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name: mathe-coach-kapitel-15
description: "Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen; Aufgaben 179–191 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: Normalverteilung, Dichtefunktion, Intervallwahrscheinlichkeit."
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# Mathe-Coach – Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen

Das vollständige Kapitel 15 mit den Aufgaben 179–191 und ihren
Kontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen
dazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher
Ressourcenaufruf und kein vorheriger Aufruf eines anderen Skills nötig.

Du bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,
1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.

Wird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende
Erklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und
mathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.

Bei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,
zusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch
mit dem offenen Kreis `\circ`.

Für Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen
`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten
Überschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die
Prüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.

**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**
die gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften
sichtbaren Angaben einer Abbildung. Der Buchtext ist Wissensquelle,
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Nenne Buchstellen mit Kapitel, Aufgabennummer und gedruckter Seite, soweit
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systematische Rekonstruktion des Buches.

Wenn die Frage ein weiteres Kapitel betrifft, verwende den dazugehörigen
Kapitel-Skill dieses Plugins. Die Buchübersicht und die Einleitung stehen
im Skill `mathe-coach`.

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## Eingebetteter Buchtext

# Der erste Notenpunkt – Kapitel 15

Ausgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage
Wissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277

## Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Gedruckte Buchseite: 119

ORIGINALTEXT

STOFF: KLASSE 13 Stochastik

**Abiturpotenzial:** ca. 2 BE

### Das können Sie danach

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Das können Sie danach  
Gedruckte Buchseite: 119

ORIGINALTEXT

Sie berechnen mit dem Taschenrechner **Wahrscheinlichkeiten für Messbereiche** von **normalverteilten Größen**.

### Was können Sie schon?

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Was können Sie schon?  
Gedruckte Buchseite: 119

### Typische Abituraufgabe

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Typische Abituraufgabe  
Gedruckte Buchseite: 119  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 119; zugehörige Lösung(en): Seite 120

ORIGINALTEXT

Die Masse eines zufällig ausgewählten Apfels in Gramm kann durch eine normalverteilte Zufallsgröße \(X\) beschrieben werden. Für die zugehörige Dichtefunktion \(\varphi\) gilt

\[
\varphi(x)
 =\frac{1}{12\sqrt{2\pi}}
 \cdot
 e^{-\frac12\left(\frac{x-180}{12}\right)^2}.
\]

Die Abbildung zeigt den Graphen von \(\varphi\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Typische Abituraufgabe  
Gedruckte Buchseite: 119  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 119; zugehörige Lösung(en): Seite 120

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Glockenförmiger Dichtegraph mit waagrechter Achse „Masse in g“, Marken \(144,156,168,180,192,204,216\), und senkrechter y-Achse mit \(0{,}01,0{,}02,0{,}03\). Die höchste Stelle liegt bei \(180\), etwas über \(0{,}03\). Die Kurve fällt zu beiden Seiten symmetrisch zur Achse hin ab. Ein Achsenbruch liegt vor der ersten x-Marke. Eine Fläche ist nicht schraffiert.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Typische Abituraufgabe  
Gedruckte Buchseite: 119  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 119; zugehörige Lösung(en): Seite 120

ORIGINALTEXT

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Apfel weniger als \(170\,\mathrm{g}\) wiegt.

Ähnliche Aufgabe: Abitur 2026, B3.3a.

Lösung auf der nächsten Seite

### Lösung

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Lösung  
Gedruckte Buchseite: 120  
Typische Abituraufgabe(n): Seite 119; zugehörige Lösung(en): Seite 120

ORIGINALTEXT

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(0{,}2023\), also \(20{,}2\,\%\).

Aus dem Bruch innerhalb der runden Klammer liest man

\[
\mu=180
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma=12
\]

ab. Gesucht ist

\[
P(X<170).
\]

Der Bereich besitzt keine endliche untere Grenze. Beim Taschenrechner wird deshalb \(-1\cdot10^{99}\) als Näherung für \(-\infty\) eingegeben. Mit der oberen Grenze \(170\), \(\sigma=12\) und \(\mu=180\) folgt

\[
P(X<170)\approx0{,}2023.
\]

Da \(X\) stetig verteilt ist, spielt es für die Wahrscheinlichkeit keine Rolle, ob die Grenze \(170\) einbezogen wird.

Etwa \(20{,}2\,\%\) der Äpfel wiegen weniger als \(170\,\mathrm{g}\).

