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name: mathe-coach-kapitel-07
description: "Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten; Aufgaben 89–105 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Integrale, Stammfunktionen, Flächen, Bestandsänderung."
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# Mathe-Coach – Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten

Das vollständige Kapitel 7 mit den Aufgaben 89–105 und ihren
Kontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen
dazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher
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Du bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,
1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.

Wird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende
Erklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und
mathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.

Bei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,
zusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch
mit dem offenen Kreis `\circ`.

Für Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen
`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten
Überschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die
Prüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.

**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**
die gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften
sichtbaren Angaben einer Abbildung. Der Buchtext ist Wissensquelle,
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## Eingebetteter Buchtext

# Der erste Notenpunkt – Kapitel 7

Ausgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage
Wissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277

## Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Gedruckte Buchseite: 53

ORIGINALTEXT

STOFF: KLASSE 13 Analysis

**Abiturpotenzial:** ca. 5 BE

### Das können Sie danach

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Das können Sie danach  
Gedruckte Buchseite: 53

ORIGINALTEXT

Sie berechnen **bestimmte Integrale** und deuten ihre Werte als **Flächenbilanz** oder **Gesamtänderung**.

### Was können Sie schon?

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Was können Sie schon?  
Gedruckte Buchseite: 53

### Typische Abituraufgabe

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Typische Abituraufgabe  
Gedruckte Buchseite: 53  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 53; zugehörige Lösung(en): Seite 54

ORIGINALTEXT

Während der ersten zwei Minuten eines Erwärmungsvorgangs beschreibt die Funktion \(r\) mit

\[
r(x)=1+\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right),
 \qquad 0\leq x\leq2,
\]

die momentane Temperaturänderungsrate eines Werkstücks. Dabei steht \(x\) für die Zeit in Minuten. Die Werte von \(r(x)\) werden in Grad Celsius pro Minute angegeben. Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_r\) von \(r\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Typische Abituraufgabe  
Gedruckte Buchseite: 53  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 53; zugehörige Lösung(en): Seite 54

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Graph \(G_r\) für \(0\le x\le2\) mit den Achsen \(x\) und \(y\). Die x-Achse zeigt \(0,1,2\), die y-Achse \(1,2\). Die Kurve beginnt bei \((0\mid1)\), steigt bis zu einer Höhe knapp unter \(2\) bei \(x=1\) und fällt bis \((2\mid1)\). Eine Fläche ist in der Aufgabenabbildung nicht markiert.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Typische Abituraufgabe  
Gedruckte Buchseite: 53  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 53; zugehörige Lösung(en): Seite 54

ORIGINALTEXT

Berechnen Sie \(\displaystyle\int_0^2 r(x)\,\mathrm dx\) und interpretieren Sie den Integralwert im Sachzusammenhang.

Ähnliche Aufgabe: Abitur Bayern 2026, B2.2b.

Lösung auf der nächsten Seite

### Lösung

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Lösung  
Gedruckte Buchseite: 54  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 53; zugehörige Lösung(en): Seite 54

ORIGINALTEXT

Der Integralwert beträgt \(3\). Die Temperatur des Werkstücks steigt in den ersten zwei Minuten um \(3\,{}^\circ\mathrm C\).

Eine Stammfunktion \(R\) von \(r\) ist

\[
R(x)
 =x+\frac{\pi}{4}\cdot\left(-\frac{2}{\pi}
 \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right)
 =x-\frac12\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right).
\]

Damit ergibt sich

\[
\begin{aligned}
 \int_0^2 r(x)\,\mathrm dx
 &=\left[x-\frac12\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right]_0^2\\
&=\left(2-\frac12\cos\pi\right)
 -\left(0-\frac12\cos0\right)\\
&=\left(2+\frac12\right)-\left(-\frac12\right)=3.
\end{aligned}
\]

Da die Zeit \(x\) in Minuten und die Rate \(r(x)\) in Grad Celsius pro Minute angegeben werden, hat die Gesamtänderung die Einheit Grad Celsius. Die markierte Fläche unter dem Graphen gehört zum betrachteten Zeitraum und stellt diese Temperaturänderung dar.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Lösung  
Gedruckte Buchseite: 54  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 53; zugehörige Lösung(en): Seite 54

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Lösungsabbildung des Graphen \(G_r\) auf \(0\le x\le2\). Die x-Achse zeigt \(0,1,2\), die y-Achse \(1,2\). Die gesamte Fläche zwischen x-Achse und dem oberhalb verlaufenden Graphen von \(0\) bis \(2\) ist grau gefüllt. In dieser Fläche steht „\(3\,^{\circ}\mathrm C\)“.

