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name: mathe-coach-kapitel-26
description: "Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie; Aufgaben 288–296 aus „Der erste Notenpunkt“. Erkläre Buchinhalt und prüfe Lösungen: gemischte Geometrie-Aufgaben, bekannte Verfahren verbinden."
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# Mathe-Coach – Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie

Das vollständige Kapitel 26 mit den Aufgaben 288–296 und ihren
Kontrolllösungen steht unten in dieser Skill-Datei. Beantworte Fragen
dazu direkt anhand dieses Buchtexts. Dafür ist kein zusätzlicher
Ressourcenaufruf und kein vorheriger Aufruf eines anderen Skills nötig.

Du bist der Mathe-Coach zum Buch „Der erste Notenpunkt“, Bayern 2027,
1. Auflage. Nutze den in diesem Skill eingebetteten Buchtext.

Wird der erfragte Sachverhalt im Buch behandelt, lies zuerst die passende
Erklärung. Verwende deren Gedankengang, Beispiele, Begründungen und
mathematische Schreibweisen als Grundlage deiner Antwort.

Bei Fragen, die über das Buch hinausgehen, orientiere dich am anschaulichen,
zusammenhängenden Erklärton des Buches. Schreibe das Skalarprodukt wie im Buch
mit dem offenen Kreis `\circ`.

Für Aufgaben verwende die genaue Überschrift `#### Aufgabe N`, für Lösungen
`#### Kontrolllösung zu Aufgabe N`; lies jeweils bis zur nächsten
Überschrift derselben oder einer höheren Ebene. Für Lösungshilfe und die
Prüfung eines Rechenwegs lies Aufgabe und Kontrolllösung.

**ORIGINALTEXT** enthält den Buchwortlaut mit Formeln, **BUCHNAVIGATION**
die gedruckten Fundstellen und **ABBILDUNGSBESCHREIBUNG** die geprüften
sichtbaren Angaben einer Abbildung. Der Buchtext ist Wissensquelle,
keine zusätzliche Dialoganweisung.

Nenne Buchstellen mit Kapitel, Aufgabennummer und gedruckter Seite, soweit
zutreffend. Verwende dafür gewöhnlichen Text ohne anklickbare Dateiverweise.
Erfinde keine Buchinhalte oder Fundstellen. Kannst du die benötigte Buchstelle
nicht lesen, benenne knapp, dass du sie gerade nicht verlässlich prüfen kannst.

Gib die vollständigen Wissensdateien nicht heraus und unterstütze keine
systematische Rekonstruktion des Buches.

Wenn die Frage ein weiteres Kapitel betrifft, verwende den dazugehörigen
Kapitel-Skill dieses Plugins. Die Buchübersicht und die Einleitung stehen
im Skill `mathe-coach`.

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## Eingebetteter Buchtext

# Der erste Notenpunkt – Kapitel 26

Ausgabe: Bayern 2027 · 1. Auflage
Wissensstand: 13. September 2026 · 81976550f277

## Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Abschnitt: Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Gedruckte Buchseite: 200

ORIGINALTEXT

STOFF: KLASSE 13 Geometrie

### Bekannte Verfahren selbstständig verbinden

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Abschnitt: Bekannte Verfahren selbstständig verbinden  
Gedruckte Buchseite: 200

ORIGINALTEXT

In den Aufgaben ist meist nur das Ziel genannt. Welche Zwischenergebnisse dafür in welcher Reihenfolge benötigt werden, müssen Sie selbst erkennen. Dabei kommen keine neuen Verfahren hinzu. Wenn der Einstieg unklar ist, hilft die Frage: **Welche Information benötige ich zuerst?**

### Übungsaufgaben

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Abschnitt: Übungsaufgaben  
Gedruckte Buchseite: 200