### Grundwissen kompakt

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Grundwissen kompakt  
Gedruckte Buchseite: 121

#### Wenn alle Zwischenwerte möglich sind

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Wenn alle Zwischenwerte möglich sind  
Gedruckte Buchseite: 121

ORIGINALTEXT

Bisher war \(X\) stets binomialverteilt und ließ sich damit als Trefferzahl auffassen. Eine solche Zufallsgröße nimmt nur ganze Zahlen an, etwa acht oder neun. Dazwischen gibt es nichts, und genau deshalb ließ sich ihre Verteilung als Reihe von Säulen zeichnen.

Es gibt aber Zufallsgrößen, bei denen auch jeder Zwischenwert vorkommen kann. Eine Länge etwa ist nicht auf ganze Millimeter festgelegt; zwischen \(49\) und \(50\) liegen unendlich viele mögliche Werte. Eine Zufallsgröße, die alle Zwischenwerte eines Bereichs annehmen kann, heißt **stetig**. Für sie brauchen wir ein anderes Bild und ein anderes Werkzeug.

Die Werte stetiger Zufallsgrößen liegen häufig nahe bei einem mittleren Wert, und je weiter man sich davon entfernt, desto seltener kommen sie vor. Sehr oft verteilen sich solche Messwerte auf eine ganz bestimmte Art. Diese Form begegnet uns bei vielen unterschiedlichen Messgrößen und hat deshalb einen eigenen Namen: die **Normalverteilung**. Sie ist durch zwei Zahlen bereits vollständig festgelegt, den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\). Zwei alte Bekannte also, nur in neuer Umgebung.

Sehen wir uns das an einem Beispiel an. Ein Betrieb stellt maschinell Stifte her. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Länge eines zufällig ausgewählten Stiftes in Millimetern an. Sie ist normalverteilt mit \(\mu=50\) und \(\sigma=2\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Wenn alle Zwischenwerte möglich sind  
Gedruckte Buchseite: 121

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Dichtegraph der Stiftlänge mit Achsen „Länge in mm“ und „Wahrscheinlichkeitsdichte“. Die höchste Stelle liegt bei \(50=\mu\); eine gepunktete waagrechte Linie zeigt die Höhe „ca. \(0{,}20\)“. Die Fläche zwischen \(48=\mu-\sigma\) und \(52=\mu+\sigma\) ist schraffiert und mit „ca. \(0{,}683\)“ beschriftet. Ein waagrechter Pfeil von \(50\) nach \(52\) trägt „\(\sigma=2\)“. Vor dem dargestellten x-Bereich steht ein Achsenbruch.

#### Was zeigt der Graph?

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Was zeigt der Graph?  
Gedruckte Buchseite: 121

ORIGINALTEXT

Beim Histogramm war eine Wahrscheinlichkeit die Höhe einer Säule, abzulesen an der senkrechten Achse. Bei diesem Graphen werden Sie zunächst dasselbe erwarten. Damit wären Sie nicht allein. Nur funktioniert das hier nicht, und es lohnt sich, den Grund zu kennen.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Was zeigt der Graph?  
Gedruckte Buchseite: 121–122

ORIGINALTEXT

Fragen Sie sich einmal, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Stift exakt \(49{,}7\,\mathrm{mm}\) lang ist, nicht \(49{,}701\,\mathrm{mm}\) und nicht \(49{,}699\,\mathrm{mm}\). Je genauer man die Länge festlegt, desto weniger Stifte kommen dafür noch infrage: Auf einen ganzen Millimeter genau sind es noch viele, auf einen Hundertstelmillimeter schon deutlich weniger, auf einen Millionstelmillimeter so gut wie keine mehr. Für einen exakt festgelegten Wert bleibt am Ende die Wahrscheinlichkeit null. Ein Graph, der über jeder Stelle die zugehörige Wahrscheinlichkeit aufträgt, wäre also nichts als die Nulllinie. Mit einem solchen Bild könnten Sie nichts anfangen, und deshalb zeichnet es auch niemand.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Was zeigt der Graph?  
Gedruckte Buchseite: 122

ORIGINALTEXT

Auf der senkrechten Achse steht deshalb die **Wahrscheinlichkeitsdichte**; ein solches Bild heißt entsprechend Dichtegraph. Was ein einzelner Dichtewert für sich bedeutet, lassen wir hier bewusst offen. Für die Abituraufgaben, auf die dieses Kapitel vorbereitet, müssen Sie ihn nicht deuten.