### Grundwissen kompakt

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Grundwissen kompakt  
Gedruckte Buchseite: 55

#### Was ein Integral angibt

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Was ein Integral angibt  
Gedruckte Buchseite: 55

ORIGINALTEXT

Ein Integral mit einer unteren und einer oberen Grenze heißt **bestimmtes Integral**. Sein Wert ist eine einzige Zahl. Die Funktion hinter dem Integralzeichen bezeichnen wir im Folgenden mit \(f\). Was der Integralwert bedeutet, hängt davon ab, was \(f\) beschreibt — in den Prüfungen kommen zwei Bedeutungen vor.

**Die Flächenbilanz.** Steht keine Sachsituation dahinter, geht es um Flächen zwischen dem Graphen von \(f\) und der x-Achse zwischen den Integralgrenzen. Dabei zählen die Flächenstücke nicht alle gleich: Was oberhalb der x-Achse liegt, zählt positiv, was unterhalb liegt, zählt negativ.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Was ein Integral angibt  
Gedruckte Buchseite: 55

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Schematischer Graph zwischen den auf der x-Achse markierten Grenzen \(a\) und \(b\); \(a\) liegt rechts der y-Achse. Der Graph beginnt bei \(a\) auf der x-Achse, verläuft erst oberhalb, schneidet die Achse und kehrt bei \(b\) von unten zu ihr zurück. Die eingeschlossene obere Fläche ist mit \(A_1\), die untere mit \(A_2\) beschriftet; beide sind grau gefüllt.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Was ein Integral angibt  
Gedruckte Buchseite: 55

ORIGINALTEXT

Das Integral gibt also nicht an, wie viel Fläche insgesamt eingeschlossen ist, sondern was übrig bleibt, wenn man das eine gegen das andere aufrechnet. Deshalb der Name Bilanz. In der Abbildung liefert das Integral von \(a\) bis \(b\) demnach \(A_1-A_2\), während der eingeschlossene Flächeninhalt \(A_1+A_2\) beträgt.

Der Unterschied ist keine Feinheit. Sind die Flächenstücke oberhalb und unterhalb zusammen gleich groß, so ist der Integralwert null — obwohl der Graph mit der x-Achse durchaus Flächen einschließt.

**Die Gesamtänderung.** Steht eine Sachsituation dahinter, beschreibt \(f\) meist eine momentane Änderungsrate: Sie gibt an, wie schnell sich eine Größe gerade ändert, etwa in Kilogramm pro Stunde oder in Litern pro Minute. Dann sagt das Integral, um wie viel sich diese Größe im betrachteten Zeitraum insgesamt geändert hat.

Achten Sie dabei auf das Vorzeichen: Ein negativer Wert bedeutet, dass die Größe abgenommen hat. Und achten Sie auf die Einheit — sie ergibt sich aus der Änderungsrate ohne den Zeitanteil. Aus Kilogramm pro Stunde wird beim Integrieren über Stunden also Kilogramm.

#### Wie man an diese Zahl kommt

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Wie man an diese Zahl kommt  
Gedruckte Buchseite: 56

ORIGINALTEXT

Bleibt die Frage, wie man den Wert eines Integrals ausrechnet. Und dabei gibt es eine Besonderheit: Man rechnet nicht mit der Funktion, die im Integral steht, sondern mit einer anderen.

Diese andere Funktion heißt **Stammfunktion** von \(f\), und sie ist dadurch gekennzeichnet, dass ihre Ableitung \(f\) ist. Man bezeichnet sie mit dem großen Buchstaben \(F\). Hat man sie gefunden, so ist der Rest eine Subtraktion.

\[
\int_a^b f(x)\,\mathrm dx
 =\Big[F(x)\Big]_a^b
 =F(b)-F(a)
\]

Zuerst wird die obere Grenze \(b\) in \(F\) eingesetzt, danach die untere Grenze \(a\), und dann wird abgezogen. Die eckige Klammer mit den beiden Grenzen ist nur eine Schreibweise dafür, dass diese Subtraktion noch aussteht.

Damit ist die Aufgabe klar umrissen. Die eigentliche Arbeit besteht darin, zu einer gegebenen Funktion \(f\) eine Stammfunktion \(F\) zu finden. Davon handeln die nächsten beiden Abschnitte.

#### Aufleiten: das Ableiten umkehren

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Aufleiten: das Ableiten umkehren  
Gedruckte Buchseite: 56

ORIGINALTEXT

Wie findet man nun eine Funktion, deren Ableitung \(f\) ist? Die ganze Sache beruht auf einem einzigen Gedanken: Man kehrt das Ableiten um. Das Bilden einer Stammfunktion heißt deshalb auch **Aufleiten**.

Sie finden sie, indem Sie sich genau eine Frage stellen: Welche Funktion muss ich ableiten, damit \(f\) herauskommt?

Bei \(f(x)=2x\) ist die Antwort schnell gefunden: \(F(x)=x^2\), denn beim Ableiten von \(x^2\) entsteht \(2x\).