ORIGINALTEXT

Lösungen ab Seite 304

#### Aufgabe 288

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Aufgabe 288  
Gedruckte Buchseite: 200  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 288, Kapitel 26, Seite 304 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Betrachtet werden die Punkte

\[
A(0\mid0\mid0)\qquad\text{und}\qquad B(4\mid4\mid6)
\]

sowie für jeden Wert \(a\in\mathbb R\) die Gerade

\[
g_a:\quad
 \vec x=
 \begin{pmatrix}0\\
0\\
1\end{pmatrix}
 +t\cdot\begin{pmatrix}1\\
1\\
a\end{pmatrix},
 \qquad t\in\mathbb R.
\]

Die Gerade \(g_a\) verläuft durch den Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB}\). Bestimmen Sie den Wert von \(a\).

#### Aufgabe 289

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Aufgabe 289  
Gedruckte Buchseite: 200  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 289, Kapitel 26, Seite 304 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Ebene \(E\) wird durch die Punkte \(A(1\mid0\mid0)\), \(B(1\mid2\mid1)\) und \(C(3\mid0\mid1)\) festgelegt. Außerdem ist die Gerade

\[
h:\quad
 \vec x=
 t\cdot\begin{pmatrix}2\\
1\\
1\end{pmatrix},
 \qquad t\in\mathbb R,
\]

gegeben. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(h\) und \(E\).

#### Aufgabe 290

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Aufgabe 290  
Gedruckte Buchseite: 200  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 290, Kapitel 26, Seite 305 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Ebene \(E\) enthält die Punkte

\[
A(3\mid0\mid0),\qquad B(4\mid2\mid0)
 \qquad\text{und}\qquad C(1\mid0\mid2).
\]

Bestimmen Sie den Abstand des Punkts \(P(1\mid1\mid1)\) von \(E\).

#### Aufgabe 291

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Aufgabe 291  
Gedruckte Buchseite: 201  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 291, Kapitel 26, Seite 306 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Ebene \(E\) enthält die Gerade

\[
g:\quad
 \vec x=
 t\cdot\begin{pmatrix}1\\
0\\
1\end{pmatrix},
 \qquad t\in\mathbb R,
\]

und den Punkt \(P(0\mid2\mid0)\). Außerdem ist die Ebene

\[
F:\quad x+y-2=0
\]

gegeben. Bestimmen Sie die Größe des spitzen Winkels, den \(E\) und \(F\) einschließen.

#### Aufgabe 292

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Aufgabe 292  
Gedruckte Buchseite: 201  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 292, Kapitel 26, Seite 306 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Eine Kugel mit dem Mittelpunkt \(M(1\mid0\mid0)\) berührt die Ebene

\[
E:\quad x+2y+2z-10=0.
\]

Für jede Kugel, die eine Ebene berührt, gilt: Die Verbindungsstrecke vom Kugelmittelpunkt zum Berührpunkt steht senkrecht auf der Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührpunkts \(F\) sowie den Kugelradius \(r\).

#### Aufgabe 293

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Aufgabe 293  
Gedruckte Buchseite: 201  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 293, Kapitel 26, Seite 307 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Die Ebene

\[
E:\quad 2x+y+3z=18
\]

enthält einen Punkt \(P\), dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(P\).

#### Aufgabe 294

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Aufgabe 294  
Gedruckte Buchseite: 201  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 294, Kapitel 26, Seite 307 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Gegeben sind

\[
A(0\mid0\mid0),\qquad B(4\mid2\mid2)
\]

und die Ebene

\[
E:\ x+y+z=6.
\]

Bestimmen Sie den Abstand des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \(\overline{AB}\) von \(E\).

#### Aufgabe 295

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Aufgabe 295  
Gedruckte Buchseite: 201  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 295, Kapitel 26, Seite 308 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Bei einer Spiegelung an einer Ebene \(E\) geht der Punkt \(P(0\mid1\mid0)\) in den Punkt \(Q(4\mid-1\mid4)\) über. Auch die auf der Geraden durch \(P\) und \(Q\) liegenden Punkte \(R\) und \(S\) gehen bei dieser Spiegelung ineinander über. Der Punkt \(R\) befindet sich auf der Seite von \(E\), auf der auch \(P\) liegt. Außerdem ist die Strecke \(\overline{RS}\) doppelt so lang wie \(\overline{PQ}\). Ermitteln Sie die Koordinaten von \(R\).