Wo stecken die Wahrscheinlichkeiten also? In den Flächen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich ist die **Fläche** zwischen dem Dichtegraphen und der \(x\)-Achse über diesem Bereich.

Die gesamte Fläche unter dem Graphen steht damit für die Wahrscheinlichkeit, überhaupt irgendeinen Wert zu erhalten. Sie beträgt \(1\), also \(100\,\%\).

#### Was \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) hier bedeuten

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Was \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) hier bedeuten  
Gedruckte Buchseite: 122

ORIGINALTEXT

Bei den Stiften ist der Erwartungswert \(\mu=50\), und er bedeutet dasselbe wie in den Kapiteln zuvor: Misst man sehr viele Stifte, so liegt ihre durchschnittliche Länge nahe bei \(50\,\mathrm{mm}\). Im Bild finden wir ihn ebenfalls wieder. Der Dichtegraph jeder Normalverteilung ist symmetrisch zur Geraden \(x=\mu\). Das unterscheidet ihn von einem Binomialhistogramm, das nur für \(p=0{,}5\) symmetrisch ist. Der Erwartungswert liegt bei der Normalverteilung immer genau in der Mitte.

Die Standardabweichung \(\sigma=2\) sagt wieder, wie stark sich die Werte um diese Mitte drängen. Bei der Binomialverteilung ließ sich diese Aussage nur schwer genauer veranschaulichen. Bei einer Normalverteilung hilft uns eine feste Regel.

Bei jeder Normalverteilung liegen ungefähr \(68{,}3\,\%\) aller Werte zwischen \(\mu-\sigma\) und \(\mu+\sigma\).

\[
P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx0{,}683
\]

Hier lässt sich die Standardabweichung also anschaulich lesen: Rund \(68{,}3\,\%\) der Stifte sind höchstens \(2\,\mathrm{mm}\) vom Erwartungswert \(50\,\mathrm{mm}\) entfernt. Ihre Längen liegen damit zwischen \(48\,\mathrm{mm}\) und \(52\,\mathrm{mm}\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Was \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) hier bedeuten  
Gedruckte Buchseite: 122–123

ORIGINALTEXT

Im Bild oben ist dieser Bereich bereits eingezeichnet; die Angabe ``ca. \(0{,}683\)'' meint genau diese Fläche.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Was \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) hier bedeuten  
Gedruckte Buchseite: 123

ORIGINALTEXT

Von tausend Stiften liegen also rund \(683\) zwischen \(48\,\mathrm{mm}\) und \(52\,\mathrm{mm}\). Mehr als \(300\) tun es nicht.

#### Wie berechnen wir andere Bereiche?

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Wie berechnen wir andere Bereiche?  
Gedruckte Buchseite: 123

ORIGINALTEXT

Die \(68{,}3\,\%\)-Regel hilft uns nur bei dem besonderen Bereich von \(\mu-\sigma\) bis \(\mu+\sigma\). Was tun wir bei anderen Grenzen? Bleiben wir bei den Stiften und fragen: Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Stift mindestens \(47\,\mathrm{mm}\) und höchstens \(52\,\mathrm{mm}\) lang ist?

Gesucht ist \(P(47\leq X\leq52)\), im Bild also die Fläche zwischen \(47\) und \(52\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Wie berechnen wir andere Bereiche?  
Gedruckte Buchseite: 123

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Dichtegraph der Stiftlänge mit Achsen „Länge in mm“ und „Wahrscheinlichkeitsdichte“, x-Marken \(47,50,52\). Die Kurve hat ihren höchsten Punkt bei \(50\), in der Höhe „ca. \(0{,}20\)“. Zwischen \(47\) und \(52\) ist die Fläche unter der Kurve schraffiert und mit „gesuchte Fläche“ beschriftet. Der linke Achsenabschnitt ist durch einen Achsenbruch verkürzt.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Wie berechnen wir andere Bereiche?  
Gedruckte Buchseite: 123

ORIGINALTEXT

Jetzt werden Sie sagen: Eine Fläche unter einem Graphen, das ist doch ein Integral. Der Gedanke ist richtig, er hilft hier nur nicht weiter. Zu der Funktion, deren Graph hier zu sehen ist, lässt sich mit den Mitteln, die Sie kennen, keine Stammfunktion angeben. Deshalb hat der Taschenrechner für solche Flächen ein eigenes Menü. Öffnen Sie beim Casio fx-87DE X das Menü *Verteilungsfunkt.*. Dort erscheint eine Liste.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Wie berechnen wir andere Bereiche?  
Gedruckte Buchseite: 123  
Tabellenzuordnung: zwei nummerierte Menüpunkte; die erste Zeile ist ebenfalls ein Menüpunkt.