Damit ist auch klar, was die folgende Tabelle eigentlich ist. Sie ist keine neue Liste, die zusätzlich gelernt werden müsste, sondern die Ableitungstabelle aus Kapitel 4, von rechts nach links gelesen.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Aufleiten: das Ableiten umkehren  
Gedruckte Buchseite: 56  
Tabellenzuordnung: Spalten 1 und 2 bilden ein Paar; Spalten 3 und 4 bilden ein unabhängiges Paar.

ORIGINALTEXT

| Funktion | Stammfunktion | Funktion | Stammfunktion |
| --- | --- | --- | --- |
| \(c\) | \(cx\) | \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(x^r,\ r\neq-1\) | \(\dfrac{x^{r+1}}{r+1}\) | \(\dfrac{1}{x},\ x>0\) | \(\ln x\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\cos x\) | \(\sin x\) |

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Aufleiten: das Ableiten umkehren  
Gedruckte Buchseite: 56

ORIGINALTEXT

Dabei stehen \(c\) und \(r\) für Konstanten, also für feste Zahlen.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Aufleiten: das Ableiten umkehren  
Gedruckte Buchseite: 57

ORIGINALTEXT

Aus derselben Überlegung folgt eine Kontrolle, die immer funktioniert: Leiten Sie Ihre Stammfunktion ab. Kommt dabei die Funktion heraus, die im Integral steht — man nennt sie den **Integranden** —, war Ihre Stammfunktion richtig; kommt etwas anderes heraus, war sie es nicht. Diese Probe kostet zwei Zeilen und ist die einzige, die Sie brauchen.

#### Die Regeln beim Aufleiten

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Die Regeln beim Aufleiten  
Gedruckte Buchseite: 57

ORIGINALTEXT

Beim Ableiten wird Summand für Summand abgeleitet, und konstante Faktoren bleiben unverändert stehen. Umgekehrt gilt dasselbe: Bei einer Summe leiten Sie Summand für Summand auf, und konstante Faktoren bleiben stehen. Für \(f(x)=2x+1\) ergibt sich

\[
F(x)=2\cdot\frac{x^2}{2}+x=x^2+x.
\]

Etwas mehr Aufmerksamkeit verlangt der Fall, dass im Inneren einer Funktion nicht nur \(x\) steht, sondern ein Term wie \(3x\). Sehen wir uns \(f(x)=\sin(3x)\) an. Eine Stammfunktion von \(\sin x\) ist \(-\cos x\), also liegt der Ansatz \(-\cos(3x)\) nahe. Machen wir aber die Probe und leiten ab: Wegen der Kettenregel aus Kapitel 4 entsteht dabei zusätzlich der Faktor 3, und wir erhalten \(3\sin(3x)\) statt \(\sin(3x)\).

Das Ergebnis ist also dreimal zu groß. Weil beim Ableiten dieser Faktor 3 entsteht, können wir ihn im Voraus wegkürzen, indem wir beim Aufleiten durch 3 teilen:

\[
f(x)=\sin(3x), \qquad F(x)=-\frac{1}{3}\cos(3x).
\]

Die Probe bestätigt es: Ableiten liefert \(-\frac{1}{3}\cdot(-\sin(3x))\cdot3=\sin(3x)\). Bei der e-Funktion und beim Kosinus gehen Sie genauso vor, wenn im Inneren statt des einfachen \(x\) ein Term wie \(3x\) oder \(2x+1\) steht.

#### Die Rechnung von Anfang bis Ende

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Die Rechnung von Anfang bis Ende  
Gedruckte Buchseite: 57

ORIGINALTEXT

Jetzt haben wir alles beisammen. Sehen wir uns eine vollständige Rechnung an:

\[
\int_1^3(2x+1)\,\mathrm dx
 =\Big[x^2+x\Big]_1^3
 =(3^2+3)-(1^2+1)
 =12-2
 =10.
\]

Hier lauert ein häufiger Rechenfehler. Abgezogen wird der ganze untere Wert, also alle seine Summanden. Setzen Sie ihn deshalb in Klammern, bevor Sie das Minuszeichen davorschreiben — sonst wird nur der erste Summand abgezogen und der Rest versehentlich addiert.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Die Rechnung von Anfang bis Ende  
Gedruckte Buchseite: 58

ORIGINALTEXT

Zu einer Funktion \(f\) gehört übrigens nicht nur eine einzige Stammfunktion, sondern es gibt beliebig viele davon. Beim Ableiten fällt eine Konstante ja weg, und deshalb ist mit \(F(x)=x^2+x\) auch \(x^2+x+7\) eine Stammfunktion — und ebenso \(x^2+x+C\) für jede beliebige Zahl \(C\). Für ein bestimmtes Integral spielt das keine Rolle: Beim Abziehen hebt sich das \(C\) wieder weg, weil es in beiden Werten steckt. Nehmen Sie also einfach die einfachste Stammfunktion, die ohne \(C\).