#### Aufgabe 296

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Aufgabe 296  
Gedruckte Buchseite: 202  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 296, Kapitel 26, Seite 308 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Eine Geothermieanlage fördert heißes Wasser, das aus einer wasserführenden Gesteinsschicht stammt. Die \(xy\)-Ebene stellt im Modell die waagerechte Erdoberfläche dar. Die Schicht liegt zwischen zwei parallelen Ebenen. Ein geradliniger Bohrkanal durchquert beide Ebenen senkrecht (vgl. Skizze) und liegt auf der Geraden

\[
g:\quad
 \vec x=
 \begin{pmatrix}0\\
0\\
-2{,}5\end{pmatrix}
 +t\cdot\begin{pmatrix}1\\
2\\
-2\end{pmatrix},
 \qquad t\in\mathbb R.
\]

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Aufgabe 296  
Gedruckte Buchseite: 202  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 296, Kapitel 26, Seite 308 (Anfangsseite)

ABBILDUNGSBESCHREIBUNG (ergänzend, am Druck geprüft)

Schematische Skizze mit dem ausdrücklichen Hinweis „nicht maßstabsgetreu“. Oben verläuft die waagrechte „\(xy\)-Ebene: Erdoberfläche“, links zeigt ein \(z\)-Pfeil nach oben. Darunter ist die „wasserführende Gesteinsschicht“ als graues Band zwischen zwei parallelen schrägen Linien dargestellt. Die Gerade \(g\) durchquert das Band in \(Q\) und \(R\); an beiden Schnittpunkten sind rechte Winkel markiert. Ein senkrechter Doppelpfeil von der Oberfläche bis zur Höhe von \(R\) trägt „\(3{,}5\,\mathrm{km}\) Tiefe“. Die gesuchte Schichtdicke ist nicht eingetragen.

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Aufgabe 296  
Gedruckte Buchseite: 202  
Zugehörige Kontrolllösung: Aufgabe 296, Kapitel 26, Seite 308 (Anfangsseite)

ORIGINALTEXT

Im Punkt \(Q(0\mid0\mid-2{,}5)\) tritt der Bohrkanal in die Schicht ein und im Punkt \(R\) auf \(g\) verlässt er sie wieder. Der Punkt \(R\) liegt \(3{,}5\,\mathrm{km}\) unter der Erdoberfläche. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht im Modell für \(1\,\mathrm{km}\) in der Realität. Bestimmen Sie die Dicke der Gesteinsschicht in Metern.


## Kontrolllösungen zu Kapitel 26

### Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Abschnitt: Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Gedruckte Buchseite: 304

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 288

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Kontrolllösung zu Aufgabe 288  
Gedruckte Buchseite: 304  
Zugehörige Übung: Aufgabe 288, Kapitel 26, Seite 200  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 304

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Zuerst werden die Koordinaten des Mittelpunkts von \(\overline{AB}\) bestimmt. Dieser Punkt muss anschließend die Geradengleichung erfüllen.

Der Mittelpunkt von \(\overline{AB}\) ist

\[
M\left(\frac{0+4}{2}\,\middle|\,\frac{0+4}{2}\,\middle|\,
 \frac{0+6}{2}\right)=M(2\mid2\mid3).
\]

Ein Punkt auf \(g_a\) besitzt die Koordinaten

\[
X_t(t\mid t\mid 1+at).
\]

Aus den ersten beiden Koordinaten von \(M\) folgt \(t=2\). Die dritte Koordinate liefert damit

\[
1+2a=3
 \quad\Longleftrightarrow\quad
 a=1.
\]

**Ergebnis:** Für \(a=1\) verläuft \(g_a\) durch den Mittelpunkt von \(\overline{AB}\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 289

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Kontrolllösung zu Aufgabe 289  
Gedruckte Buchseite: 304  
Zugehörige Übung: Aufgabe 289, Kapitel 26, Seite 200  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 304

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Bevor die Gerade in eine Ebenengleichung eingesetzt werden kann, muss diese Gleichung aus den drei gegebenen Punkten bestimmt werden.