ORIGINALTEXT

| 1. | *Normal-Dichte* |
| --- | --- |
| 2. | *Kumul. Normal-V* |

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Wie berechnen wir andere Bereiche?  
Gedruckte Buchseite: 123

ORIGINALTEXT

Für die Wahrscheinlichkeit eines ganzen Bereichs wählen Sie den zweiten Punkt *Kumul. Normal-V*. Geben Sie dann die untere Grenze \(47\), die obere Grenze \(52\), die Standardabweichung \(\sigma=2\) und den Erwartungswert \(\mu=50\) ein. Achten Sie auf die Reihenfolge am Schluss: \(\sigma\) kommt vor \(\mu\). Wer es andersherum eintippt, bekommt trotzdem eine Zahl heraus. Nur die falsche.

``Kumul.'' steht für kumulativ und meint hier die Wahrscheinlichkeit für den ganzen Bereich zwischen zwei Grenzen. Der erste Listenpunkt *Normal-Dichte* klingt zwar passend, ist für diese Aufgabe aber falsch. Er verlangt einen einzelnen \(x\)-Wert und liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte an dieser Stelle, keine Wahrscheinlichkeit für einen Bereich.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Wie berechnen wir andere Bereiche?  
Gedruckte Buchseite: 124

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Rechnerbild „Kumul. Normal-V“. Eingaben in dieser sichtbaren Reihenfolge: „Untere :47“, „Obere :52“, „σ :2“, „μ :50“.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Wie berechnen wir andere Bereiche?  
Gedruckte Buchseite: 124

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Rechnerbild mit „p =“ und der Ausgabe „0.7745375448“. Es steht rechts neben den Eingaben für die kumulierte Normalverteilung.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Wie berechnen wir andere Bereiche?  
Gedruckte Buchseite: 124

ORIGINALTEXT

Der Rechner liefert \(P(47\leq X\leq52)\approx0{,}7745\). Etwa \(77{,}5\,\%\) der Stifte sind demnach zwischen \(47\,\mathrm{mm}\) und \(52\,\mathrm{mm}\) lang.

#### Wenn statt \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) ein Dichteterm dasteht

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Wenn statt \(\boldsymbol{\mu}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\) ein Dichteterm dasteht  
Gedruckte Buchseite: 124

ORIGINALTEXT

Manchmal nennt die Aufgabe die beiden Zahlen nicht, sondern setzt Ihnen einen Term vor. Bei den Stiften sähe er so aus:

\[
\varphi(x)
 =\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}
 \cdot
 e^{-\frac12\left(\frac{x-50}{2}\right)^2}.
\]

Jetzt werden Sie vielleicht denken, dass Sie mit diesem Ungetüm rechnen sollen. Müssen Sie nicht. Auswerten oder integrieren werden Sie den Term nie. Sie müssen ihm nur zwei Zahlen entnehmen, und beide stehen im Bruch innerhalb der runden Klammer: Die Zahl, die von \(x\) abgezogen wird, ist der Erwartungswert \(\mu=50\), und die Zahl im Nenner ist die Standardabweichung \(\sigma=2\).

Mehr ist nicht zu tun. Mit diesen beiden Werten rechnen Sie wie eben.

#### Das erwartet Sie in den Aufgaben

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Das erwartet Sie in den Aufgaben  
Gedruckte Buchseite: 124

ORIGINALTEXT

In den Aufgaben lernen Sie, welche Grenzen Sie am Rechner eingeben, wenn nur „höchstens“ oder „mindestens“ vorgegeben ist. Sie bestimmen \(\mu\) und \(\sigma\) auch aus umgeformten Dichtetermen. Außerdem begegnet Ihnen die kumulative Verteilungsfunktion \(\Phi\). Die Aufgaben führen ihre Schreibweise und Bedeutung ein.

### Übungsaufgaben

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Übungsaufgaben  
Gedruckte Buchseite: 125

ORIGINALTEXT

Lösungen ab Seite 262

#### Aufgabe 179

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 179  
Gedruckte Buchseite: 125  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 179, Kapitel 15, Seite 262 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Masse einer zufällig ausgewählten Packung in Gramm an. Sie ist normalverteilt mit

\[
\mu=500
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma=8.
\]

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Packung mindestens \(492\,\mathrm{g}\) und höchstens \(510\,\mathrm{g}\) wiegt.