Und nun sehen Sie auch, warum das Integral die Gesamtänderung angibt. Wenn \(F\) den Bestand einer Größe beschreibt, dann ist \(f=F'\) ihre momentane Änderungsrate. Deshalb ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\): Der Bestand ist eine Stammfunktion seiner Änderungsrate. Und \(F(b)-F(a)\) ist genau die Differenz zwischen Endbestand und Anfangsbestand.

#### Das erwartet Sie in den Aufgaben

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Das erwartet Sie in den Aufgaben  
Gedruckte Buchseite: 58

ORIGINALTEXT

In den Aufgaben lernen Sie, aus einer Punktangabe die Konstante \(C\) einer Stammfunktion zu bestimmen. Außerdem berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt, wenn der Graph die x-Achse innerhalb des betrachteten Intervalls kreuzt und die Flächenstücke einzeln berücksichtigt werden müssen.

### Übungsaufgaben

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Abschnitt: Übungsaufgaben  
Gedruckte Buchseite: 59

ORIGINALTEXT

Lösungen ab Seite 228

#### Aufgabe 89

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 89  
Gedruckte Buchseite: 59  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 89, Kapitel 7, Seite 228 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_0^2 (3x^2+2)\,\mathrm dx\).

#### Aufgabe 90

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 90  
Gedruckte Buchseite: 59  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 90, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Berechnen Sie \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin x\,\mathrm dx\).

#### Aufgabe 91

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 91  
Gedruckte Buchseite: 59  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 91, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\) im Intervall \([a;b]\). Die Zahlen in der Abbildung geben die Flächeninhalte der beiden markierten Flächenstücke an.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 91  
Gedruckte Buchseite: 59  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 91, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Graph von \(f\) zwischen den x-Achsenmarken \(a<c<b\), wobei \(a\) rechts der y-Achse liegt. Zwischen \(a\) und \(c\) verläuft der Graph oberhalb der x-Achse; die grau markierte Fläche trägt „\(8\,\mathrm{FE}\)“. Zwischen \(c\) und \(b\) verläuft er unterhalb; diese markierte Fläche trägt „\(5\,\mathrm{FE}\)“. Der Graph trifft die x-Achse bei allen drei Marken.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 91  
Gedruckte Buchseite: 59  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 91, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Eine Schülerin behauptet: *Der Wert des Integrals \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) ist negativ, weil der Graph kurz vor \(b\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.*

a) Beurteilen Sie diese Behauptung.

b) Bestimmen Sie den gesamten Flächeninhalt, der im Intervall \([a;b]\) vom Graphen und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird. Geben Sie an, um wie viel dieser Flächeninhalt größer als der Integralwert ist, und erläutern Sie, wie dieser Unterschied entsteht.

#### Aufgabe 92

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 92  
Gedruckte Buchseite: 59  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 92, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Funktion \(r\) beschreibt die momentane Änderungsrate der Masse eines Körpers. Dabei steht \(t\) für die Zeit in Stunden. Die Änderungsrate \(r(t)\) wird in Kilogramm pro Stunde angegeben. Es gilt

\[
\int_2^7 r(t)\,\mathrm dt=-12.
\]

Interpretieren Sie diese Aussage im Sachzusammenhang.

#### Aufgabe 93

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 93  
Gedruckte Buchseite: 60  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 93, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_F\) von \(F\). Bestimmen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle\int_1^5 f(x)\,\mathrm dx\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 93  
Gedruckte Buchseite: 60  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 93, Kapitel 7, Seite 229 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Graph \(G_F\) auf einem Koordinatensystem mit \(x\)- und \(y\)-Achse und Gitternetz in halben Einheiten. Die x-Achse ist von \(1\) bis \(5\), die y-Achse mit \(-1,1,2\) beschriftet. Die Kurve verläuft durch die Gitterpunkte \((1\mid2)\) und \((5\mid-1)\). Dazwischen fällt sie nach einem kleinen Gipfel ab und zeigt um \(x=3\) ein flacheres Stück. Es ist der Graph der Stammfunktion \(F\), wie in der Aufgabe angegeben.

#### Aufgabe 94

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 94  
Gedruckte Buchseite: 60  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 94, Kapitel 7, Seite 230 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=3x^2-2\). Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\); ihr Graph verläuft durch den Punkt \(P(1\mid4)\). Bestimmen Sie einen Term von \(F\).

#### Aufgabe 95

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 95  
Gedruckte Buchseite: 60  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 95, Kapitel 7, Seite 230 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

OHNE TR Für das Integral

\[
I=\int_1^2\left(3+\frac4{x^2}\right)\,\mathrm dx
\]

verwendet eine Schülerin die Funktion \(F(x)=3x+\frac4x\) und erhält \(I=1\). Prüfen Sie durch Ableiten, ob \(F\) eine Stammfunktion des Integranden ist. Korrigieren Sie gegebenenfalls die Lösung der Schülerin und bestimmen Sie den Integralwert.