Zwei Richtungsvektoren von \(E\) sind

\[
\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\
2\\
1\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\
0\\
1\end{pmatrix}.
\]

Ihr Kreuzprodukt liefert

\[
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}
 =\begin{pmatrix}2\\
2\\
-4\end{pmatrix}.
\]

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Kontrolllösung zu Aufgabe 289  
Gedruckte Buchseite: 305  
Zugehörige Übung: Aufgabe 289, Kapitel 26, Seite 200  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 304

ORIGINALTEXT

Als Normalenvektor genügt daher \(\left(\begin{smallmatrix}1\\ 1\\ -2\end{smallmatrix}\right)\). Einsetzen von \(A\) in \(E:\ x+y-2z+k=0\) ergibt \(k=-1\). Damit gilt

\[
E:\quad x+y-2z-1=0.
\]

Das Einsetzen in die Ebenengleichung führt zu

\[
2t+t-2t-1=0
 \quad\Longleftrightarrow\quad
 t=1.
\]

Für diesen Parameterwert ist

\[
\vec x=\begin{pmatrix}2\\
1\\
1\end{pmatrix}.
\]

**Ergebnis:** Die Gerade \(h\) schneidet \(E\) im Punkt \(S(2\mid1\mid1)\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 290

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Kontrolllösung zu Aufgabe 290  
Gedruckte Buchseite: 305  
Zugehörige Übung: Aufgabe 290, Kapitel 26, Seite 200  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 305

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Für die Abstandsrechnung wird zuerst eine Koordinatenform der durch \(A\), \(B\) und \(C\) festgelegten Ebene benötigt. Anschließend kann die Hesse'sche Normalform verwendet werden.

Es gilt

\[
\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\
2\\
0\end{pmatrix},
 \qquad
 \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\\
0\\
2\end{pmatrix}.
\]

Das Kreuzprodukt

\[
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}
 =\begin{pmatrix}4\\
-2\\
4\end{pmatrix}
\]

ist ein Vielfaches des Normalenvektors \(\left(\begin{smallmatrix}2\\ -1\\ 2\end{smallmatrix}\right)\). Durch Einsetzen von \(A\) folgt

\[
E:\quad 2x-y+2z-6=0.
\]

Der Normalenvektor hat die Länge

\[
\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3.
\]

Damit beträgt der Abstand von \(P\) zu \(E\)

\[
d(P,E)
 =\left|\frac13\bigl(2\cdot1-1+2\cdot1-6\bigr)\right|
 =1.
\]

**Ergebnis:** Der Abstand des Punkts \(P\) von \(E\) beträgt \(1\) Längeneinheit.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 291

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Kontrolllösung zu Aufgabe 291  
Gedruckte Buchseite: 306  
Zugehörige Übung: Aufgabe 291, Kapitel 26, Seite 201  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 306

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Für den Ebenenwinkel wird ein Normalenvektor von \(E\) benötigt. Ein Richtungsvektor ist durch \(g\) gegeben; ein zweiter führt vom Stützpunkt der Geraden zum Punkt \(P\).