#### Aufgabe 180

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 180  
Gedruckte Buchseite: 125  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 180, Kapitel 15, Seite 262 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Zufallsgröße \(X\) ist normalverteilt mit

\[
\mu=100
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma=3.
\]

Die Abbildung zeigt den Dichtegraphen von \(X\).

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 180  
Gedruckte Buchseite: 125  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 180, Kapitel 15, Seite 262 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Dichtegraph mit \(x\)- und \(y\)-Achse. Die x-Marken lauten \(98,100,104\); die Glockenkurve ist bei \(100\) am höchsten. Die Fläche unter ihr von \(98\) bis \(104\) ist schraffiert. Die y-Achse besitzt keine Zahlenskala; die x-Achse hat links einen Achsenbruch. Ein Wahrscheinlichkeitswert ist nicht eingetragen.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 180  
Gedruckte Buchseite: 125  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 180, Kapitel 15, Seite 262 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

a) Stellen Sie die durch die schraffierte Fläche dargestellte Wahrscheinlichkeit in der Form \(P(\ldots)\) dar.

b) Berechnen Sie anschließend den Wert dieser Wahrscheinlichkeit.

#### Aufgabe 181

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 181  
Gedruckte Buchseite: 125  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 181, Kapitel 15, Seite 262 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Für eine normalverteilte Zufallsgröße \(X\) ist die Dichtefunktion

\[
\varphi(x)
 =\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}
 \cdot
 e^{-\frac12\left(\frac{x-68}{4}\right)^2}
\]

gegeben. Geben Sie den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) an.

#### Aufgabe 182

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 182  
Gedruckte Buchseite: 125  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 182, Kapitel 15, Seite 262 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Zufallsgröße \(D\) gibt den Außendurchmesser eines maschinell hergestellten Bauteils in Millimetern an. Sie ist normalverteilt mit

\[
\mu=30
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma=0{,}8.
\]

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Außendurchmesser höchstens \(1\,\mathrm{mm}\) vom Erwartungswert abweicht.

#### Aufgabe 183

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 183  
Gedruckte Buchseite: 126  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 183, Kapitel 15, Seite 262 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Fahrtdauer \(T\) eines Busses ist normalverteilt mit dem Erwartungswert \(28\,\mathrm{min}\) und der Standardabweichung \(4\,\mathrm{min}\). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Fahrt höchstens \(31\,\mathrm{min}\) dauert.

#### Aufgabe 184

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 184  
Gedruckte Buchseite: 126  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 184, Kapitel 15, Seite 263 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Belastbarkeit \(B\) eines Bauteils ist normalverteilt mit

\[
\mu=100\,\mathrm{N}
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma=6\,\mathrm{N}.
\]

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Bauteil eine Belastbarkeit von mindestens \(105\,\mathrm{N}\) besitzt.

#### Aufgabe 185

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 185  
Gedruckte Buchseite: 126  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 185, Kapitel 15, Seite 263 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Zufallsgröße \(Y\) gibt die Höhe einer zufällig ausgewählten Pflanze in Zentimetern an. Ihre Dichtefunktion lautet

\[
\varphi(x)
 =\frac{1}{5\sqrt{2\pi}}
 \cdot
 e^{-\frac12\left(\frac{x-42}{5}\right)^2}.
\]

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Höhe der Pflanze um mindestens \(7\,\mathrm{cm}\) vom Erwartungswert abweicht.

#### Aufgabe 186

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 186  
Gedruckte Buchseite: 126  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 186, Kapitel 15, Seite 263 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Zufallsgröße \(X\) ist normalverteilt mit \(\mu=50\) und \(\sigma=4\). Für \(P(48\leq X\leq55)\) wird am Taschenrechner **Normal-Dichte** mit \(x=55\) gewählt. Beurteilen Sie das Vorgehen und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit.

#### Aufgabe 187

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 187  
Gedruckte Buchseite: 126  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 187, Kapitel 15, Seite 264 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Dauer eines Arbeitsvorgangs in Minuten an. Ihre Dichtefunktion lautet

\[
f(x)
 =\frac{1}{\sqrt{72\pi}}
 \cdot
 e^{-\frac{(x-72)^2}{72}}.
\]

Beachten Sie: Der Dichteterm ist diesmal nicht in der bekannten Standardform geschrieben.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Arbeitsvorgang höchstens \(75\,\mathrm{min}\) dauert.