#### Aufgabe 96

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 96  
Gedruckte Buchseite: 60  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 96, Kapitel 7, Seite 230 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Berechnen Sie \(\displaystyle \int_e^{e^3}\frac2x\,\mathrm dx\).

#### Aufgabe 97

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 97  
Gedruckte Buchseite: 60  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 97, Kapitel 7, Seite 231 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

OHNE TR Für \(a\in\mathbb R\) ist die Funktion \(f_a\) durch \(f_a(x)=ae^x\) gegeben. Es gilt

\[
\int_0^{\ln3}f_a(x)\,\mathrm dx=8.
\]

Bestimmen Sie den Wert von \(a\).

#### Aufgabe 98

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 98  
Gedruckte Buchseite: 61  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 98, Kapitel 7, Seite 231 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Nach zwei Stunden befinden sich \(50\,\mathrm{kg}\) in einem Behälter. Für \(0\leq t\leq2\) beschreibt \(q(t)=3t^2-2\) die momentane Änderungsrate der Masse in \(\mathrm{kg/h}\). Bestimmen Sie die Masse zu Beginn.

#### Aufgabe 99

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 99  
Gedruckte Buchseite: 61  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 99, Kapitel 7, Seite 231 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Für \(b>1\) gilt

\[
\int_1^b 3x^2\,\mathrm dx=26.
\]

Bestimmen Sie den Wert von \(b\).

#### Aufgabe 100

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 100  
Gedruckte Buchseite: 61  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 100, Kapitel 7, Seite 231 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

OHNE TR

a) Berechnen Sie \(\displaystyle\int_0^\pi 2\sin(2x)\,\mathrm dx\). Erläutern Sie den Integralwert anschließend geometrisch mithilfe des dargestellten Graphen des Integranden.

b) Berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt, den der Graph im Intervall \([0;\pi]\) mit der x-Achse einschließt.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 100  
Gedruckte Buchseite: 61  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 100, Kapitel 7, Seite 231 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Graph \(G_f\) des angegebenen Integranden auf \([0;\pi]\), mit \(x\)- und \(y\)-Achse. x-Marken sind \(\pi/4,\pi/2,3\pi/4,\pi\), y-Marken \(2\) und \(-2\). Die Kurve beginnt im Ursprung, erreicht bei \(\pi/4\) die Höhe \(2\), schneidet bei \(\pi/2\) die x-Achse, erreicht bei \(3\pi/4\) die Höhe \(-2\) und endet bei \(\pi\) auf der Achse. Flächen sind nicht eingefärbt.

#### Aufgabe 101

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 101  
Gedruckte Buchseite: 61  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 101, Kapitel 7, Seite 232 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt \(F(-2)=5\) und \(F(3)=-1\). Eine vorgelegte Lösung enthält die Aussage \(\int_{-2}^{3}f(x)\,\mathrm dx=6\). Beurteilen und korrigieren Sie die Aussage.

#### Aufgabe 102

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 102  
Gedruckte Buchseite: 61  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 102, Kapitel 7, Seite 232 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt \(F(1)=F(4)=3\). Daraus wird gefolgert, der Graph von \(f\) schließe im Intervall \([1;4]\) mit der \(x\)-Achse keinen Flächeninhalt ein. Beurteilen Sie die Folgerung.

#### Aufgabe 103

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 103  
Gedruckte Buchseite: 61  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 103, Kapitel 7, Seite 232 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Eine Dosierpumpe gibt im Zeitraum \(1\le t\le3\) eine Flüssigkeit ab. Die momentane Abgaberate wird durch

\[
q(t)=2+\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)
\]

beschrieben. Dabei steht \(t\) für die Zeit in Sekunden. Die Abgaberate \(q(t)\) wird in Millilitern pro Sekunde angegeben. Berechnen Sie \(\displaystyle\int_1^3q(t)\,\mathrm dt\) und interpretieren Sie den Integralwert im Sachzusammenhang.

#### Aufgabe 104

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 104  
Gedruckte Buchseite: 62  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 104, Kapitel 7, Seite 233 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Zu Beginn einer zweiminütigen Beobachtung befinden sich \(45\,\mathrm L\) Wasser in einem Behälter. Für \(0\le t\le2\) beschreibt \(v(t)=3t^2-5\) die momentane Änderungsrate des Wasservolumens. Dabei steht \(t\) für die Zeit in Minuten. Die Änderungsrate \(v(t)\) wird in Litern pro Minute angegeben. Bestimmen Sie das Wasservolumen nach zwei Minuten.

#### Aufgabe 105

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Aufgabe 105  
Gedruckte Buchseite: 62  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 105, Kapitel 7, Seite 233 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Für \(x>0\) hat eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) die Form

\[
F(x)=2\ln x+C.
\]

Der Graph von \(F\) verläuft durch den Punkt \(P(e\mid5)\). Bestimmen Sie \(F(e^2)\).


