3 (R_2 + R_3 + R_4) & =U_\\mathrm{q3} + I_\\mathrm{q1} R_4\n\n\\end{array}\n\\]\n\nRechnung mit Größenwerten:\n\\[\n\\begin{array}{rrl}\nI_2 \\cdot 2\\Omega& -I_3 \\cdot 1\\Omega & = 4\\mathrm{V} \n\n-I_2 \\cdot 1\\Omega& +I_3 \\cdot 2\\Omega & =7\\mathrm{V}\n\\end{array}\n\\]\n\n\\[\n\\Rightarrow I_2=5\\mathrm{A} \\ , I_3=6\\mathrm{A} \\Rightarrow \\underline{U_2 = (I_2-I_3)R_2 = -1\\mathrm{A} \\cdot 1\\Omega= -1\\mathrm{V}}\n\\]",
    "figures": [
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      "lecture_chapter": "6.3",
      "video_title": "Kap. 6.3 Knotenspannungsanalyse - Teil 1",
      "heading": "Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk",
      "content": "Der Algorithmus zur Knotenspannungsanalyse umfasst folgende Schritte:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=548s}{Wahl eines Bezugsknotens und Einführen der Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=570s}{Aufstellen von k-1 Knotengleichungen unter Verwendung der U-I-Relationen der Zweige und Ausdrücken der Zweigspannungen durch Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=579s}{Lösung der Gleichungen nach den Knotenspannungen}.\n\t\\item \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=584s}{Berechnung der gesuchten Größen aus den Knotenspannungen}.\n\\end{enumerate}\nAls Hilfestellung kann eine \\href{https://www.youtube.com/watch?v=U2guoQj5Alk&t=624s}{Quellentransformation} von Spannungsquellen mit Reihenwiderstand in Stromquellen mit Parallelwiderstand durchgeführt werden."
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    {
      "chunk_id": "get-2425-v047-c02",
      "lecture_chapter": "6.4",
      "video_title": "Kap. 6.4 Maschenstromanalyse",
      "heading": "Algorithmus zur Maschenstromanalyse",
      "video_url": "https://www.youtube.com/watch?v=5F8GFijEAbc",
      "content": "Der Algorithmus zur Maschenstromanalyse lässt sich in folgende Schritte unterteilen:\n\\begin{enumerate}\n\t\\item Wahl von m unabhängigen Maschen und Einführung der Maschenströme.\n\t\\item Aufstellen der m Maschengleichungen und Ersetzen der Zweigströme durch Maschenströme.\n\t\\item Lösen des Gleichungssystems mit m Gleichungen für die m Maschenströme.\n\t\\item Berechnung der gesuchten Größen aus den Maschenströmen.\n\\end{enumerate}\nEine Hilfestellung bei diesem Verfahren ist die Transformation von Stromquellen mit einem Parallelwiderstand in eine äquivalente Spannungsquellenersatzschaltung."
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