#### Aufgabe 188

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 188  
Gedruckte Buchseite: 127  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 188, Kapitel 15, Seite 264 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Zufallsgröße \(F\) gibt die Füllmenge einer zufällig ausgewählten Dose in Gramm an und ist normalverteilt.

Die Funktion \(\Phi\) heißt **kumulative Verteilungsfunktion**. Man liest \(\Phi(a)\) als „Phi von \(a\)“. Für jede Zahl \(a\) gilt

\[
\Phi(a)=P(F\leq a).
\]

Der Wert \(\Phi(a)\) gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine Dose höchstens \(a\) Gramm enthält. Im Dichtegraphen entspricht dies der gesamten Fläche unter dem Graphen links von \(a\).

a) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang, welche Wahrscheinlichkeit \(\Phi(326)\) angibt.

b) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang, welche Wahrscheinlichkeit \(1-\Phi(334)\) angibt.

c) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang, welche Wahrscheinlichkeit der Term

\[
\Phi(326)+\left(1-\Phi(334)\right)
\]

beschreibt.

#### Aufgabe 189

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 189  
Gedruckte Buchseite: 127  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 189, Kapitel 15, Seite 264 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Zufallsgröße \(L\) gibt die Länge einer zufällig ausgewählten Schraube in Millimetern an und ist normalverteilt. Ihr Erwartungswert beträgt \(50\,\mathrm{mm}\). Für die zugehörige kumulative Verteilungsfunktion gilt

\[
\Phi(a)=P(L\leq a).
\]

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang, welche Wahrscheinlichkeit der Term

\[
\Phi(0{,}96\cdot50)
 +\left(1-\Phi(1{,}04\cdot50)\right)
\]

beschreibt.

#### Aufgabe 190

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 190  
Gedruckte Buchseite: 127  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 190, Kapitel 15, Seite 265 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Laufzeit \(X\) eines Akkus in Minuten ist normalverteilt mit

\[
\mu=60
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma=5.
\]

Ein Hersteller möchte im Datenblatt eine Laufzeit in ganzen Minuten nennen. Mehr als \(90\,\%\) der Akkus sollen länger als diese Zeit laufen. Bestimmen Sie durch systematisches Probieren die größtmögliche ganze Zahl \(g\), die der Hersteller angeben kann.

#### Aufgabe 191

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Aufgabe 191  
Gedruckte Buchseite: 128  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 191, Kapitel 15, Seite 265 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Zufallsgröße \(M\) gibt die Masse einer zufällig ausgewählten Packung in Gramm an. Sie ist normalverteilt mit

\[
\mu=1000
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma=10.
\]

Ein symmetrischer Bereich

\[
[1000-d;1000+d]
\]

soll mindestens \(80\,\%\) aller Packungsmassen enthalten. Dabei soll \(d\) eine nichtnegative ganze Zahl sein. Bestimmen Sie den kleinstmöglichen Wert von \(d\) und geben Sie den zugehörigen Bereich an.


## Kontrolllösungen zu Kapitel 15

### Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Abschnitt: Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Gedruckte Buchseite: 262

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 179

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Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 179  
Gedruckte Buchseite: 262  
Zugehörige Übung: Aufgabe 179, Kapitel 15, Seite 125  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 262

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Gesucht ist

\[
P(492\leq X\leq510).
\]

Mit dem Menü **Kumul. Normal-V** und den Werten \(\mu=500\) und \(\sigma=8\) ergibt sich

\[
P(492\leq X\leq510)\approx0{,}7357.
\]

**Ergebnis:** Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(73{,}6\,\%\) wiegt die Packung zwischen \(492\,\mathrm{g}\) und \(510\,\mathrm{g}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 180

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Kontrolllösung zu Aufgabe 180  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 180, Kapitel 15, Seite 125  
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**a)** Die schraffierte Fläche beginnt bei \(98\) und endet bei \(104\). Sie stellt daher die Wahrscheinlichkeit

\[
P(98\leq X\leq104)
\]

dar.