## Kontrolllösungen zu Kapitel 7

### Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten

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Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
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#### Kontrolllösung zu Aufgabe 89

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Kontrolllösung zu Aufgabe 89  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 89, Kapitel 7, Seite 59  
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Eine Stammfunktion von \(3x^2\) ist \(x^3\); eine Stammfunktion des konstanten Summanden \(2\) ist \(2x\). Daher ist \(F(x)=x^3+2x\) eine Stammfunktion des Integranden. Somit gilt

\[
\begin{aligned}
 \int_0^2(3x^2+2)\,\mathrm dx
 &=\left[F(x)\right]_0^2=F(2)-F(0)\\
&=\bigl(2^3+2\cdot2\bigr)-\bigl(0^3+2\cdot0\bigr)\\
&=(8+4)-0=12.
 \end{aligned}
\]

**Ergebnis:** Der Integralwert ist \(12\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 90

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Kontrolllösung zu Aufgabe 90  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 90, Kapitel 7, Seite 59  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 229

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Nach der Stammfunktionsregel ist \(-\cos x\) eine Stammfunktion von \(\sin x\). Der konstante Faktor \(2\) bleibt unverändert. Daher ist \(F(x)=-2\cos x\) eine Stammfunktion des Integranden \(f(x)=2\sin x\). Setzen Sie nun die Grenzen ein:

\[
\begin{aligned}
 \int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin x\,\mathrm dx
 &=\left[F(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}
 =F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)\\
&=0-(-2)=2.
 \end{aligned}
\]

**Ergebnis:** Der Integralwert ist \(2\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 91

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Kontrolllösung zu Aufgabe 91  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 91, Kapitel 7, Seite 59  
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**a)** Das Flächenstück oberhalb der \(x\)-Achse zählt positiv, das Flächenstück unterhalb der \(x\)-Achse negativ. Daher ist der Integralwert \(8\,\mathrm{FE}-5\,\mathrm{FE}=3\,\mathrm{FE}>0\). Die Behauptung ist falsch: Für die Flächenbilanz ist das gesamte Intervall entscheidend, nicht nur die Lage des Graphen kurz vor \(b\).

**b)** Für den gesamten Flächeninhalt werden die Inhalte beider Flächenstücke addiert:

\[
8\,\mathrm{FE}+5\,\mathrm{FE}=13\,\mathrm{FE}.
\]

Damit ist der Flächeninhalt um

\[
13\,\mathrm{FE}-3\,\mathrm{FE}=10\,\mathrm{FE}
\]

größer als der Integralwert. Das Flächenstück unterhalb der \(x\)-Achse geht beim Flächeninhalt mit \(+5\,\mathrm{FE}\), bei der Flächenbilanz dagegen mit \(-5\,\mathrm{FE}\) ein. Dadurch entsteht der Unterschied von \(10\,\mathrm{FE}\).

**Ergebnis:** Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(13\,\mathrm{FE}\) und ist damit um \(10\,\mathrm{FE}\) größer als der Integralwert.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 92

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Kontrolllösung zu Aufgabe 92  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 92, Kapitel 7, Seite 59  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 229

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Das Integral über eine momentane Änderungsrate gibt die gesamte Änderung der Masse an. Die Einheit der Gesamtänderung ergibt sich aus \(\dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm h}\cdot\mathrm h=\mathrm{kg}\). Das negative Vorzeichen bedeutet eine Abnahme.

**Ergebnis:** Zwischen der zweiten und der siebten Stunde nimmt die Masse um \(12\,\mathrm{kg}\) ab.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 93

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Kontrolllösung zu Aufgabe 93  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 93, Kapitel 7, Seite 60  
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Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt

\[
\int_1^5 f(x)\,\mathrm dx
 =\left[F(x)\right]_1^5
 =F(5)-F(1).
\]

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Kontrolllösung zu Aufgabe 93  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 93, Kapitel 7, Seite 60  
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Am Graphen lesen Sie \(F(5)=-1\) und \(F(1)=2\) ab. Damit ist

\[
\int_1^5 f(x)\,\mathrm dx=-1-2=-3.
\]

**Ergebnis:** Der Integralwert ist \(-3\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 94

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Kontrolllösung zu Aufgabe 94  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 94, Kapitel 7, Seite 60  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 230

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Eine Stammfunktion von \(f(x)=3x^2-2\) hat die Form

\[
F_C(x)=x^3-2x+C.
\]

Da der Graph durch \(P(1\mid4)\) verläuft, gilt \(F_C(1)=4\). Einsetzen liefert

\[
1^3-2\cdot1+C=4
 \quad\Longrightarrow\quad
 C=5.
\]

**Ergebnis:** Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x)=x^3-2x+5\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 95

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Kontrolllösung zu Aufgabe 95  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 95, Kapitel 7, Seite 60  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 230

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Beim Ableiten von \(\frac4x=4x^{-1}\) entsteht ein Minuszeichen:

\[
F'(x)=3-\frac4{x^2}.
\]

Damit ist \(F\) keine Stammfunktion von \(3+\frac4{x^2}\).