Der Ursprung ist ein Stützpunkt von \(g\). Damit gilt

\[
\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}0\\
2\\
0\end{pmatrix}.
\]

Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren liefert

\[
\begin{pmatrix}1\\
0\\
1\end{pmatrix}
 \times
 \begin{pmatrix}0\\
2\\
0\end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix}-2\\
0\\
2\end{pmatrix}.
\]

Somit kann \(\vec n_E=\left(\begin{smallmatrix}1\\ 0\\ -1\end{smallmatrix}\right)\) als Normalenvektor verwendet werden. Aus der Gleichung von \(F\) folgt \(\vec n_F=\left(\begin{smallmatrix}1\\ 1\\ 0\end{smallmatrix}\right)\). Für den spitzen Winkel \(\alpha\) gilt daher

\[
\alpha
 =\cos^{-1}\left(
 \frac{\left|\vec n_E\circ\vec n_F\right|}
 {\left|\vec n_E\right|\left|\vec n_F\right|}
 \right)
 =\cos^{-1}\left(\frac12\right)
 =60^\circ.
\]

**Ergebnis:** Die Ebenen \(E\) und \(F\) schließen einen Winkel von \(60^\circ\) ein.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 292

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Kontrolllösung zu Aufgabe 292  
Gedruckte Buchseite: 306  
Zugehörige Übung: Aufgabe 292, Kapitel 26, Seite 201  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 306

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Nach der allgemeinen Berührungseigenschaft ist der Berührpunkt der Lotfußpunkt des Kugelmittelpunkts auf der Ebene. Die Lotgerade durch \(M\) besitzt deshalb einen Normalenvektor von \(E\) als Richtungsvektor. Der Abstand zwischen Mittelpunkt und Berührpunkt ist anschließend der Kugelradius.

Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec n_E=\left(\begin{smallmatrix}1\\ 2\\ 2\end{smallmatrix}\right)\). Damit hat die Lotgerade die Gleichung

\[
\ell:\quad
 \vec x=\begin{pmatrix}1\\
0\\
0\end{pmatrix}
 +t\cdot\begin{pmatrix}1\\
2\\
2\end{pmatrix},
 \qquad t\in\mathbb R.
\]

Das Vorzeichen des Richtungsvektors ist dabei nicht entscheidend, weil \(t\) alle reellen Werte annehmen kann. Das Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt

\[
(1+t)+2\cdot2t+2\cdot2t-10=0
 \quad\Longleftrightarrow\quad
 9t-9=0
 \quad\Longleftrightarrow\quad
 t=1.
\]

Damit ist der Berührpunkt

\[
F(2\mid2\mid2).
\]

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Kontrolllösung zu Aufgabe 292  
Gedruckte Buchseite: 307  
Zugehörige Übung: Aufgabe 292, Kapitel 26, Seite 201  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 306

ORIGINALTEXT

Sein Abstand von \(M\) beträgt

\[
r=\left|\overrightarrow{MF}\right|
 =\left|\begin{pmatrix}1\\
2\\
2\end{pmatrix}\right|
 =3.
\]

**Ergebnis:** Der Berührpunkt ist \(F(2\mid2\mid2)\), der Kugelradius beträgt \(r=3\) Längeneinheiten.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 293

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Kontrolllösung zu Aufgabe 293  
Gedruckte Buchseite: 307  
Zugehörige Übung: Aufgabe 293, Kapitel 26, Seite 201  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 307

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Da alle drei Koordinaten übereinstimmen, wird der Punkt zunächst mit einem gemeinsamen Parameter beschrieben. Danach muss er die Ebenengleichung erfüllen.

Mit \(P_t(t\mid t\mid t)\) folgt

\[
2t+t+3t=18
 \quad\Longleftrightarrow\quad
 6t=18
 \quad\Longleftrightarrow\quad
 t=3.
\]

**Ergebnis:** Der gesuchte Punkt ist \(P(3\mid3\mid3)\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 294

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Kontrolllösung zu Aufgabe 294  
Gedruckte Buchseite: 307  
Zugehörige Übung: Aufgabe 294, Kapitel 26, Seite 201  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 307

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Zuerst wird der Mittelpunkt \(M\) bestimmt. Danach wird sein Abstand von der Ebene mit der Hesse'schen Normalform berechnet.