**b)** Mit \(\mu=100\) und \(\sigma=3\) liefert das Menü **Kumul. Normal-V**

\[
P(98\leq X\leq104)\approx0{,}6563.
\]

**Ergebnis:** Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(65{,}6\,\%\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 181

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Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 181  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 181, Kapitel 15, Seite 125  
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Im Bruch innerhalb der runden Klammer wird von \(x\) der Erwartungswert abgezogen. Im Nenner steht die Standardabweichung:

\[
\left(\frac{x-68}{4}\right)^2.
\]

**Ergebnis:** \(\mu=68\) und \(\sigma=4\)

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 182

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Kontrolllösung zu Aufgabe 182  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 182, Kapitel 15, Seite 125  
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Eine Abweichung von höchstens \(1\,\mathrm{mm}\) führt auf die Grenzen

\[
30-1=29
 \qquad\text{und}\qquad
 30+1=31.
\]

Damit ist

\[
P(29\leq D\leq31)\approx0{,}7887.
\]

**Ergebnis:** Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(78{,}9\,\%\) weicht der Außendurchmesser höchstens \(1\,\mathrm{mm}\) vom Erwartungswert ab.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 183

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Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 183  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 183, Kapitel 15, Seite 126  
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Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit

\[
P(T\leq31).
\]

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Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 183  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 183, Kapitel 15, Seite 126  
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Der Bereich besitzt keine endliche untere Grenze. Beim Taschenrechner wird deshalb \(-1\cdot10^{99}\) als Näherung für \(-\infty\) eingegeben. Mit der oberen Grenze \(31\), \(\sigma=4\) und \(\mu=28\) folgt

\[
P(T\leq31)\approx0{,}7734.
\]

Die große negative Zahl ist nur eine Rechenhilfe und keine mögliche Fahrtdauer.

**Ergebnis:** Etwa \(77{,}3\,\%\) der Fahrten dauern höchstens \(31\,\mathrm{min}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 184

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Kontrolllösung zu Aufgabe 184  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 184, Kapitel 15, Seite 126  
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Gesucht ist

\[
P(B\geq105).
\]

Für den nach rechts unbegrenzten Bereich wird beim Taschenrechner \(1\cdot10^{99}\) als obere Grenze verwendet. Damit ergibt sich

\[
P(B\geq105)\approx0{,}2023.
\]

**Ergebnis:** Etwa \(20{,}2\,\%\) der Bauteile besitzen eine Belastbarkeit von mindestens \(105\,\mathrm{N}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 185

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Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 185  
Gedruckte Buchseite: 263  
Zugehörige Übung: Aufgabe 185, Kapitel 15, Seite 126  
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Aus dem Dichteterm liest man

\[
\mu=42
 \qquad\text{und}\qquad
 \sigma=5
\]

ab. Eine Abweichung von mindestens \(7\,\mathrm{cm}\) liegt außerhalb des Bereichs von \(42-7=35\) bis \(42+7=49\). Da \(Y\) stetig verteilt ist, spielt es für die Wahrscheinlichkeit keine Rolle, ob die Grenzwerte einbezogen werden. Daher gilt

\[
\begin{aligned}
 P(Y\leq35\ \text{oder}\ Y\geq49)
 &=1-P(35\leq Y\leq49)\\
&\approx0{,}1615.
 \end{aligned}
\]

**Ergebnis:** Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(16{,}2\,\%\) weicht die Pflanzenhöhe um mindestens \(7\,\mathrm{cm}\) vom Erwartungswert ab.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 186

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Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 186  
Gedruckte Buchseite: 263  
Zugehörige Übung: Aufgabe 186, Kapitel 15, Seite 126  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 263

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**Normal-Dichte** liefert nur die Höhe des Dichtegraphen an einer einzelnen Stelle, aber keine Wahrscheinlichkeit für einen Bereich. Mit **Kumul. Normal-V**, den Grenzen \(48\) und \(55\) sowie \(\mu=50\) und \(\sigma=4\) erhält man

\[
P(48\leq X\leq55)\approx0{,}5858.
\]

**Ergebnis:** Das Vorgehen ist falsch. Die Intervallwahrscheinlichkeit beträgt etwa \(58{,}6\,\%\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 187

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Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 187  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 187, Kapitel 15, Seite 126  
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Der Exponent wird zunächst mit der Standardform verglichen:

\[
-\frac{(x-72)^2}{72}
 =-\frac12\left(\frac{x-72}{6}\right)^2,
\]

denn \(2\cdot6^2=72\). Auch der Vorfaktor passt dazu:

\[
\frac{1}{\sqrt{72\pi}}
 =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}.
\]

Somit gilt \(\mu=72\) und \(\sigma=6\). Mit diesen Werten folgt

\[
P(X\leq75)\approx0{,}6915.
\]

**Ergebnis:** Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(69{,}1\,\%\) dauert der Arbeitsvorgang höchstens \(75\,\mathrm{min}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 188

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Kontrolllösung zu Aufgabe 188  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 188, Kapitel 15, Seite 127  
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**a)** Es gilt

\[
\Phi(326)=P(F\leq326).
\]

Damit beschreibt \(\Phi(326)\) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Dose höchstens \(326\,\mathrm{g}\) enthält.