Schreiben Sie \(\frac4{x^2}=4x^{-2}\). Beim Bilden einer Stammfunktion wird der Exponent auf \(-1\) erhöht und durch \(-1\) geteilt. Die korrigierte Stammfunktion lautet daher

\[
\widetilde F(x)=3x-\frac4x.
\]

Somit gilt

\[
\begin{aligned}
 I&=\left[3x-\frac4x\right]_1^2\\
&=\left(6-2\right)-\left(3-4\right)\\
&=4-(-1)=5.
 \end{aligned}
\]

**Ergebnis:** Die angegebene Stammfunktion ist falsch. Der Integralwert ist \(5\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 96

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Kontrolllösung zu Aufgabe 96  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 96, Kapitel 7, Seite 60  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 230

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Auf dem Intervall \([e;e^3]\) ist \(F(x)=2\ln x\) eine Stammfunktion von \(f(x)=\dfrac2x\). Daher gilt

\[
\begin{aligned}
 \int_e^{e^3}\frac2x\,\mathrm dx
 &=\left[F(x)\right]_e^{e^3}\\
&=2\ln\left(e^3\right)-2\ln e
 =2\cdot3-2\cdot1=4.
 \end{aligned}
\]

**Ergebnis:** Der Integralwert ist \(4\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 97

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Kontrolllösung zu Aufgabe 97  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 97, Kapitel 7, Seite 60  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 231

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Eine Stammfunktion von \(f_a(x)=ae^x\) ist \(F_a(x)=ae^x\). Mit \(e^{\ln3}=3\) und \(e^0=1\) gilt

\[
\begin{aligned}
 \int_0^{\ln3}ae^x\,\mathrm dx
 &=\left[F_a(x)\right]_0^{\ln3}\\
&=ae^{\ln3}-ae^0=a(3-1)=2a.
 \end{aligned}
\]

Aus \(2a=8\) folgt \(a=4\).

**Ergebnis:** Der gesuchte Parameterwert ist \(a=4\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 98

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Kontrolllösung zu Aufgabe 98  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 98, Kapitel 7, Seite 61  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 231

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Die Masse ändert sich in den zwei Stunden um

\[
\int_0^2(3t^2-2)\,\mathrm dt
 =\left[t^3-2t\right]_0^2=4\,\mathrm{kg}.
\]

Da der Endbestand um \(4\,\mathrm{kg}\) über dem Anfangsbestand liegt, gilt \(50-4=46\).

**Ergebnis:** Zu Beginn befanden sich \(46\,\mathrm{kg}\) im Behälter.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 99

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Kontrolllösung zu Aufgabe 99  
Gedruckte Buchseite: 231  
Zugehörige Übung: Aufgabe 99, Kapitel 7, Seite 61  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 231

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Eine Stammfunktion von \(3x^2\) ist \(F(x)=x^3\). Mit der gegebenen Integralangabe gilt daher

\[
\begin{aligned}
 \int_1^b3x^2\,\mathrm dx
 &=\left[x^3\right]_1^b\\
&=b^3-1=26.
 \end{aligned}
\]

Somit ist \(b^3=27\) und daher \(b=3\).

**Ergebnis:** Die gesuchte obere Grenze ist \(b=3\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 100

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Kontrolllösung zu Aufgabe 100  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 100, Kapitel 7, Seite 61  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 231

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**a)** Eine Stammfunktion von \(f(x)=2\sin(2x)\) ist \(F(x)=-\cos(2x)\), denn beim Ableiten entsteht durch die Kettenregel der benötigte Faktor \(2\). Daher gilt

\[
\begin{aligned}
 \int_0^\pi f(x)\,\mathrm dx
 &=\left[-\cos(2x)\right]_0^\pi\\
&=-\cos(2\pi)-\bigl(-\cos0\bigr)\\
&=-1-(-1)=0.
 \end{aligned}
\]

Zwischen \(0\) und \(\frac\pi2\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse, zwischen \(\frac\pi2\) und \(\pi\) unterhalb davon. Die beiden Flächenstücke zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse sind gleich groß. Ihr positiver und ihr negativer Beitrag heben sich in der Flächenbilanz auf.