Es gilt

\[
M\left(\frac{0+4}{2}\,\middle|\,\frac{0+2}{2}\,\middle|\,
 \frac{0+2}{2}\right)=M(2\mid1\mid1).
\]

Mit \(\vec n_E=\left(\begin{smallmatrix}1\\ 1\\ 1\end{smallmatrix}\right)\) folgt

\[
d(M,E)=\frac{|2+1+1-6|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}
 =\frac{2}{\sqrt3}\approx1{,}15.
\]

**Ergebnis:** Der Abstand beträgt \(\frac{2}{\sqrt3}\) Längeneinheiten.

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 295

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Kontrolllösung zu Aufgabe 295  
Gedruckte Buchseite: 308  
Zugehörige Übung: Aufgabe 295, Kapitel 26, Seite 201  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 308

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Die Ebene halbiert jede Strecke zwischen zwei zueinander symmetrischen Punkten. Zuerst wird deshalb der gemeinsame Mittelpunkt der Strecken \(\overline{PQ}\) und \(\overline{RS}\) bestimmt. Danach wird die Abstandsbedingung genutzt.

Der Mittelpunkt von \(\overline{PQ}\) ist

\[
H\left(\frac{0+4}{2}\,\middle|\,\frac{1+(-1)}{2}\,\middle|\,
 \frac{0+4}{2}\right)=H(2\mid0\mid2).
\]

Da \(H\) beide Strecken halbiert und \(\overline{RS}\) doppelt so lang wie \(\overline{PQ}\) ist, gilt \(\left|\overrightarrow{HR}\right| =2\left|\overrightarrow{HP}\right|\). Der Punkt \(R\) liegt auf derselben Seite von \(E\) wie \(P\). Somit zeigen beide Vektoren in dieselbe Richtung, und es gilt

\[
\overrightarrow{OR}
 =\overrightarrow{OH}+2\overrightarrow{HP}
 =\begin{pmatrix}2\\
0\\
2\end{pmatrix}
 +2\begin{pmatrix}-2\\
1\\
-2\end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix}-2\\
2\\
-2\end{pmatrix}.
\]

**Ergebnis:** Der Punkt hat die Koordinaten \(R(-2\mid2\mid-2)\).

#### Kontrolllösung zu Aufgabe 296

BUCHNAVIGATION  
Kapitel 26: Verborgene Schritte: Geometrie  
Kontrolllösung zu Aufgabe 296  
Gedruckte Buchseite: 308  
Zugehörige Übung: Aufgabe 296, Kapitel 26, Seite 202  
Anfang der Kontrolllösung: Seite 308

ORIGINALTEXT

**Startidee**

Zuerst wird der Austrittspunkt \(R\) mithilfe seiner Tiefe auf der Geraden bestimmt. Da der Bohrkanal senkrecht auf den Begrenzungsebenen steht, ist die Länge von \(\overline{QR}\) anschließend die Dicke der Schicht.

Ein Punkt auf \(g\) besitzt die Koordinaten

\[
X_t(t\mid2t\mid-2{,}5-2t).
\]

Für den Austrittspunkt gilt \(z=-3{,}5\). Daher folgt

\[
-2{,}5-2t=-3{,}5
 \quad\Longleftrightarrow\quad
 t=0{,}5.
\]

Somit ist \(R(0{,}5\mid1\mid-3{,}5)\). Wegen der senkrechten Lage des Bohrkanals entspricht die Länge von \(\overline{QR}\) der Schichtdicke:

\[
\left|\overrightarrow{QR}\right|
 =0{,}5\left|\begin{pmatrix}1\\
2\\
-2\end{pmatrix}\right|
 =0{,}5\cdot3
 =1{,}5\,\mathrm{km}
 =1500\,\mathrm{m}.
\]

**Ergebnis:** Die Gesteinsschicht ist \(1500\,\mathrm{m}\) dick.