**b)** Der Term \(1-\Phi(334)\) erfasst das Gegenereignis zu \(F\leq334\). Daher gilt

\[
1-\Phi(334)=P(F>334).
\]

Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Dose mehr als \(334\,\mathrm{g}\) enthält.

**c)** Die beiden Summanden gehören zum linken und zum rechten Randbereich. Da sich diese Bereiche nicht überschneiden, dürfen ihre Wahrscheinlichkeiten addiert werden.

**Ergebnis:** Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Dose höchstens \(326\,\mathrm{g}\) oder mehr als \(334\,\mathrm{g}\) enthält.

Für eine Grenze \(a\) kann man sich merken:

\[
\Phi(a):\ \text{Werte bis }a,
 \qquad
 1-\Phi(a):\ \text{Werte über }a.
\]

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 189

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Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 189  
Gedruckte Buchseite: 264  
Zugehörige Übung: Aufgabe 189, Kapitel 15, Seite 127  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 264

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Die Faktoren vor dem Erwartungswert beschreiben relative Abweichungen:

\[
0{,}96\cdot50=48,
 \qquad
 1{,}04\cdot50=52.
\]

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Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 189  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 189, Kapitel 15, Seite 127  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 264

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Dabei liegt \(48\,\mathrm{mm}\) um \(4\,\%\) unter und \(52\,\mathrm{mm}\) um \(4\,\%\) über dem Erwartungswert. Es gilt

\[
\Phi(48)=P(L\leq48)
\]

und

\[
1-\Phi(52)=P(L>52).
\]

Da \(L\) stetig verteilt ist, spielt es für die Wahrscheinlichkeit keine Rolle, ob die Grenzwerte einbezogen werden.

**Ergebnis:** Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Schraubenlänge um mehr als \(4\,\%\) vom Erwartungswert abweicht.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 190

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Kontrolllösung zu Aufgabe 190  
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Zugehörige Übung: Aufgabe 190, Kapitel 15, Seite 127  
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Die gesuchte Bedingung lautet

\[
P(X>g)>0{,}90.
\]

Durch Probieren wird die Grenze zunächst eingegrenzt:

\[
P(X>50)\approx0{,}9772,
 \qquad
 P(X>55)\approx0{,}8413.
\]

Sie liegt also zwischen \(50\) und \(55\). Für die beiden entscheidenden ganzen Zahlen erhält man

\[
P(X>53)\approx0{,}9192,
 \qquad
 P(X>54)\approx0{,}8849.
\]

Mit wachsendem \(g\) wird die Wahrscheinlichkeit \(P(X>g)\) kleiner. Daher ist \(53\) die größte ganze Zahl, welche die Bedingung erfüllt.

**Ergebnis:** Die größtmögliche ganze Zahl ist \(g=53\). Ein zufällig ausgewählter Akku läuft mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(91{,}9\,\%\) länger als \(53\,\mathrm{min}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 191

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Kapitel 15: Normalverteilungen berechnen  
Kontrolllösung zu Aufgabe 191  
Gedruckte Buchseite: 265  
Zugehörige Übung: Aufgabe 191, Kapitel 15, Seite 128  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 265

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Für einen gewählten Wert von \(d\) wird die Wahrscheinlichkeit

\[
P(1000-d\leq M\leq1000+d)
\]

berechnet. Durch systematisches Probieren ergibt sich

\[
\begin{aligned}
 d=10:&\quad P(990\leq M\leq1010)\approx0{,}6827,\\
d=12:&\quad P(988\leq M\leq1012)\approx0{,}7699,\\
d=13:&\quad P(987\leq M\leq1013)\approx0{,}8064.
 \end{aligned}
\]

Mit wachsendem \(d\) wird der Bereich größer. Weil \(d=12\) noch nicht ausreicht, ist \(d=13\) der kleinstmögliche ganzzahlige Wert.

**Ergebnis:** Gesucht sind \(d=13\) und der Bereich \([987;1013]\,\mathrm{g}\).