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Kontrolllösung zu Aufgabe 100  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 100, Kapitel 7, Seite 61  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 231

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**b)** Für den gesamten Flächeninhalt werden beide Flächenstücke positiv gezählt. Die Nullstelle \(x=\frac\pi2\) teilt das Intervall. Es gilt

\[
\int_0^{\frac\pi2}f(x)\,\mathrm dx
 =\left[-\cos(2x)\right]_0^{\frac\pi2}
 =2
\]

und

\[
\int_{\frac\pi2}^{\pi}f(x)\,\mathrm dx
 =\left[-\cos(2x)\right]_{\frac\pi2}^{\pi}
 =-2.
\]

Der zweite Integralwert wird für den Flächeninhalt ohne sein negatives Vorzeichen addiert:

\[
A=2-(-2)=4.
\]

**Ergebnis:** Der Integralwert ist \(0\); der gesamte Flächeninhalt beträgt \(4\,\mathrm{FE}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 101

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Kontrolllösung zu Aufgabe 101  
Gedruckte Buchseite: 232  
Zugehörige Übung: Aufgabe 101, Kapitel 7, Seite 61  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 232

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Nach dem Hauptsatz gilt

\[
\int_{-2}^{3}f(x)\,\mathrm dx
 =F(3)-F(-2)
 =-1-5
 =-6.
\]

In der vorgelegten Lösung wurden die Funktionswerte vertauscht.

**Ergebnis:** Die Aussage ist falsch; der Integralwert beträgt \(-6\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 102

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Kontrolllösung zu Aufgabe 102  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 102, Kapitel 7, Seite 61  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 232

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Nach dem Hauptsatz gilt

\[
\int_1^4 f(x)\,\mathrm dx=F(4)-F(1)=3-3=0.
\]

Dies ist nur die Flächenbilanz. Positive und negative Flächenbeiträge können sich aufheben, obwohl der gesamte Flächeninhalt positiv ist.

**Ergebnis:** Die Folgerung ist nicht zulässig.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 103

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Kontrolllösung zu Aufgabe 103  
Gedruckte Buchseite: 232  
Zugehörige Übung: Aufgabe 103, Kapitel 7, Seite 61  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 232

ORIGINALTEXT

Eine Stammfunktion des konstanten Summanden \(2\) ist \(2t\). Nach der Stammfunktionsregel ist \(\frac{2}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)\) eine Stammfunktion von \(\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)\). Beim Aufleiten des zweiten Summanden kürzen sich die beiden konstanten Faktoren:

\[
\frac{\pi}{2}\cdot\frac{2}{\pi}
 \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)
 =\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right).
\]

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Kontrolllösung zu Aufgabe 103  
Gedruckte Buchseite: 233  
Zugehörige Übung: Aufgabe 103, Kapitel 7, Seite 61  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 232

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Damit ist \(Q(t)=2t+\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)\) eine Stammfunktion von \(q\). Für das Integral ergibt sich

\[
\begin{aligned}
 \int_1^3 q(t)\,\mathrm dt
 &=\left[Q(t)\right]_1^3=Q(3)-Q(1)\\
&=\bigl(6+\sin\tfrac{3\pi}{2}\bigr)
 -\bigl(2+\sin\tfrac{\pi}{2}\bigr)\\
&=(6-1)-(2+1)=2.
 \end{aligned}
\]

Dabei steht \(t\) für die Zeit in Sekunden. Die Abgaberate \(q(t)\) wird in Millilitern pro Sekunde angegeben. Die Einheit des abgegebenen Volumens ergibt sich aus \(\dfrac{\mathrm{mL}}{\mathrm s}\cdot\mathrm s=\mathrm{mL}\).

**Ergebnis:** Das abgegebene Flüssigkeitsvolumen beträgt in diesem Zeitraum \(2\,\mathrm{mL}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 104

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Kapitel 7: Bestimmte Integrale berechnen und deuten  
Kontrolllösung zu Aufgabe 104  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 104, Kapitel 7, Seite 62  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 233

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Das Integral über die momentane Änderungsrate gibt die gesamte Änderung des Wasservolumens während der zwei Minuten an. Eine Stammfunktion von \(v(t)=3t^2-5\) ist \(F(t)=t^3-5t\). Somit gilt

\[
\begin{aligned}
 \int_0^2(3t^2-5)\,\mathrm dt
 &=\left[t^3-5t\right]_0^2\\
&=\left(2^3-5\cdot2\right)-0\\
&=8-10=-2.
 \end{aligned}
\]

Die Einheit der Änderung ist \(\dfrac{\mathrm L}{\mathrm{min}}\cdot\mathrm{min}=\mathrm L\). Der Integralwert \(-2\) bedeutet eine Abnahme um \(2\,\mathrm L\).

Die Änderung wird zum anfänglichen Volumen addiert:

\[
45\,\mathrm L+(-2\,\mathrm L)=43\,\mathrm L.
\]

**Ergebnis:** Nach zwei Minuten befinden sich \(43\,\mathrm L\) Wasser im Behälter.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 105

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Kontrolllösung zu Aufgabe 105  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 105, Kapitel 7, Seite 62  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 233

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Aus \(F(e)=5\) folgt

\[
2\ln e+C=5\quad\Longleftrightarrow\quad C=3.
\]

Damit gilt

\[
F(e^2)=2\ln(e^2)+3=2\cdot2+3=7.
\]

**Ergebnis:** Es gilt \(F(e^2)=7\).